1、第2讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考纲解读1.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组(重点)2从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考必考内容预测2021年的考查，主要命题方向为：在约束条件下求目标函数的最值或根据最值情况求参数，同时能用线性规划解决实际问题试题以客观题形式呈现，属中档题型1.二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域AxByC0直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线AxByC0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.线性规划相关概念
2、名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.重要结论(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于AxByC0或AxByC0时，区
3、域为直线AxByC0的上方；当B(AxByC)0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方()(2)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上()(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的()(4)目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距()答案(1)(2)(3)(4)2.小题热身(1)已知点(3，1)和(4，6)在直线3x2ya0的两侧，则实数a的取值范围为()A.(7,24)B.(，7)(24，)C.(24,7)D.(，24)(7，)答案A解析由题意可知(92a)(1212a)0，所以(a7)(a24)0，所以7a24.(2)已知实数x，y满足则zx
4、2y的最小值为_答案5解析由题意可得可行域为如图所示(含边界)，zx2y，即yxz，则在点A处取得最小值，联立解得A(1,2)代入zx2y得最小值5.(3)(2018全国卷)若x，y满足约束条件则zxy的最大值为_答案9解析不等式组表示的可行域是以A(5,4)，B(1,2)，C(5，0)为顶点的三角形区域，如图所示，由图可知目标函数zxy的最大值在顶点A处取得，即当x5，y4时，zmax9.题型 一二元一次不等式(组)表示的平面区域1.不等式组所围成的平面区域的面积为()A.3 B6 C6 D3答案D解析如图，不等式组所围成的平面区域为ABC，其中A(2,0)，B(4，4)，C(1,1)，所求
5、平面区域的面积为SABOSACO(2421)3.2.若不等式组表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是()A.a B0a1C.1a D00，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a()A. B. C1 D2答案A解析作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)当直线z2xy过交点A时，z取最小值，由得zmin22a1，解得a.角度3非线性目标函数的最值问题3.已知求：(1)zx2y210y25的最小值；(2)z的范围解作出可行域，如图阴影部分所示通过联立方程，解得A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)(1)zx2(y5)2表示可行域内点(x，y)到点M(0,5)的距离的平方过
6、点M作AC的垂线，垂足为点N，故|MN|，|MN|22.故z的最小值为.(2)z2表示可行域内点(x，y)与定点Q连线斜率的2倍因为kQA，kQB，所以z的范围是.求线性目标函数最值问题及线性规划应用题的解题策略(1)求线性目标函数的最值线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以我们可以直接解出可行域的顶点，然后代入目标函数以确定目标函数的最值如举例说明1.(2)由目标函数的最值求参数的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式
7、子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数(3)求非线性目标函数最值问题的解题策略解决此类问题时需充分把握好目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义有：对形如z(xa)2(yb)2型的目标函数均可化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)间距离的平方的最值问题如举例说明3.对形如z(ac0)型的目标函数，可先变形为 z的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)与点连线的斜率的倍的取值范围、最值等如举例说明3.对形如z|AxByC|型的目标函数，可先变形为z的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)到直线AxByC0的距离的倍的最值1.(2019南昌模拟)已知实数x，y满足不等式组则z的取值范
8、围是_答案解析作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示目标函数z表示可行域中的动点(x，y)与定点P(1，3)连线的斜率由图可得，当直线经过点A时，斜率最小；当直线经过点O时，斜率最大由易得A(3,0)，由易得O(0，0)，故kPA，kPO3.所以z的取值范围是.2已知实数x，y满足若目标函数zxay取得最小值的最优解有无数多个，则zxay的最大值为_答案解析作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易得A(3,2)，B(1,4)，C.当a0时，yxz，作直线l0：yx，平移l0，易知当直线yxz与4xy80重合时，z取得最小值的最优解有无数多个，此时a，当直线过点A时，z取得最
9、大值，且zmax3；当a0时，数形结合知，目标函数zxay取得最小值的最优解不可能有无数多个综上所述zmax.题型 三线性规划的实际应用(2016全国卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元答案216000解析设生产产品A x件，产品B y件，依题意，得设生产产品
10、A，产品B的利润之和为E元，则E2100x900y.画出可行域(如图)，易知最优解为则Emax216000.线性规划解决实际问题的一般步骤(1)能建立线性规划模型的实际问题给定一定量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收益最大；给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源最少(2)解决线性规划实际问题的一般步骤转化：设元，写出线性约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题；求解：解决这个纯数学的线性规划问题；作答：根据实际问题，得到实际问题的解，据此作出回答某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分
11、别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A.31200元 B36000元 C36800元 D38400元答案C解析设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y辆，租金为z，则线性约束条件为目标函数为z1600x2400y.画出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点N时，取得最小值，由解得故N(5,12)，故zmin1600524001236800(元).组基础关1.(2019贵阳期中)不等式组表示的平面区域为()答案B解析选特殊点(0,6)检验，当x0，y6时，y3x12成立，x2y成立，所以点(0,
12、6)在不等式组表示的平面区域内，另外注意到边界线是虚线，故选B.2.不等式组表示的平面区域的面积为()A.4 B1C.5 D无穷大答案B解析不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，ABC的面积即为所求求出点A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，则ABC的面积为S(21)21.3.(2018天津高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z3x5y的最大值为()A.6 B19 C21 D45答案C解析在平面直角坐标系中画出可行域ABCD以及直线l：3x5y0，平移直线l，可知当直线z3x5y过点C(2,3)时，z取得最大值为325321.4.设变量x，y满足约束条件则目
13、标函数z2x5y的最小值为()A.4 B6 C10 D17答案B解析如图，已知约束条件所表示的平面区域为图中所示的三角形区域ABC(包含边界)，其中A(0,2)，B(3,0)，C(1，3)根据目标函数的几何意义，可知当直线yx过点B(3,0)时，z取得最小值23506.5.(2020琼海摸底)若实数x，y满足则z2x8y的最大值是()A.4 B8 C16 D32答案D解析先根据实数x，y满足画出可行域(如图阴影部分所示)，由解得A，当直线ux3y过点A时，u取得最大值是35，则z2x8y2x3y的最大值为2532.6.(2019华中师范大学第一附中模拟)已知变量x，y满足约束条件则的取值范围是
14、()A. B.C. D.答案B解析作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分由图可知k在点A(1,3)处取得最小值3，且斜率k小于直线xy1的斜率1.故3k1.所以1.故0.7.若x，y满足约束条件且目标函数zax2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是()A.4,2 B(4,2) C4,1 D(4,1)答案B解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，直线zax2y的斜率为k，从图中可以看出，当12，即4a0时，作直线l0：yaxz，平移l0可知，当yaxz与xy10重合时，z取得最大值的最优解有无数个，此时a1.当直线过B点时，z有最小值zmin0122；当a0时，数形结合知，zyax取得最大值的最优解不可能无限多综上可知，zmin2.