1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2讲等差数列及其前n项和考纲解读1.理解等差数列的概念及等差数列与一次函数的关系(重点)2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并熟练掌握其推导方法，能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题(重点、难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点预测2021年高考将会以等差数列的通项公式及其性质、等差数列的前n项和为考查重点，也可能将等差数列的通项、前n项和及性质综合考查，题型以客观题或解答题的形式呈现，试题难度一般不大，属中档题型1.等差数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的
2、差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示数学语言表示为an1and(nN*)，d为常数(2)等差中项：若a，A，b成等差数列，则A叫做a和b的等差中项，且A.2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为ana1(n1)d，可推广为anam(nm)d(n，mN*)(2)等差数列的前n项和公式Snna1d(其中nN*)3.等差数列的相关性质已知an为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和(1)等差数列an中，当mnpq时，amanapaq(m，n，p，qN*)特别地，若mn2p，则2apama
3、n(m，n，pN*)(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即ak，akm，ak2m，仍是等差数列，公差为md(k，mN*)(3)Sn，S2nSn，S3nS2n，也成等差数列，公差为n2d.(4)也成等差数列，其首项与an首项相同，公差为d.4.等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的关系ana1(n1)d可化为andna1d的形式当d0时，an是关于n的一次函数；当d0时，数列为递增数列；当d0，d0，则Sn存在最大值；若a10，则Sn存在最小值1.概念辨析(1)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列()(2)等差数列an的增减性是由公差d决
4、定的()(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()(4)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()答案(1)(2)(3)(4)2.小题热身(1)若an是等差数列，则下列数列中，也成等差数列的是()A.a B. C3an D|an|答案C解析记等差数列3，1,1,3为an，则易知a，|an|不是等差数列，排除A，B，D；对于C，因为3an13an3(an1an)3d为常数，所以3an也成等差数列(2)在等差数列an中，已知a22，前7项和S756，则公差d()A.2 B3 C2 D3答案B解析由题意可得即解得(3)在数列an中，a12，an1an3(nN
5、*)，则数列an的通项公式为_答案an3n1解析因为an1an3，nN*，所以数列an是公差为3的等差数列，又因为a12，所以an23(n1)3n1.(4)在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_.答案180解析由等差数列的性质可得a3a7a4a62a5，又因为a3a4a5a6a7450，所以5a5450，a590，所以a2a82a5180.题型 一等差数列基本量的运算1.(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和已知S40，a55，则()A.an2n5 Ban3n10C.Sn2n28n DSnn22n答案A解析设等差数列an的首项为a1，公差为d.由S40，a55可
6、得解得所以an32(n1)2n5，Snn(3)2n24n.故选A.2.(2020碑林区期末)设an是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项a1_.答案2解析由题可知3a212，(a2d)a2(a2d)48，将代入得(4d)(4d)12，解得d2或d2(舍去)，所以a1a2d422.3.(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和已知S9a5.(1)若a34，求an的通项公式；(2)若a10，求使得Snan的n的取值范围解(1)设an的公差为d.由S9a5得a14d0.由a34得a12d4.于是a18，d2.因此an的通项公式为an102n.(2)由(1)得a14d，故
7、an(n5)d，Sn.由a10知d0，故Snan等价于n211n100，解得1n10，所以n的取值范围是n|1n10，nN.1.等差数列基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法如举例说明1.2.等差数列设项技巧若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为ad，a，ad；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为ad，ad，其余各项再依据等差数列的定义
8、进行对称设元(注意此时数列的公差为2d)见举例说明2.1.(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a35，a713，则S10_.答案100解析an为等差数列，a35，a713，公差d2，首项a1a32d5221，S1010a1d100.2.在公差为d的等差数列an中，已知a110，且5a3a1(2a22)2.(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|a3|an|.解(1)由题意，得5a3a1(2a22)2，即d23d40，故d1或d4，所以ann11，nN*或an4n6，nN*.(2)设数列an的前n项和为Sn，因为d6)，则数列an的项数为_答案18解析由题意知a1a2a63
9、6，anan1an2an5180，得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216，a1an36，又Sn324，18n324，n18.题型 四等差数列前n项和的最值问题 1.(2019西安八校联考)设等差数列an的前n项和为Sn，若S6S7S5，则满足SnSn1S7S5，得S7S6a7S5，所以a70，所以an为递减数列，又S1313a70，所以S12S130，即满足SnSn10的正整数n的值为12，故选C.2.(2019北京高考)设等差数列an的前n项和为Sn，若a23，S510，则a5_，Sn的最小值为_答案010解析设等差数列an的首项为a1，公差为d.由S5(a1a5)2
10、a310，得a32，da3a22(3)1，a1314，a5a14d440.解法一：a14，d1，Sn4n1(n29n)2.nN*，当n4或5时，Sn取最小值，为S4S510.解法二：a14，d1，an4(n1)1n5.由an0得n5，且n5时，a50，故当n4或5时，Sn取最小值，为S4S510.求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法：等差数列前n项和的函数表达式Snan2bna2，求“二次函数”最值如举例说明2解法一(2)邻项变号法当a10，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；当a10，d0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.如举例说明2解法二(2019华中师范大学
