1、互动课堂疏导引导1.向量数乘的定义及几何意义（1）实数与a的积是一个向量，记作a，它的长|a|=|a|.它的方向是这样定义的：当a0时，0，a与a同向；0，a与a反向；当=0或a=0时，0a=0或0=0.(2)根据向量数乘的定义,a与a为共线向量，两者方向相同或相反（a0，0），在此前提下，a可以理解为把a的长度扩大（|1）或缩小（|1）.由此可得向量数乘的几何意义：就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小.疑难疏引a中的实数，叫做向量a的系数，此系数决定着a与a的模的关系及方向相同或相反.向量数乘的特殊情况：当=0时，a=0;当a=0时，a=0.实数与向量可以求积，并且结果为一向量，但
2、不能进行加、减运算，如+a，-a根本无意义.2.向量数乘的运算律向量数乘满足下列运算律：设、为实数，则（1）（+）a=a+a;(2)(a)=()a;(3)(a+b)=a+b.疑难疏引 向量数乘的运算律与中学代数中实数乘法的运算律极为相似，只是向量的数乘分配律由于因子的不同，可分为（+）a=a+a和（a+b）=a+b.但两者也有区别：中学代数中的实数运算的结果是一个数，只满足一种分配律，而向量的数乘的结果是一个向量，满足两种分配律.3.向量的线性运算向量的加法、减法和向量数乘运算，通常叫做向量的线性运算，也叫做向量的初等运算.案例1 （1）计算下列各式:2(a+b)-3(a-b);3(a-2b+
3、c)-(2c+b-a);(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b).(2)设x、y是未知向量.解方程5(x+a)+3(x-b)=0,解方程组【探究】 要解决（1）中的问题，需要用到数乘向量的运算律.包括：数乘向量的分配律及向量加、减法的运算律，其运算过程，类似“合并同类项”.（2）是解关于未知向量的方程或方程组，它与解关于未知数的方程或方程组是类似的，在计算过程中应遵守向量加、减法及向量数乘的运算律.【解】（1）2(a+b)-3(a-b)=2a+2b-3a+3b=-a+5b.3(a-2b+c)-(2c+b-a)=3a-6b+3c-2c-b+a=4a-7b+c.(a-b)-(2a+4b)+(2
4、a+13b)=a-b-a-b+a+b=(-+)a +(-+)b=0a+0b=0.(2)原方程可变为5x+5a+3x-3b=0,8x=-5a+3b.x=.把第1个方程的-2倍与第2个方程相加，得y=-2a+b,从而y=-a+b.代入原来第2个方程得x=-a+b.【规律总结】 向量的线性运算的最终结果是向量.进行向量线性运算的理论依据是向量数乘的运算法则.4.利用向量数乘的定义和运算律解决几何问题 利用向量数乘的定义或运算律可以解决一些几何问题，例如在探求线段相等、三角形相似等问题上.案例2 如图2-2-19，在ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，求证：MNBC，且MN=BC.图2-2-19【
5、探究】把平面问题转化为向量问题解决非常方便，本题只需证明.【证明】 M、N分别是AB、AC的中点，=-=-=（-）=.，且=|，即MNBC，且MN=BC.【规律总结】 利用平面向量的知识证明平面几何问题，这是向量的一个重要应用，但应注意向量与线段是不同的，它既有大小，又有方向.活学巧用1.已知a、b为两非零向量，试判断下列说法的正误，并说明理由.（1）2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的两倍；（2）-2a与5a的方向相反，且-2a的模是5a的模的倍；（3）-2a与2a是一对相反向量；（4）a-b与-（b-a）是一对相反向量.解析：（1）正确.20,2a与a的方向相同.又|2a|=2|a|，
6、（1）的说法正确.（2）正确.50,5a与a方向相同，且|5a|=5|a|，而-20,-2a与a的方向相反，且|-2a|=2|a|，5a与-2a的方向相反，且-2a是5a模的.故（2）的说法正确.（3）正确.按照相反向量的定义可以判断.（4）错误.因为-（b-a）与b-a是一对相反向量，而a-b与b-a是一对相反向量，故a-b与-（b-a）为相等向量.2.已知m、n为非零实数，a、b为非零向量，则下列命题正确的个数为（ ）m(a-b)=ma-mb (m-n)a=ma-na 若ma=mb,则a=b 若ma=na,则m=nA.4 B.3 C.2 D.1解析：、分别是向量数乘运算律中的分配律，因此正
7、确；由于m0，故ma=mb能推出a=b，正确；由于a0，故ma=na可得m=n.正确.答案：A3.计算下列各式：（1）3(2a-b)-2(4a-3b);(2)(4a+3b)-(3a-b)-b;(3)2(3a-4b+c)-3(2a+b-3c).分析：在计算过程中，要利用数乘向量的分配律，且在计算过程中要注意“合并同类项”的应用.解：（1）3(2a-b)-2(4a-3b)=6a-3b-8a+6b=-2a+3b.(2) (4a+3b)-(3a-b)-b=a+b-a+b-b=(-)a+(1+-)b=a.(3)2(3a-4b+c)-3(2a+b-3c)=6a-8b+2c-6a-3b+9c=(6-6)a-
8、(8+3)b+(2+9)c=-11b+11c.4.已知a、b不共线.（1）实数x、y满足等式3xa+(10-y)b=(4y+7)a+2xb,求出x、y的值；（2）把满足3x-2y=a,-4x+3y=b的向量x、y用a、b表示出来.分析：由于a、b不共线，故（1）式成立时，需满足等式左右a、b的系数相等，即3x=4y+7,10-y=2x.解方程组即得x、y.第（2）题实际上是解两个向量方程构成的方程组，其中x、y为未知向量，a、b为已知向量.解：（1）a、b为不共线向量，要使等式3xa+(10-y)b=(4y+7)a+2xb成立，则有解得(2)4+3得y=4a+3b.再将代入中得x=3a+2b.5.用向量证明：梯形中位线平行于底且等于上、下两底和的一半.已知：如图2-2-20，梯形ABCD中，E、F是两腰AD、BC的中点，求证：EFCDAB且EF=（AB+CD）.图2-2-20分析：用向量证明，只需证明且|=（|+|）.证明：E、F分别是、的中点，=-，=-,即=+，=+.=（+）=（+）.又，设=.=(+)=.又E、F、D、C四点不共线,EFDC.同理,EFAB.|=（|+|）.EF=（AB+DC）.