1、2015-2016学年湖北省襄阳市枣阳二中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1“a0，b0”是“2”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2函数f（x）=的图象是（）A B C D3设双曲线=1，（a0，b0）的左焦点F（c，0），则x2+y2=c2与双曲线的一条渐近线交于点A，直线AF交另一条渐近线与点B若=，则双曲线的离心率为（）A2 B3 C D4函数y=f（x）是函数y=f（x）的导函数，且函数y=f（x）在点p（x0，f（x0）处的切线为l：y=g（x）=f（x0）（xx0）+f（x0），F（x）=f（
2、x）g（x），如果函数y=f（x）在区间a，b上的图象如图所示，且ax0b，那么（）AF（x0）=0，x=x0是F（x）的极大值点BF（x0）=0，x=x0是F（x）的极小值点CF（x0）0，x=x0不是F（x）极值点DF（x0）0，x=x0是F（x）极值点5若函数，若a=f（3），b=f（4），c=f（5）则（）Aabc Bcba Ccab Dbac6已知命题p：xR，2x=5，则p为（）AxR，2x=5 BxR，2x5Cx0R，2=5 Dx0R，257下列命题中的说法正确的是（）A若向量，则存在唯一的实数使得=B命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x1”C命题“x0R，使
3、得x02+x0+10”的否定是：“xR，均有x2+x+10”D“a5且b5”是“a+b0”的不充分也不必要条件8设aR，若函数y=x+alnx在区间（，e）有极值点，则a取值范围为（）A（，e） B（e，） C（，）（e，+） D（，e）（，+）9已知f（x）与g（x）是定义在R上的两个可导函数，若f（x）与g（x）满足f（x）=g（x），则（）Af（x）=g（x） Bf（x）g（x）为常数函数Cf（x）=g（x）=0 Df（x）+g（x）为常数函数10设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y2=2px（p0）上的两点，并且满足OAOB则y1y2等于（）A4p2B4p2C2p2D2p21
4、1已知椭圆C的方程为+=1（m0），如果直线y=x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为（）A2 B2C8 D212已知函数f（x）=x2+4x3lnx在t，t+1上不单调，则t的取值范围是（）A（0，1）（2，3） B（0，2） C（0，3） D（0，12，3）二、填空题13已知函数f（x）=x33ax1，a0若f（x）在x=1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，则m的取值范围是14过抛物线x2=2py（p0）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C若梯形ABCD的面积为，则P=15已知曲线C：|x|
5、+|y|=m（m0）（1）若m=1，则由曲线C围成的图形的面积是；（2）曲线C与椭圆有四个不同的交点，则实数m的取值范围是16两个命题P：“对任意实数x都有ax2+ax+10恒成立”；Q：“关于x的方程x2x+a=0有两个不等的实数根”，如果PQ为真命题，PQ为假命题，则实数a的取值范围是三、解答题17设命题p：实数x满足x2（a+）x+10，其中a1；命题q：实数x满足x24x+30（1）若a=2，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围18已知f（x）=ex+2ax（a为常数），曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线与直线xy3=0垂直（）求a
6、的值及函数f（x）的单调区间；（）证明：当x0时，exx2；（）设F（x）=f（x）ex+1，若F（x）在（1，3）上单调递减，求实数m的取值范围选修4-5：不等式选讲19已知函数f（x）=|xa|+|x+5|，（）若a=1，解不等式：f（x）2|x+5|；（）若f（x）8恒成立，求a的取值范围20已知函数f（x）=x3x2+bx+c（1）若f（x）在（，+）是增函数，求b的取值范围；（2）若f（x）在x=1时取得极值，且x1，2时，f（x）c2恒成立，求c的取值范围21已知点A（0，2），椭圆E： +=1（ab0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点（）求E的方程；（）
