1、第八节 抛 物 线【知识梳理】1.抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线:(1)在平面内.(2)与一个定点F和一条定直线l距离_.(3)l不经过点F.相等 2.抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程_(p0)_(p0)_(p0)_(p0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离图形y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 顶点 _ 对称轴 _ _ 焦点 F_ F_ F_ F_ 离心率 e=1 O(0,0)y=0(x轴)x=0(y轴)p(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2准线 方程_ _ _ _ 范围_ _ _ _ _焦半 径(其 中P(x0,y0)|PF|=_|
2、PF|=_|PF|=_|PF|=_ px2 px2py2 py2x0,yR x0,yR y0,xR y0,xR 0px20px20py20py2【特别提醒】抛物线焦点弦的几个常用结论 设AB是过抛物线y2=2px(p0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则(1)x1x2=,y1y2=-p2.(2)弦长|AB|=x1+x2+p=(为弦AB的倾斜角).2p422psin(3)为定值 .(4)以AB为直径的圆与准线相切.(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切.11AFBF2p【小题快练】链接教材 练一练 1.(选修2-1P67练习T3(1)改编)设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离
3、是4,则点P到该抛物线焦点的距离是 .【解析】如图所示,抛物线的准线l的方程为x=-2,F是抛物线的焦点,过点P作PAy轴,垂足是A,延长PA交直线l于点B,则|AB|=2,由于点P到y轴的距离为4,则点P到准线l的距离|PB|=4+2=6,所以点P到焦点 的距离|PF|=|PB|=6.答案:6 2.(选修2-1P72练习T1(1)改编)已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P(-2,-4),则该抛物线的标准方程为 .【解析】很明显点P在第三象限,所以抛物线的焦点可能在x轴负半轴上或y轴负半轴上.当焦点在x轴负半轴上时,设方程为y2=-2px(p0),把点P(-2,-4)的坐标代入
4、得(-4)2=-2p(-2),解得p=4,此时抛物线的标准方程为y2=-8x；当焦点在y轴负半轴上时,设方程为x2=-2py(p0),把点P(-2,-4)的坐标代入得(-2)2=-2p(-4),解得p=,此时抛物线的标准方程为x2=-y.综上可知,抛物线的标准方程为y2=-8x或x2=-y.答案：y2=-8x或x2=-y 12感悟考题 试一试 3.(2016济宁模拟)已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为12,则此弦所在直线的倾斜角是()532A.B.C.D.6644332或或或【解析】选B.由焦点弦长公式|AB|=,得 =12,所以sin=,所以=或 22psin 26sin 2243.44.(
5、2016青岛模拟)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准 线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若 则|QF|=()A.B.3 C.D.2 FP4FQ，5272【解析】选B.如图所示,因为 所以 过点Q作QMl,垂足为M,则MQx轴,所以 所以|MQ|=3,由抛物线定义知|QF|=|QM|=3.FP4FQ，PQ3PF4，MQPQ34PF4，考向一 抛物线的定义及其应用【典例1】(1)(2014全国卷)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=()A.1 B.2 C.4 D.8 54(2)(2015浙江高考)如图,设抛物线y2=4x的焦点为
6、F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则BCF与ACF的面积之比是()2222BF1BF1A.B.AF1AF1BF1BF1C.D.AF1AF1【解题导引】(1)由y2=x可知,抛物线的准线方程为 x=-,从而可得A到抛物线准线的距离为x0+,然后利用抛物线的定义即可求得x0的值.(2)结合平面几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性质以及抛物线的定义即可求解.1414【规范解答】(1)选A.根据抛物线的定义可知|AF|=x0+=x0,解得x0=1.(2)选A.1454BCFACF1 BC hS21SAC h2BABCBMx|BF|1.ACANx|
7、AF|1【母题变式】1.在本例(1)中,若A点在x轴上方,且AF的延长线交抛物线于点B,求B点的坐标.【解析】由例题可知A(1,1),所以kAF=所以直线AF的方程为y=即4x-3y-1=0.由 即(4y+1)(y-1)=0,所以y=-或y=1.又因为A在x轴上方,所以B在x轴下方,即 1F(,0)4，1 04,131441(x),342yx,4x3y 10,1411B(,).1642.在本例(1)中,若A点在x轴上方,且AF的延长线交抛物线于点B,求AOB的面积.【解析】SAOB=SAOF+SBOF=|OF|yA|+|OF|yB|121211111124244115.83232【规律方法】1
8、.与抛物线定义有关的两个线段 抛物线的焦半径、焦点弦.2.抛物线定义的作用 将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离;将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离.【变式训练】已知A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=4x上的两个动点,且|AB|=8,则x1+x2的最小值是()A.4 B.6 C.8 D.101【解析】选B.设抛物线的焦点为F,则|AF|+|BF|AB|,由抛物线的定义,可得x1+x2+p|AB|,因为|AB|=8,p=2,所以x1+x26,所以x1+x2的最小值是6.【加固训练】1.(2016昆明模拟)设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C交于A,B两点
