1、陕西省西安市铁一中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）时间：120分钟，满分：120分一选择题(每题4分，共48分)1. 设是虚数单位，则复数的虚部是 （）A. B. C. D. D分析：解答：试题分析：，所以虚部是故确考点：复数2. 过双曲线的左焦点作轴的垂线交双曲线与点，为右焦点，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. D分析：根据题意可得是直角三角形，从而可得，再根据双曲线的几何定义即可求解.解答：依题意可得，是直角三角形，所以，根据双曲线的几何定义可得，所以，则， 故选：D3. 方程表示的是（ ）A. 两条直线B. 一条直线和一条双曲线C. 两个
2、点D. 圆C分析：利用两个非负数之和为零则两个数均为零，构建方程，解方程组即得结论.解答：方程，即，解得或，故方程表示两个点.故选：C.4. 已知向量满足，则向量夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D. A分析：先由，解得，再利用数量积公式求向量夹角的余弦值即可.解答：向量满足，则，即，故，即，向量夹角为，则.故选：A.5. 由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）A. B. C. D. B分析：过圆心作直线的垂线，垂线与直线的交点向圆引切线，切线长最小解答：圆心,半径 ，圆心到直线的距离 则切线长的最小值点拨：本题考查圆的切线长，考查数形结合思想，属于基础题6. 以下四个命题中，真
3、命题的是（ ）A. B. 中，是的充要条件C. 在一次跳伞训练中，甲，乙两位同学各跳一次，设命题是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示D. ，函数都不是偶函数B分析】分析即得A错误；利用充要条件的定义判断B正确；利用复合命题的定义判断C错误；通过特殊值验证D错误即可.解答：选项A中，时，即；时，无意义；时，设，则，故在上单调递增，故，即；综上可知，故A错误；选项B中，中，若，则，即，即，又，故或，所以或，中，故，即；反过来，若，则，结合诱导公式可知，所以；综上，是的充要条件，故B正确；选项C中，依题意，命题是“甲没有降落在指定范围”，
4、 是“乙没有降落在指定范围”，故复合命题 是“至少有一位学员没有降落在指定范围”，故C错误；选项D中，存在时，函数，满足，即是偶函数，故D错误.故选：B.点拨：方法点睛：（1）证明或判断全称命题为真命题时，要证明对于成立；证明或判断它是假命题时，只需要找到一个反例，说明其不成立即可.（2）证明或判断特称命题为真命题时，只需要找到一个情况，说明其成立即可；证明或判断它假命题时，要证明对于成立.7. 若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则的最大值为A. 2B. 3C. 6D. 8C分析：解答：由椭圆方程得F(1,0)，设P(x0，y0)，则(x0，y0)(x01，y0)
5、x0P为椭圆上一点，1.x03x03(x02)22.2x02.的最大值在x02时取得，且最大值等于6.8. 已知的顶点分别是双曲线的左右焦点，顶点P在双曲线上，则的值等于（ ）A. B. C. D. A分析：结合双曲线定义知,，再利用正弦定理进行边角互化求解即可.解答：双曲线中，故，即，.故选：A.9. 设函数是奇函数的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. B分析：根据条件构造函数，求函数导数，判断函数单调性和奇偶性，将不等式进行转化求解即可解答：设，则，当时，当时，此时函数为减函数，是奇函数，是偶函数，即当时，为增函数，当时，等价为，即，此时，当时，等价为，即，
6、此时，综上不等式的解集为，故选：B点拨：关键点点睛：本题考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性，解决本题的关键是将不等式进行转化，考查了分析能力、运算能力.10. 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. B试题分析：抛物线得出其焦点坐标（2，0），故双曲线中c=2，又|PF|=5，设P（m，n），则|PF|=m+2m+2=5，m=3，点P的坐标（3，），解得，则双曲线的渐近线方程为故选B考点：本题主要考查抛物线的几何性质，双曲线的几何性质点评：小综合题，将几种曲线柔和在一起进行考查，是高考命题的一个
7、特点，本题主要考查a,b,c,e,p的关系，也是高考考查的重点11. 函数的图像大致为A. B. C. D. D分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.详解：函数过定点，排除，求得函数的导数，由得，得或，此时函数单调递增，排除，故选D.点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.12. 若函数在单调
8、递增，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. A分析：求出导函数，分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可.解答：函数在单调递增，在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立，设，在上恒成立，在上单调递减，故实数a的取值范围是.故选：A点拨：关键点点睛：本题考查了导数与函数的单调性与最值的关系，解题的关键是分离参数、构造函数，考查了基本运算能力.二填空题(每题4分，共16分)13. 抛物线的准线方程是_因为 准线方程是 ,所以抛物线的准线方程是14. 命题“”的否定是_试题分析：全称命题的否定为特称命题，并将结论加以否定，所以否定是考点：全称命题与特称命题15. 若复数z满足