7、设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程22己知椭圆C：（ab0）的右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，过F点的直线l与椭圆C交于不同两点M，N（）求椭圆C的方程；（）设直线l斜率为1，求线段MN的长；（）设线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，y0），求y0的取值范围2015-2016学年湖北省襄阳市枣阳二中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1“a0，b0”是“2”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】
8、根据充分条件和必要条件的定义结合基本不等式的性质进行判断即可【解答】解：若a0，b0，则2，故充分性成立，若a0，b0，满足，满足2，但a0，b0不成立，故“a0，b0”是“2”的充分不必要条件，故选：A2函数f（x）=的图象是（）A B C D【考点】函数的图象【分析】由函数知f（0）=3，且当x+时，f（x）=0，从而利用排除法求得【解答】解：f（0）=3，排除A，B；当x+时，由指数爆炸知，f（x）=0，故排除C，故选D3设双曲线=1，（a0，b0）的左焦点F（c，0），则x2+y2=c2与双曲线的一条渐近线交于点A，直线AF交另一条渐近线与点B若=，则双曲线的离心率为（）A2 B3 C
9、 D【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意，y=x与x2+y2=c2联立，可得A（a，b），求出AF的斜率，利用=，B为线段FA的中点，可得斜率之间的关系，即可求出双曲线的离心率【解答】解：由题意，y=x与x2+y2=c2联立，可得A（a，b），AF的斜率为，=，B为线段FA的中点，OBAF，（）=1，e2e2=0，e1，e=2故选：A4函数y=f（x）是函数y=f（x）的导函数，且函数y=f（x）在点p（x0，f（x0）处的切线为l：y=g（x）=f（x0）（xx0）+f（x0），F（x）=f（x）g（x），如果函数y=f（x）在区间a，b上的图象如图所示，且ax0b，那么（）AF（x0）=
10、0，x=x0是F（x）的极大值点BF（x0）=0，x=x0是F（x）的极小值点CF（x0）0，x=x0不是F（x）极值点DF（x0）0，x=x0是F（x）极值点【考点】利用导数研究函数的极值【分析】先对函数F（x）进行求导，可确定F（x0）=0即x0有可能是函数的极值点，然后再判断函数f（x）的增长快慢从而确定F（x）的单调性，得到结论【解答】解：F（x）=f（x）g（x）=f（x）f（x0）（xx0）f（x0），F（x）=f（x）f（x0）F（x0）=0，又由ax0b，得出当axx0时，f（x）f（x0），F（x）0，当x0xb时，f（x）f（x0），F（x）0，x=x0是F（x）的极小值点
11、故选B5若函数，若a=f（3），b=f（4），c=f（5）则（）Aabc Bcba Ccab Dbac【考点】函数单调性的性质【分析】根据函数，得f（3）=ln，f（4）=ln，c=f（5）=ln通过根式的性质比较大小，得，再结合y=lnx是定义在（0，+）上的增函数，可得lnlnln，即cba【解答】解：，a=f（3）=ln，同理可得b=f（4）=ln，c=f（5）=ln=， =又=， =由此可得，y=lnx是定义在（0，+）上的增函数lnlnln，即cba故选B6已知命题p：xR，2x=5，则p为（）AxR，2x=5 BxR，2x5Cx0R，2=5 Dx0R，25【考点】全称命题；命题的否
12、定【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论【解答】解：命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题得：p为x0R，25，故选：D7下列命题中的说法正确的是（）A若向量，则存在唯一的实数使得=B命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x1”C命题“x0R，使得x02+x0+10”的否定是：“xR，均有x2+x+10”D“a5且b5”是“a+b0”的不充分也不必要条件【考点】命题的真假判断与应用【分析】A根据向量关系的等价条件进行判断，B根据否命题的定义进行判断C根据含有量词的命题的否定进行判断D根据充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：A若向量，则存在唯一的实数使得
13、=，当时成立，否则不成立，故A错误，B命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x21，则x1”，故B错误，C命题“x0R，使得x02+x0+10”的否定是：“xR，均有x2+x+10”，故C错误，D当a=0，b=0时，满足a5且b5，但a+b=0，即充分性不成立，当a=5，b=0时，满足a+b0，但a5不成立，即必要性不成立，即“a5且b5”是“a+b0”的不充分也不必要条件，故D正确故选：D8设aR，若函数y=x+alnx在区间（，e）有极值点，则a取值范围为（）A（，e） B（e，） C（，）（e，+） D（，e）（，+）【考点】函数在某点取得极值的条件【分析】函数y=f（x）=x+al
