1、不等式解法举例解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观形象的图形关系，对含有参数的不等式运用图解法可以使得分类标准明晰例1设对所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围分析 认真观察不等式的结构，易知要解决的问题是对所有的x，二次不等式ax2+bx+c 1（不合题意），所以t 2时不等式恒成立的充要条件是。即a的取值范围是a（0
2、，1/2）。解法二：不等式（x22x+2）t 2（x2+x1） 式对任意实数x恒成立的充要条件是。其中| | = | 1 5左边等号当x=0时成立于是得ymin=-1，故t-1 (以下略)例2设等差数列an的首项a10且Sm=Sn(mn)问：它的前多少项的和最大？分析 要求前n项和的最大值，首先要分析此数列是递增数列还是递减数列解 设等差数列an的公差为d，由Sm=Sn得数列an是递减数列，所以存在kN，使ak0，且ak+10(kN)评述 诸多数学问题可归结为解某一不等式(组)正确列出不等式(组)，并分析其解在具体问题的意义，是得到合理结论的关键分析 由于左、右两边有相同的地方，因此可以换元，
3、使不等式的结构变为简单形式距为a的平行直线系)，在同一坐标系内作出两函数的图象，如图1因为y1y2，所以(1)当0a1时，0t1，即0ax1，所以x0，+)综上所述当a(0，1)时，解集为0，+)，当a(1，评述 在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，还可以使得分类标准更加明晰例4 求a，b的值，使得关于x的不等式ax2+bx+a2-10的解集分别是：(1)-1，2；(2)(-，-12，+)；(3)2；(4)-1，+)分析 方程
4、的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互交通解(1) 由题意可知，a0且-1，2是方程ax2+bx+a2-10的根，所以(3)由题意知，2是方程ax2+bx+a2-1=0的根，所以4a+2b+a2-1=0 又2是不等式ax2+bx+a2-10的解集，所以(4)由题意知，a=0b0，且-1是方程bx+a2-1=0的根，即-b+a2-1=0，所以a=0，b=-1mx-10(1)若同时满足、的x值也满足，求m的取值范围；(2)若满足的x值至少满足和中的一个，求m的取值范围解 设的解集为A，的解集为B，的解集为C解得A=(-1，3)；解得B=0，1)(2
5、，4，所以AB=0，1)(2，3)+mx-1，则由f(x)的图象(如图2)可知：方程f(x)=0的小根小于0，大根大-1，大根小于或等于4(如图3)，因而评述 同时满足的x值满足的充要条件是：对应的方程2x2+mx-1=0的两根分别在(-，0)和3，+内，因此有f(0)0且f(3)0，否则不能对AB中的所有x值满足条件不等式和与之对应的方程及图象是有着密不可分的内在联系的，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系例6评述 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间存在着密切的联系在解决具体的数学问题时，要注意三者之间相互联系相互渗透，并在一定条件下相互转化分析 求函数的值域，即要寻找
6、含y的不等式(组)，但函数结构中有无理式，即使平方，也未必能呈现较好的数学结构此时是否可以考虑换元，使其函数式的结构较为易于求值域又y=m+n，即 n=-m+y =1(m0，n0)有公共点的问题在同一坐标系内作两函数的图象(如图4)知，|OC|y|OB|3m2-2ym+y2-5=0(m0) 。因为方程有解，所以评述 解完一道数学题后，要进行反思，要细心品味其中的数学思解比较综合性的问题时，注意改变看问题的角度比如该题改变了看坐标的习惯，是在mon直角坐标系内，揭示其原问题的数学特征，使较复杂的问题转化为熟悉易解的问题分析 解决这类函数值域问题的通常想法是：化无理式为整式，其不会有比较好的结构出
7、现此时若认真观察被开方数，会发现配方后将有好的形势出现化入得n=2m+b易看出n2+m2=4(n0)(表示以原点为圆心，2为半径的下半圆)于是问题转化为直线n=2m+b与半圆m2+n2=4(n0)有公共点的问题在同一坐标系内作二函数的图象(如图5)知，-|OB|b|OC|消n得：5m2+4bm+b2-4=0因为|OC|=4，故 : 数的值域解决这类问题的思路是：换元，使其函数表达式的较隐蔽的几何背景挖掘出来，利用数形结合的思想方法，直观的表现出问题的实质解 用“1”的代换.例11 若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且1f(-1)2，3f(1)4，求f(-2)的范围分析 要求f(-2)的取值
8、范围，只需找到含人f(-2)的不等式(组)由于y=f(x)是二次函数，所以应先将f(x)的表达形式写出来即可求得f(-2)的表达式，然后依题设条件列出含有f(-2)的不等式(组)，即可求解解 因为y=f(x)的图象经过原点，所以可设y=f(x)=ax2+bx于是不等式组()变形得()所以f(-2)6，10分析 这是一个分式型无理不等式，需要将其转化为有理不等式来求解解法一： (分类讨论) (1)当x=0时，原不等式显然成立 (2)当x0时，小结 通过复习，感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式、无理不等式化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