1、 长春、哈尔滨、沈阳、大连2007年高中毕业班第二次联合考试数学试题（理科甲卷） 本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，试卷满分150分，答题时间为120分钟.注意事项：1答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2选择必须用2B钢笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，不准使用涂改液、刮纸刀。第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小
2、题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1已知集合=（ ）ARBCD2设复数为纯虚数，则x=（ ）A2B1C1D23函数的反函数是（ ）ABCD4ABC中，“”是“ABC为钝角三角形”的（ ）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件5在数列an中，已知，则a2007等于（ ）A1B5C4D56已知向量a=（2，3），b=（4，7），那么a在b方向上的投影为（ ）ABCD7已知m、n是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：1,3,5 若，则；若，则；若；若m、n是异面直线，其中的真命题是（ ）A和B和C和D和8200辆
3、汽车正经过某一雷达地区，这些汽车运行的时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h的汽车数量约为（ ）A65辆B76辆C88辆D95辆9从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的数有（ ）A360个B720个C300个D240个1,3,510已知双曲线，若过右焦点F且倾斜角为30的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A（1，2）BCD11已知函数满足对任意成立，则a的取值范围是（ ）AB（0，1）CD（0，3）12已知O是ABC所在平面内的一定点，动点P满足,，则动点P的轨迹一定通过ABC的（
4、）A内心B垂心C外心D重心1,3,5第卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13 .14的展开式中项的系数是 .15正四棱柱的底面边长是1，侧棱长是2，它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为 .16设实数x，y满足约束条件的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分） 已知函数 （1）求f(x)的定义域和值域； （2）设a是锐角，且的值.18（本小题满分12分） 某商场准备在节日期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品
5、、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动。 （1）试求选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率； （2）商场对选出的商品采用有奖促销，即在该商品现价的基础上价格提高180元，同时允许顾客每购买1件促销商品有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得奖金100元，假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的，试分析此种有奖促销方案对商场是否有利。19（本小题满分12分） 如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形，SDAD，SDAB，且AB=2AD，SD=AD， （1）求证：平面SDB平面ABCD； （2）求二面角ASBD的大小.1,3,520（本小题满分12分）数列的首项，前n项和Sn与an之间满足
6、 （1）求证：数列的通项公式； （2）设存在正数k，使对一切都成立，求k的最大值.21（本小题满分12分） 已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，其左准线与x轴相交于点N，并且满足，设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中 （1）求此椭圆的方程及直线AB的斜率的取值范围； （2）设A、B两点分别作此椭圆的切线，两切线相交于一点P，求证：点P在一条定直线上，并求点P的纵坐标的取值范围.22（本小题满分14分） 已知函数 （1）求函数f(x)是单调区间； （2）如果关于x的方程有实数根，求实数的取值集合； （3）是否存在正数k，使得关于x的方程有两个不相等的实数根？如果存在，求k满足的条件；如果不存在