14、nx在区间（，e）有极值点y=0在区间（，e）有零点由f（x）=1+=（x0）可得，解出即可【解答】解：函数y=f（x）=x+alnx在区间（，e）有极值点y=0在区间（，e）有零点f（x）=1+=（x0），解得a取值范围为故选：B9已知f（x）与g（x）是定义在R上的两个可导函数，若f（x）与g（x）满足f（x）=g（x），则（）Af（x）=g（x） Bf（x）g（x）为常数函数Cf（x）=g（x）=0 Df（x）+g（x）为常数函数【考点】导数的运算【分析】根据导数的运算法则构造函数即可得到结论【解答】解：设h（x）=f（x）g（x），则h（x）=f（x）g（x）=0，即h（x）=f（x）
15、g（x）是常数，故选：B10设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y2=2px（p0）上的两点，并且满足OAOB则y1y2等于（）A4p2B4p2C2p2D2p2【考点】抛物线的应用【分析】根据OAOB，可知OA，OB所在直线的斜率乘积为1，把两点的坐标代入可知x1x2+y1y2=0，利用抛物线方程可知x1x2=进而求得y1y2的值【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y2=2px（p0）上的两点，并且满足OAOBkOAkOB=1，x1x2+y1y2=0，则y1y2=4p2故选A11已知椭圆C的方程为+=1（m0），如果直线y=x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆
16、的右焦点F，则m的值为（）A2 B2C8 D2【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】椭圆方程右焦点坐标（，0），M（，），把M点代入椭圆方程能求出m【解答】解：由椭圆方程得到右焦点的坐标为（，0），直线与椭圆的一个交点M在x轴的射影恰为椭圆的右焦点F得到MFx轴，M的横坐标为，代入到直线方程得到M的纵坐标为，则M（，）把M的坐标代入椭圆方程得： +=1，化简得：（m2）2+8m2128=0，即（m28）（m2+16）=0解得m2=8，m2=16（舍去），m0，m=2故选：B12已知函数f（x）=x2+4x3lnx在t，t+1上不单调，则t的取值范围是（）A（0，1）（2，3） B（0，2）
17、C（0，3） D（0，12，3）【考点】二次函数的性质【分析】由函数f（x）在t，t+1不单调，得出f（x）在t，t+1有解，从而x24x+3=0在t，t+1有解，进而求出t的范围【解答】解：f（x）=x+4且函数f（x）在t，t+1不单调，f（x）在t，t+1有解，=0在t，t+1有解，x24x+3=0在t，t+1有解，令g（x）=x24x+3，g（t）g（t+1）0或，0t1，或2t3，故选：A二、填空题13已知函数f（x）=x33ax1，a0若f（x）在x=1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，则m的取值范围是（3，1）【考点】函数在某点取得极值的条件【分析】利用
18、函数f（x）在x=1处取得极值，先求出a要使直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，则说明m小于极大值，大于极小值【解答】解：函数的导数为f（x）=3x23a，因为f（x）在x=1处取得极值，所以f（1）=0，即33a=0，解得a=1所以f（x）=x33x1，f（x）=3x23=3（x21）=3（x1）（x+1），当f（x）0，得x1或x1当f（x）0，得1x1即函数在x=1处取得极大值f（1）=1，在x=1处取得极小值f（1）=3，要使直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，则m小于极大值，大于极小值，即3m1，所以m的取值范围是（3，1）故答案为：（3，1）14过抛物线x2
19、=2py（p0）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C若梯形ABCD的面积为，则P=2【考点】抛物线的标准方程；直线的一般式方程；抛物线的简单性质【分析】先根据抛物线方程得出其焦点坐标和过焦点斜率为1的直线方程，设出A，B两点的坐标，把直线与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而用A，B坐标表示出梯形的面积建立等式求得p【解答】解：抛物线的焦点坐标为F（0，），则过焦点斜率为1的直线方程为y=x+，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x2x1），由题意可知y10，y20由，消去y得x22pxp2=0，由韦达定理得，x1+
