1、4.1函数的奇偶性课后训练巩固提升一、A组1.函数f(x)=x2+3()A.是奇函数,但不是偶函数B.是偶函数,但不是奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数,也不是偶函数解析:因为函数f(x)=x2+3的定义域为R,且f(-x)=(-x)2+3=x2+3=f(x),故f(x)为偶函数.答案:B2.函数f(x)=x3+1x的图象关于()A.原点对称B.y轴对称C.y=x对称D.y=-x对称解析:函数f(x)的定义域为x|x0,关于原点对称.又f(-x)=(-x)3+1-x=-x3+1x=-f(x),所以f(x)是奇函数.故其图象关于原点对称.答案:A3.设f(x)是定义在R上的偶函数,当
2、x0时,f(x)=2x2-x,则f(1)等于()A.-3B.-1C.1D.3解析:f(x)是定义在R上的偶函数,且当x0时,f(x)=2x2-x,f(1)=f(-1)=2(-1)2-(-1)=2+1=3.故选D.答案:D4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且有f(3)f(1),则下列各式一定成立的是()A.f(-1)f(3)B.f(0)f(2)D.f(2)f(0)解析:因为f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1).又f(3)f(1),所以f(3)f(-1).而B,C,D项中的各式大小关系不确定.答案:A5.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+
3、x2+1,则f(1)+g(1)=()A.-3B.-1C.1D.3解析:把x=-1代入f(x)-g(x)=x3+x2+1,得f(-1)-g(-1)=1.又f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,所以f(-1)-g(-1)=f(1)+g(1)=1.答案:C6.若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为a-1,2a,则a=,b=.解析:因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a-1=-2a,解得a=13.又函数f(x)=13x2+bx+b+1为偶函数,结合偶函数图象的特点,易得b=0.答案:1307.已知f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-1)+f(0)+f(1)=.解析:f
4、(x)是定义在R上的奇函数,f(-1)=-f(1),f(0)=0,f(-1)+f(0)+f(1)=-f(1)+0+f(1)=0.答案:08.已知函数f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)=x2+1x,求f(-2)的值.解:因为当x0时,f(x)=x2+1x,所以f(2)=22+12=92.又因为函数f(x)为奇函数,所以f(-2)=-f(2)=-92.二、B组1.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=x(1-x),则当x0时,f(x)=()A.-x(x-1)B.-x(x+1)C.x(x-1)D.x(x+1)解析:设x0,所以f(-x)=-x(1+x).又f(x)为R上的奇函数
5、,所以f(-x)=-f(x),即-f(x)=-x(1+x),所以f(x)=x(1+x).答案:D2.若f(x)=ax2+bx+c(a0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx()A.是奇函数B.是偶函数C.既不是奇函数,也不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数解析:因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),即ax2-bx+c=ax2+bx+c,所以b=0,此时g(x)=ax3+cx(a0),由于g(-x)=a(-x)3+c(-x)=-(ax3+cx)=-g(x),所以g(x)是奇函数.答案:A3.函数f(x)=x2+ax-b,x0,0,x=0,g(x),x0在区间a+4a,-b2+4b上
6、满足f(-x)+f(x)=0,则g(-2)的值为()A.-22B.22C.-2D.2解析:由题意知f(x)是区间a+4a,-b2+4b上的奇函数,a+4a-b2+4b=0,且a0时,f(x)的图象如图所示,则f(x)的值域是.解析:由题中图象可知,当x(0,2时,2f(x)3.因为f(x)为奇函数,所以当x-2,0)时,有-3f(x)0时,f(x)=x2-2x+3.(1)试求f(x)在R上的解析式;(2)画出函数的图象,根据图象写出它的单调区间.解:(1)因为函数f(x)的图象关于原点对称,所以函数f(x)为奇函数,则f(0)=0.设x0,又x0时,f(x)=x2-2x+3,所以x0,0,x=0,-x2-2x-3,x0.(2)先画出函数f(x)在y轴右侧的图象,再根据对称性画出y轴左侧的图象,如图.由图象可知,函数f(x)的单调递增区间是(-,-1,1,+),单调递减区间是-1,0),(0,1.