9、，则的值为_试题分析：复数z满足，解得，故答案为考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算16. 若函数在上有最大值，则a的取值范围是_.分析：先通过有根在上求得参数范围，再验证其左右的导数符号，以保证取得极大值，即得结果.解答：依题意，在开区间上，函数有最大值，即说明在上有极大值，故在上有根，易见，导函数的一个根，故有根，且在上，故，即，故，此时有两个根，要使为极大值点，则需时，时，故，即.综上，a的取值范围是.故答案为：.点拨：易错点点睛：是为极值点的必要条件，利用其求得参数值（或范围）后必须验证在左右的符号，也进而能确定是极大值点还是极小值点，这是这类题的易错点.三解答题(17，18每小题8
10、分，19，20，21，22每题10分，共56分)17. 数列中，（1）求出并猜想的通项公式；（2）用数学归纳方证明你的猜想.（1）；（2）见详解分析：（1）先根据递推关系，依次求得的值，并猜想通项公式为；（2）根据数学归纳法证明的过程，对猜想进行证明即可.解答：解：(1) ， 因此可猜想: ；(2)当时，等式成立，假设时，等式成立，即，则当时，即当时，等式也成立， 综上所述，对任意自然数，.点拨：方法点睛：用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：明确初始值并验证真假；“假设时命题正确”并写出命题形式；分析“时”命题是什么，并找出与“”时命题形式的差别弄清左端应增加的项；明确等式左端变形目标，掌
11、握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设.18. 设函数f（x）=x+a+blnx，曲线y=f（x）过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2.（I）求a，b的值；（II）证明：f(x)2x-2（I）a1，b3. （II）见解析分析：解答：试题分析：(1)f (x)12ax.由已知条件得即解得a1，b3. (2)f(x)的定义域为(0，)，由(1)知f(x)xx23lnx.设g(x)f(x)(2x2)2xx23lnx，则g(x)12x. 当0x0；当x1时，g(x)0时，g(x)0，即f(x)2x2. 考点：本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值
12、，不等式组的证明点评：中档题，导数的应用是高考必考内容，思路往往比较明确根据导数值的正负，确定函数的单调性定义不懂事的证明问题，往往通过构造函数，转化成求函数的最值，使问题得解19. 已知函数（1）求的最小正周期及最大值；（2）若，且，求的值.（1）的最小正周期为，最大值为；（2）.分析：（1）先化简解析式为标准形式，并利用复合函数求导得到，再利用周期公式和振幅即得到结果；（2）先由得到，根据，利用整体法得到值，即求得结果.解答：解：（1）因为，所以，故最小正周期，最大值为，所以的最小正周期为，最大值为；（2）因为，所以.因为，所以，即.所以，故.点拨：方法点睛：求三角函数性质问题时，通常先利
13、用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式及辅助角公式将函数化简成基本形式，再利用整体代入法求解单调性、对称性等性质，或者求值、解不等式等.20. 如图，在底面为菱形的四棱锥中，点在上，且（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.（1）证明见详解；（2）分析：（1）由勾股定理可得，再根据线面垂直判定定理得结论. （2）作交于，则平面，再作于，由三垂线定理可得，即为的二面角，最后在直角三角形中求出正弦值即可.解答：（1）因为底面是菱形，所以， 在中，由，可得.同理，又所以平面.（2）作交于，由平面.则平面，作于，连结，则，即为所求二面角的平面角.又，所以，从而,所以.21. 已知椭圆的离心率，左、右
14、焦点分别为，抛物线的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点.（1）求椭圆C的方程；（2）已知圆M：的切线l(直线l的斜率存在且不为零)与椭圆相交于两点，求证：以为直径的圆是否经过坐标原点.（1）；（2）证明见解析.分析：（1）先由，利用抛物线的焦点是该椭圆的一个顶点知，再结合，即求得，得到方程；（2）先设直线方程，利用相切关系得到，再联立椭圆与直线，结合韦达定理计算，即证结论.解答：解：（1）由题意可知，离心率，抛物线的焦点为，即该椭圆的一个顶点为，故，故，所以椭圆C的方程为；（2）直线l的斜率存在且不为零，故设直线为，依题意，圆M：，圆心为，半径，由直线l与圆M：相切，得圆心到直线l的距离，化简得，即
15、.设，联立方程，得，则，故，则，故，即，故以为直径的圆经过坐标原点.点拨：关键点点睛：本题解题关键在于将直线与方程联立，利用韦达定理证明出，即突破结论.22. 已知函数(k为常数，e=2.71828是自然对数的底数)，曲线在点(1，)处的切线与轴平行.（1）求的单调区间；（2）设，其中为的导函数，证明：对任意，.（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见详解.分析：（1）先利用导数的几何意义列式，求得参数，再通过研究导数的正负来判断函数的单调性即可；（2）根据，先进行不等式放缩，再令，利用导数证明，即得结果.解答：解：（1）由，得，由于曲线在点处的切线与轴平行所以，因此此时，令，则，故在上递减，且，故当时，；当时，因此的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）因为，即，所以，令，则，令得，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减故，即，所以，即证.点拨：利用导数研究函数的单调性的步骤：写定义域，对函数求导；在定义域内，解不等式和根据不等式解集写出单调区间.