11、附中模拟)设数列an的前n项和为Sn32n(nN)，数列bn为等差数列，其前n项和为Tn，若b2a5，b10S3，则Tn取最大值时n_.答案17或18解析由已知得b2a5S5S432532448，b10S332324.设等差数列bn的公差为d，则8db10b224，d3，所以bnb2(n2)d483(n2)543n，所以当1n18时，bn0，当n19时，bn0，所以Tn取最值时n17或18.组基础关1.(2019长春模拟)等差数列an中，Sn是它的前n项和，a2a310，S654，则该数列的公差d为()A.2 B3 C4 D6答案C解析根据题意，等差数列an中，设其公差为d，若a2a310，S
12、654，则有a2a3(a1d)(a12d)10，S66a115d54，解得d4，a11，故选C.2.设Sn是等差数列an的前n项和，已知S749，则a2，a6的等差中项是()A. B7 C7 D.答案B解析由已知，得S77a449，所以a47.所以a2，a6的等差中项为a47.3.(2019湘赣十四校联考)设等差数列an的前n项和为Sn，若S55S2a4，a11，则a6()A.16 B13 C9 D37答案A解析设等差数列an的公差为d.由S55S2a4，得5a1d5(2a1d)(a13d)将a11代入上式，得d3.故a6a15d11516.4.中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九
13、百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是()A.174斤 B184斤 C191斤 D201斤答案B解析由题意可知，数列为等差数列，公差为d17，n8，S8996，以第一个儿子分到的绵数a1为首项，所以8a117996，解得a165，所以第8个儿子分到的绵数a8a1(n1)d65717184.故选B.5.设数列an，bn都是等差数列，且a125，b175，a2b2100，那么数列anbn的第37项为()A.0 B37 C100 D37答案C解析设等差
14、数列an，bn的公差分别为d1，d2，则(an1bn1)(anbn)(an1an)(bn1bn)d1d2，所以数列anbn仍然是等差数列，公差为d1d2.又d1d2(a2b2)(a1b1)100(2575)0，所以数列anbn为常数列，所以a37b37a1b1100.6.等差数列an与bn的前n项和分别为Sn和Tn，若，则等于()A. B. C. D.答案A解析由题意得，.7.(2019南昌模拟)已知等差数列an的公差d0，前n项和为Sn，若S510a6，则当Sn最大时，n()A.8 B9 C7或8 D8或9答案D解析解法一：由S510a6，可得10(a15d)，解得a18d，所以Snna1n
15、(n1)d.因为d0，所以当n8或9时，Sn最大故选D.解法二：因为S55a3，所以5a310a6，所以5(a12d)10(a15d)，化简可得a18d0，即a90.因为d0，所以当n8或9时，Sn最大故选D.8.(2019沈阳模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，若a11，S3a5，am2019，则m_.答案1010解析设等差数列an的公差为d，则S33a23(a1d)又S3a5，则3(1d)14d，解得d2.所以ama1(m1)d2m12019，解得m1010.9.在等差数列an中，公差d，前100项的和S10045，则a1a3a5a99_.答案10解析因为S100(a1a100)45，
16、所以a1a100，a1a99a1a100d，则a1a3a5a99(a1a99)10.10.(2020揭阳摸底)已知数列an满足a1，an1(nN*)，则an_，数列an中最大项的值为_答案解析由题意知an0，则由an1，得8，整理得8，即数列是公差为8的等差数列，故(n1)88n17，所以an.当n1,2时，an0，且数列an在n3时是递减数列，故an中最大项的值为a3.组能力关1.(2019辽宁省实验中学模拟)已知数列an满足3an193an(nN*)，且a2a4a69，则log(a5a7a9)()A. B3 C3 D.答案C解析由3an193an(nN*)，得3an13an2，所以an1a
17、n2，所以数列an是等差数列，公差为2.又a2a4a63a19d9，所以a13.所以log(a5a7a9)log(3a118d)log273.故选C.2.(2019青岛二模)已知数列an，bn都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1，b1，且a1b15，a1，b1N*.设cnabn，则数列cn的前100项和等于()A.4950 B5250 C5350 D10300答案C解析由题意可知，cnabna1(bn1)1a1b1(n1)111a1b1n11n3，所以数列cn是以4为首项，1为公差的等差数列，其前100项和为S100100(41003)5350.故选C.3.(2019合肥三模)设等差数列a
18、n的公差为d，前n项和为Sn，若数列也是公差为d的等差数列，则an_.答案1或n解析由题意得，Snna1n(n1)n2n.Snnn2n.因为数列也是公差为d的等差数列所以设 dnB.于是n2n(dnB)2(nN*)因此解得或所以an1或ann.4.(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S315.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值解(1)设an的公差为d，由题意，得3a13d15.由a17，得d2.所以an的通项公式为an2n9.(2)由(1)，得Snn28n(n4)216.所以当n4时，Sn取得最小值，最小值为16.5.已知数列an的前n项和为Sn，
19、an0，a11，且2anan14Sn3(nN*)(1)求a2的值并证明：an2an2；(2)求数列an的通项公式解(1)令n1得2a1a24S13，又a11，a2.2anan14Sn3，2an1an24Sn13.得，2an1(an2an)4an1.an0，an2an2.(2)由(1)可知：数列a1，a3，a5，a2k1，为等差数列，公差为2，首项为1，a2k112(k1)2k1，则当n为奇数时，ann.数列a2，a4，a6，a2k，为等差数列，公差为2，首项为，a2k2(k1)2k，则当n为偶数时，ann.综上所述，an6.已知数列an满足，an1an4n3(nN*)(1)若数列an是等差数列
20、，求a1的值；(2)当a12时，求数列an的前n项和Sn.解(1)解法一：数列an是等差数列，ana1(n1)d，an1a1nd.由an1an4n3，得a1nda1(n1)d4n3，2dn(2a1d)4n3，即2d4,2a1d3，解得d2，a1.解法二：在等差数列an中，由an1an4n3，得an2an14(n1)34n1，2dan2an4n1(4n3)4，d2.又a1a22a1d2a121，a1.(2)由题意知，当n为奇数时，Sna1a2a3ana1(a2a3)(a4a5)(an1an)2424(n1)3.当n为偶数时，Sna1a2a3an(a1a2)(a3a4)(an1an)19(4n7).综上，Sn- 18 - 版权所有高考资源网
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