20、x2=2p，x1x2=p2所以梯形ABCD的面积为：S=（y1+y2）（x2x1）=（x1+x2+p）（x2x1）=3p=3p2所以3p2=12，又p0，所以p=2故答案为215已知曲线C：|x|+|y|=m（m0）（1）若m=1，则由曲线C围成的图形的面积是2；（2）曲线C与椭圆有四个不同的交点，则实数m的取值范围是2m3或【考点】曲线与方程【分析】（1）若m=1，曲线C：|x|+|y|=1，表示对角线长为2的正方形，可得曲线C围成的图形的面积是2；（2）椭圆的长半轴长为3，短半轴长为2，2m3时，曲线C与椭圆有四个不同的交点；再考虑相切时的情形，即可得出结论【解答】解：（1）若m=1，曲线
21、C：|x|+|y|=1，表示对角线长为2的正方形，则由曲线C围成的图形的面积是2；（2）椭圆的长半轴长为3，短半轴长为2，2m3时，曲线C与椭圆有四个不同的交点；x0，y0，x+ym=0与椭圆方程联立，可得13x218mx+9m236=0，=（18m）252（9m236）=0，m0，m=此时曲线C与椭圆有四个不同的交点故答案为：2，2m3或16两个命题P：“对任意实数x都有ax2+ax+10恒成立”；Q：“关于x的方程x2x+a=0有两个不等的实数根”，如果PQ为真命题，PQ为假命题，则实数a的取值范围是（，0），4）【考点】复合命题的真假【分析】根据二次函数恒成立，求出命题p为真时a的取值范
22、围，根据二次方程有实根求出命题q为真时a的取值范围，然后根据pq为真命题，pq为假命题，则命题p，q中一个为真一个为假，分类讨论后，即可得到实数a的取值范围【解答】解；对任意实数x都有ax2+ax+10恒成立”a=0时，10恒成立a0时，由二次函数的性质可得，解可得0a4综上可得P：0a4关于x的方程x2x+a=0有不等实数根=14a0Q：apq为真命题，pq为假命题，即p真q假，或p假q真如果p真q假，如果p假q真，a0所以实数a的取值范围为a0或，故答案为：（，0），4）三、解答题17设命题p：实数x满足x2（a+）x+10，其中a1；命题q：实数x满足x24x+30（1）若a=2，且pq
23、为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假【分析】（1）命题p：实数x满足x2（a+）x+10，其中a1，解得，由a=2，可得；命题q：实数x满足x24x+30，解得x范围利用pq为真即可得出（2）p是q的必要不充分条件，可得qp，且p推不出q，设A=，B=1，3，则BA，即可得出【解答】解：（1）命题p：实数x满足x2（a+）x+10，其中a1，化为0，解得，a=2，；命题q：实数x满足x24x+30，解得1x3pq为真，解得1x2实数x的取值范围是1x2（2）p是q的必要不充分条件，qp，且p推不出
24、q，设A=，B=1，3，则BA，解得3a实数a的取值范围是3a18已知f（x）=ex+2ax（a为常数），曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线与直线xy3=0垂直（）求a的值及函数f（x）的单调区间；（）证明：当x0时，exx2；（）设F（x）=f（x）ex+1，若F（x）在（1，3）上单调递减，求实数m的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【分析】本题（）根据导函数求出切线的斜率，再利用垂直关系得到斜率间的关系，从而求出参数a的值，由导函数值 的正负判断出函数的单调区间；（）将原不等式转化成一个函数值为正的问题，通过导函数研究出函数的单调性，得到函数
25、的最小值为正，得到本题结论；（）根据函数单调递减的特征，得到导函数满足的条件，从而求出实数m的取值范围，得到本题结论【解答】解（）由题意知，曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线的斜率为1由f（x）=ex+2ax，得f（x）=ex+2a，f（0）=1+2a=1，得a=1f（x）=ex2x，f（x）=ex2令f（x）=0，得x=ln2当xln2时，f（x）0，f（x）单调递减；当xln2时，f（x）0，f（x）单调递增；f（x）的单调递增区间为（ln2，+），单调递减区间为（，ln2）（）令g（x）=exx2，则g（x）=ex2x由（）知，f（x）的极小值即最小值f（x）min=f（ln2）
26、=22ln20，g（x）=f（x）0，故g（x）在R上单调递增，因此，当x0时，g（x）g（0）=10，即exx2（）由题意知，F（x）在（1，3）上单调递减，F（x）=x2+2mx20在（1，3）恒成立，F（x）图象过点（0，2），所以满足实数m的取值范围为（，）选修4-5：不等式选讲19已知函数f（x）=|xa|+|x+5|，（）若a=1，解不等式：f（x）2|x+5|；（）若f（x）8恒成立，求a的取值范围【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法【分析】（）若a=1，不等式：f（x）2|x+5|x1|x+5|，等价于（x1）与（x+5）的和与差同号，转化为一元一次不等式得答案；（）利
