1、集合的概念一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是()AP是由元素1，组成的集合，Q是由元素，1，|组成的集合BP是由组成的集合，Q是由3.141 59组成的集合CP是由2，3组成的集合，Q是由有序数对(2，3)组成的集合DP是满足不等式1x1的自然数组成的集合，Q是方程x21的解集【答案】A【解析】由于A中P，Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B、C、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合故选A.2若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是
2、()A梯形B平行四边形C菱形D矩形【答案】A【解析】由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等3由实数a，a，|a|， 所组成的集合最多含有的元素个数是()A1B2C3D4【答案】B【解析】当a0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a0时，所以一定与a或a中的一个一致故组成的集合中最多含有两个元素，故选B.4方程组的解集是()A(5，4)B(5，4)C(5，4)D(5，4)【答案】D【解析】解方程组得，故解集为(5，4)，选D.5.集合Ay|yx21，集合B(x，y)|yx21(A，B中xR，yR)选项中元素与集合的关系都正确的是()A2A，且2BB(
3、1，2)A，且(1，2)BC2A，且(3，10)BD(3，10)A，且2B【答案】C【解析】集合A中元素y是实数，不是点，故选项B、D不对集合B的元素(x，y)是点而不是实数，2B不正确，所以A错6对于任意两个正整数m，n，定义运算“”：当m，n都为偶数或奇数时，mnmn；当m，n中一个为偶数，另一个为奇数时，mnmn.在此定义下，集合M(a，b)|ab16中的元素个数是()A18B17C16D15【答案】B【解析】因为11516，21416，31316，41216，51116，61016，7916，8816，9716，10616，11516，12416，13316，14216，15116，1
4、1616，16116，且集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个，故选B.7(多选)下列说法正确的是()AN*中最小的数是1B若aN*，则aN*C若aN*，bN*，则ab最小值是2Dx244x的实数解组成的集合中含有2个元素【答案】AC【解析】N*是正整数集，最小的正整数是1，故A正确；当a0时，aN*，且aN*，故B错误；若aN*，则a的最小值是1，又bN*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，ab取最小值2，故C正确；由集合元素的互异性知D是错误的故A、C正确8(多选)已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()A0MB2MC4M
5、D4M【答案】CD【解析】x，y，z同为正数时，代数式的值为4，所以4M；当x，y，z中只有一个负数或有两个负数时，代数式的值为0；当x，y，z同为负数时，代数式的值为4.故选C、D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9以方程x25x60和方程x2x20的根为元素的集合中共有_个元素【答案】3【解析】方程x25x60的根是2，3，方程x2x20的根是1，2.根据集合中元素的互异性知，以两方程的根为元素的集合中共有3个元素10定义P*Qab|aP，bQ，若P0，1，2，Q1，2，3，则P*Q中元素的个数是_【答案】6【解析】若a0，则ab
6、0；若a1，则ab1，2，3；若a2，则ab2，4，6.故P*Q0，1，2，3，4，6，共6个元素11集合A中的元素y满足yN，且yx21.若tA，则t的值为_【答案】0或1【解析】因为yx211，且yN，所以y的值为0，1，即集合A中的元素为0，1.又tA，所以t0或1.12(一题两空)已知aA且4aA，aN且4aN，则：(1)若A中只有1个元素，则a_；(2)若A有且只有2个元素，则集合A的个数是_【答案】(1)2(2)2【解析】因为aA且4aA，aN且4aN，若a0，则4a4，此时A满足要求；若a1，则4a3，此时A满足要求；若a2，则4a2.此时A含1个元素三、解答题（本大题共4小题，
7、共40分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13设A为实数集，且满足条件：若aA，则A(a1)求证：(1)若2A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集【解析】(1)若aA，则A.2A，1A.1A，A.A，2A.A中必还有另外两个元素，且为1，.(2)若A为单元素集，则a，即a2a10，方程无解a，集合A不可能是单元素集14集合A中共有3个元素4，2a1，a2，集合B中也共有3个元素9，a5，1a，现知9A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由【解析】9A，2a19或a29，若2a1
8、9，则a5，此时A中的元素为4，9，25；B中的元素为9，0，4，显然4A且4B，与已知矛盾，故舍去若a29，则a3，当a3时，A中的元素为4，5，9；B中的元素为9，2，2，B中有两个2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去当a3时，A中的元素为4，7，9；B中的元素为9，8，4，符合题意综上所述，满足条件的a存在，且a3.15.已知集合AxR|ax23x10，aR(1)若集合A中仅有一个元素，求实数a的值；(2)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围；(3)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围【解析】(1)当a0时，x，符合题意；当a0时，(3)24a0，解得a.综上，集合A中仅含有
9、一个元素时，a0或a.(2)集合A中含有两个元素，即关于x的方程ax23x10有两个不相等的实数解，所以a0，且(3)24a0，解得a且a0，所以实数a的取值范围为.(3)当a0时，x，符合题意；当a0时，(3)24a0，即a.所以实数a的取值范围为.16已知集合Ax|x3n1，nZ，Bx|x3n2，nZ，Mx|x6n3，nZ(1)若mM，则是否存在aA，bB，使mab成立？(2)对于任意aA，bB，是否一定存在mM，使abm？证明你的结论【解析】(1)设m6k33k13k2(kZ)，令a3k1(kZ)，b3k2(kZ)，则mab.故若mM，则存在aA，bB，使mab成立(2)不一定存在mM，使abm，证明如下：设a3k1，b3l2，k，lZ，则ab3(kl)3，k，lZ.当kl2p(pZ)时，ab6p3M，此时存在mM，使abm成立；当kl2p1(pZ)时，ab6p6M，此时不存在mM，使abm成立故对于任意aA，bB，不一定存在mM，使abm.