9、,那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为()A.相离 B.相切 C.相交但不经过圆心 D.相交且经过圆心【解析】选B.设圆心为M,过点A,B,M作准线l的垂线,垂足分别为A1,B1,M1,则|MM1|=(|AA1|+|BB1|).由抛 物线定义可知|BF|=|BB1|,|AF|=|AA1|,所以|AB|=|BB1|+|AA1|,|MM1|=|AB|,即圆心M到准线的距离等 于圆的半径,故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.12122.(2016忻州模拟)已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值
10、是 .【解析】由题意知,圆x2+(y-4)2=1的圆心为C(0,4),半径为1,抛物线的焦点为F(1,0),根据抛物线的定义,点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即点 P到点Q的距离与点P到抛物线焦点的距离之和,因此|PQ|+|PF|PC|+|PF|-1|CF|-1=-1.答案:-1 17173.(2016厦门模拟)已知点P在抛物线y2=4x上,且点 P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为 ,则点P到x轴的距离为 .12【解析】设点P的坐标为(xP,yP),抛物线y2=4x的准线 方程为x=-1,根据抛物线的定义,点P到焦点的距离等 于点P到准线的距离,故 解得xP=1,所以 yP2=4
11、,所以|yP|=2.答案:2 PPx1x12，考向二 抛物线的标准方程及其性质【典例2】(1)(2016泉州模拟)如图,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线 依次交抛物线及准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程为()A.y2=x B.y2=3x C.y2=x D.y2=9x 3292(2)若双曲线C:2x2-y2=m(m0)与抛物线y2=16x的准线 交于A,B两点,且|AB|=4 ,则m的值是 .3【解题导引】(1)分别过点A,B作准线的垂线,分别交 准线于点E,D,设|BF|=a,根据抛物线定义可知|BD|=a,进而推断出BCD的值,在直角三角形中
12、求得a,利用比 例线段的性质可求得p,则抛物线方程可得.(2)求出y2=16x的准线l:x=-4,由C与抛物线y2=16x的 准线交于A,B两点,且|AB|=4 ,即可求出m的值.3【规范解答】(1)选B.如图,分别过点A,B作准线的垂线,分别交准线于点E,D,设|BF|=a,则由已知得:|BC|=2a,由定义得:|BD|=a,故BCD=30,在直角三角形ACE中,因为|AF|=3,|AC|=3+3a,所以2|AE|=|AC|,所以3+3a=6,从而得a=1,因为BDFG,所以 求得p=,因此抛物线方程为y2=3x.12,p332(2)y2=16x的准线l:x=-4,因为C与抛物线y2=16x
13、的准 线l:x=-4交于A,B两点,|AB|=4 ,所以A(-4,2 ),B(-4,-2 ),将A点坐标代入双曲线方程得2(-4)2-(2 )2=m,所以m=20.答案:20 3333【规律方法】1.求抛物线的标准方程的方法(1)先定位:根据焦点或准线的位置.(2)再定形:即根据条件求p.2.抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时,关键是将抛物线方程化成标准方程.(2)要结合图形分析,灵活运用平面图形的性质以形助数.【变式训练】(2016临沂模拟)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,垂足为A,如果APF是边长为4的正三角形,那
14、么此抛物线的焦点坐标为 ,点P的横坐标xP=.【解析】如图所示,设 则|PA|=4.又在RtAMF中,AFM=FAP=60,故tanAFM=联立式,得p=2,|y0|=2 .故焦点坐标为(1,0),点P的横坐标为xp=3.答案:(1,0)3 200yP(,y),2p20yp2p20yAM3.MFp320y2p【加固训练】1.(2016安庆模拟)抛物线y=-x2的焦点坐标是 ()A.(0,-1)B.(0,1)C.(1,0)D.(-1,0)14【解析】选A.抛物线y=-x2的标准方程为x2=-4y,开 口向下,p=2,=1,故焦点为(0,-1).14p22.已知m,n,m+n成等差数列,m,n,m
15、n成等比数列,则抛物线mx2=ny的焦点坐标是()【解析】选A.由题意知,2n=m+m+n且n2=mmn,解得m=2,n=4,故抛物线为x2=2y,其焦点坐标为 11A(0)B(0)2211C(0)D(0)44，1(0)2，3.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px(p0)的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为()431A B1 C D342【解析】选C.由已知,得准线方程为x=-2,所以F的坐标 为(2,0).又A(-2,3),所以直线AF的斜率为k=303.224 考向三 直线与抛物线的综合问题【考情快递】命题方向命题视角直线与抛物线的交点问题考查直线与抛物线位置关系中的交点问
16、题与抛物线弦的中点有关的问题考查弦中点或中点弦问题【考题例析】命题方向1:直线与抛物线的交点问题【典例3】(2015浙江高考)如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.14(1)求点A,B的坐标.(2)求PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.【解题导引】(1)设出直线PA的方程,通过联立方程,判别式为零,得到点A的坐标;根据圆的性质,利用点关于直线对称,得到点B的坐标;(2)利用两点间距离公式及点到直