27、用绝对值的不等式放缩，把f（x）8恒成立转化为|a+5|8，求解绝对值的不等式得答案【解答】解：（）当a=1时，f（x）2|x+5|x1|x+5|（2x+4）（x1x5）0，解得：x2，原不等式解集为x|x2；（）f（x）=|xa|+|x+5|xa（x+5）|=|a+5|，若f（x）8恒成立，只需：|a+5|8，解得：a3或a1320已知函数f（x）=x3x2+bx+c（1）若f（x）在（，+）是增函数，求b的取值范围；（2）若f（x）在x=1时取得极值，且x1，2时，f（x）c2恒成立，求c的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数
28、的极值【分析】（1）由已知中函数f（x）=x3x2+bx+c，我们可以求出函数的导函数，进而根据f（x）在（，+）是增函数，则f（x）0恒成立，构造关于b的不等式，解不等式即可得到答案（2）当f（x）在x=1时取得极值时，则x=1是方程3x2x+b=0的一个根，由韦达定理可以求出方程3x2x+b=0的另一个根，进而分析出区间1，2的单调性，进而确定出函数f（x）在区间1，2的最大值，进而构造关于c的不等式，根据二次不等式恒成立问题，即可得到答案【解答】解：（1）f（x）=3x2x+b，f（x）在（，+）是增函数，f（x）0恒成立，=112b0，解得bx（，+）时，只有b=时，f（）=0，b的取
29、值范围为，+（2）由题意，x=1是方程3x2x+b=0的一个根，设另一根为x0，则f（x）=3x2x2，列表分析最值：x1（1，）（，1）1（1，2）2f（x）+00+f（x）+c递增极大值+c递减极小值+c递增2+c当x1，2时，f（x）的最大值为f（2）=2+c，对x1，2时，f（x）c2恒成立，c22+c，解得c1或c2，故c的取值范围为（，1）（2，+）21已知点A（0，2），椭圆E： +=1（ab0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点（）求E的方程；（）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简
30、单性质【分析】（）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（）设直线l：y=kx2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx2代入，利用0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程【解答】解：（） 设F（c，0），由条件知，得=又，所以a=2=，b2=a2c2=1，故E的方程（）依题意当lx轴不合题意，故设直线l：y=kx2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx2代入，得（1+4k2）x216kx+12=0，当=16（4k23）0，即时，从而=+又点O到直线PQ的距离，所以OPQ的面积
31、=，设，则t0，当且仅当t=2，k=等号成立，且满足0，所以当OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x2或y=x222己知椭圆C：（ab0）的右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，过F点的直线l与椭圆C交于不同两点M，N（）求椭圆C的方程；（）设直线l斜率为1，求线段MN的长；（）设线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，y0），求y0的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）利用椭圆右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，求出几何量，即可求椭圆C的方程；（）直线l的方程为：y=x1，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合弦长公式，可求线段MN的长；（）分类讨论，设直线MN
32、的方程为y=k（x1）（k0），代入椭圆方程，求出线段MN的垂直平分线方程，令x=0，得，利用基本不等式，即可求y的取值范围【解答】解：（）由题意：c=1，a=2，b2=a2c2=3，所求椭圆方程为 （）由题意，直线l的方程为：y=x1由得7x28x8=0，所以 （）当MNx轴时，显然y0=0当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y=k（x1）（k0）由消去y整理得（3+4k2）x28k2x+4（k23）=0设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为Q（x3，y3），则所以，线段MN的垂直平分线方程为在上述方程中令x=0，得当k0时，；当k0时，所以，或综上，y0的取值范围是 2016年7月6日