7、，说明理由.参考答案说明：一、本解答给出一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分。三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分。四、只给整数分数，选择和填空不给中间分数。一、选择题：每小题5分，满分60分。1.C 2.D 3.A 4.B 5.C 6.A 7.D 8.B 9.C 10.B 11.A 12.D1,3,5二、填空题1
8、35 1414 156 1696三、解答题：满分74分。17本小题考查三角函数的定义域、值域以及三角函数式的变换。解：（1）由表达式可知 ，（2分） （4分）（注意：）（2）解法一：， （9分）又为锐角， （12分）解法二： （8分） （10分） （12分）18本小题考查随机变量的分布列、数学期望及在实际问题中的应用解：（1）从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品，一共有种不同的选法，选出的3种商品中，没有日用商品的选法有种，所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为 （4分）（2）顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量，其所有可能的取值为0，100，200，30
9、0。（单元：元）=0表示顾客在三次抽奖中都没有获奖，所以，同理可得 于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是 （11分）故促销方案对商场有利。19本小题考查面面关系及二面角的求法。解：（1）SDAD，SDAB，ADAB=ASD平面ABCD，又SD平面SBD， 平面SDB平面ABCD。 （5分）（2）解法一：由（1）知平面SDB平面ABCD，BD为平面SDB与平面ABCD的交线，过点A作AEDB于E，则AE平面SDB，又过点A作AFSB于F，连结EF。由三垂线定理的逆定理得 EFSB，AFE为二面角ASBD的平面角。 （8分）在矩形ABCD中，设AD=a，则，在RtSBC中，而在RtSAD
10、中，SA=2a，又AB=2a，SB2=SA2+AB2，即SAB为等腰直角三角形，且SAB为直角，故二面角ASBD的大小为 （12分）解法二：由题可知DS、DA、DC两两互相垂直。如图建立空间直角坐标系Dxyz设AD=a，则S（设面SBD的一个法向量为n=（x，y，1）则 解得 n=（0，2，1） （8分）又 设面SAB的一个法向量为m=（1，y，z），则 解出 m=（1，0）， （10分）故所求的二面角为arccos （12分）20本小题考查等差数列通项与前n项和关系以及数列与不等式相结合的有关问题。解法：（1）证明： （1分）， （3分）， （5分）数列为首项，以2为公差的等差数列。（6分）
11、（2）由（1）知 （7分）设，则 （10分）上递增，要使恒成立，只需 （12分）21本小题考查椭圆简单几何性质、直线与椭圆的位置关系及向量知识的应用， 解：（1）由于， 解得，从而所求椭圆的方程为（3分） 三点共线，而点N的坐标为（2，0）.设直线AB的方程为，其中k为直线AB的斜率，依条件知k0.由消去x得， 即根据条件可知 解得（5分）设，则根据韦达定理，得又由 从而 消去令，则由于 上的减函数，从而， 即， ，而因此直线AB的斜率的取值范围是（7分）（2）上半椭圆的方程为求导可得 所以两条切线的斜率分别为 （8分）解法一：切线PA的方程是又，从而切线PA的方程为 同理可得切线PB的方程为
12、 由 可解得点P的坐标 再由 （11分）又由（1）知 ，因此点P在定直线上，并且点P的纵坐标的取值范围是1， （12分）解法二：设点P的从标为，则可得切线PA的方程是而点在此切线上，所以有即 （9分）所以有 ， 同理可得 根据和可知直线AB的方程为，而直线AB过定点N（2，0）直线AB的方程为 （11分0又由（1）知 ，所以有因此点P在定直线上，并且点P的纵坐标的取值范围是 （12分）22本小题考查利用导数研究函数的单调区间以及用导数的方法讨论方程根的情况。解：（1）函数的定义域是对求导得 （2分）由 由因此 是函数的增区间；（1，0）和（0，3）是函数的减区间 （5分）（2）解法一：因为所以
13、实数m的取值范围就是函数的值域 （6分）对令当x=2时取得最大值，且又当x无限趋近于0时，无限趋近于无限趋近于0，进而有无限趋近于.因此函数的值域是 即实数m的取值范围是 （9分）解法二：方程有实数根等价于直线与曲线y=lnx有公共点，并且当直线与曲线y=lnx相切时，m取得最大值. （6分）设直线相切，切点为求导得解得 所以m的最大值是。而且易知当与曲线y=lnx总有公共点。因此实数m的取值集合是 （9分）（3）结论：这样的正数k不存在。 （10分）下面采用反证法来证明：假设存在正数k，使得关于x的方程有两个不相等的实数根，则 （11分）根据对数函数定义域知都是正数。又由（1）可知，当 =再由k0，可得由于 不妨设 由和可得 利用比例性质得 即 （13分）由于上的恒正增函数，且 又由于 上的恒正减函数，且 这与（*）式矛盾。因此满足条件的正数k不存在 （14分）16