17、线的距离公式,得到三角形的底边长与底边上的高,由此计算三角形的面积.【规范解答】(1)由题意可知,直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),所以 消去y整理得:x2-4kx+4kt=0.因为直线PA与抛物线相切,所以=16k2-16kt=0,解得k=t.所以x=2t,即点A(2t,t2).2yk xt,1yx,4 设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知,点B,O关于直线PD对称,故有 解得 即点 0000yx122tx ty0,，200222t2tx,y.1t1t2222t2tB(,).1t1t(2)由(1)知,|AP|=直线AP的方程为tx-y-
18、t2=0,所以点B到直线PA的距离为d=所以PAB的面积S=2t 1 t，22t.1t31tAP d.22命题方向2:与抛物线弦的中点有关的问题【典例4】(2016郑州模拟)已知抛物线C:y=mx2(m0),焦点为F,直线2x-y+2=0交抛物线C于A,B两点,P是线段AB的中点,过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)求抛物线C的焦点坐标.(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3,求此时m的值.(3)是否存在实数m,使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.【解题导引】(1)将抛物线方程化成标准形式,直接 求出焦点坐标.(2)利用抛物线的
19、定义求解.(3)只需 证明 =0即可.QA QB【规范解答】(1)因为抛物线C:x2=所以它的焦点 (2)因为|RF|=yR+所以2+=3,得m=.1 y,m1F(0)4m，14m，14m14(3)存在,联立方程 消去y得mx2-2x-2=0,依题意,有=(-2)2-4m(-2)0恒成立.设A(x1,mx12),B(x2,mx22),则 因为P是线段AB的中点,2ymx2xy20，12122xx,m*2x x.m 所以 即 所以 得 若存在实数m,使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形,则 =0,221212xxmxmxP()22，P1P(y)m，11Q()m m，2211221111QA(xm
20、x)QB(xmx)mmmm，QA QB即 结合(*)化简得 =0,即2m2-3m-2=0,所以m=2或m=-,而2(0,+),-(0,+).所以存在实数m=2,使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形.2212121111(x)(x)(mx)(mx)0mmmm，2464mm1212【技法感悟】1.直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题,通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组.(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决.2.解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+
21、p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒:涉及弦的中点、斜率时,一般用“点差法”求解.【题组通关】1.(2016泰安模拟)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|=()A.6 B.8 C.9 D.10【解析】选B.由题意,p=2,故抛物线的准线方程是x=-1,因为过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,所以|AB|=x1+x2+2,又x1+x2=6,所以|AB|=x1+x2+2
22、=8.2.(2016济宁模拟)已知抛物线C:y=x2-2,过原点的动直线l交抛物线C于A,B两点,P是AB的中点,设动点P(x,y),则4x-y的最大值是()A.2 B.-2 C.4 D.-4【解析】选A.设直线l的方程为y=kx,与抛物线C的方程 y=x2-2联立,消去y,得x2-kx-2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=k,所以x=,y=,所以4x-y=2k-=-(k-2)2+2.故当k=2时,4x-y取最大值2.k22k22k2123.(2016烟台模拟)已知点A为抛物线C:x2=4y上的动点(不含原点),点A处的切线交x轴于点B,设抛物线C的焦点为F,则ABF(
23、)A.一定是直角 B.一定是锐角 C.一定是钝角 D.上述三种情况都有可能【解析】选A.由x2=4y可得 y=x2,所以y=x,设A(x0,),则切线方程为 y-=x0(x-x0),令y=0,可得x=x0,所以B(x0,0),141220 x420 x4121212因为F(0,1),所以 所以 =0,所以ABF=90.2000 x11BA(x,),BF(x,1),242 BA BF4.(2016衡水模拟)如图所示,抛物 线关于x轴对称,它的顶点在坐标原 点,点P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均 在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程.(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜
24、角互补时,求y1+y2的值及直线AB的斜率.【解析】(1)由已知条件,可设抛物线的方程为y2=2px(p0).因为点P(1,2)在抛物线上,所以22=2p1,解得p=2.故所求抛物线的方程是y2=4x,准线方程是x=-1.(2)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB,则kPA=(x11),kPB=(x21),因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,所以kPA=-kPB.由A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得 =4x1,=4x2,11y2x122y2x121y22y所以 所以y1+2=-(y2+2).所以y1+y2=-4.由-得,-=4(x1-x2),所以kAB=-1(x1x2).122212y2y211y1y144，21y22y121212yy4xxyy