1、第七节 双 曲 线 【知识梳理】1.双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|=2c0)的距离 _为非零常数2a(2a0,c0.当_时,M点的轨迹是双曲线;当_时,M点的轨迹是两条射线;当_时,M点不存在.2a|F1F2|2.双曲线的标准方程与几何性质 图形标准方程_(a0,b0)_(a0,b0)2222xy1ab2222yx1ab性 质范围_对称性对称轴:_ 对称中心:_对称轴:_ 对称中心:_顶点顶点坐标:A1_,A2_顶点坐标:A1_,A2_渐近线y=_ y=_ xa或x-a y-a或ya 坐标轴 原点 坐标轴 原点(-a,0)(a,0)(0,-a)(0,a)b xaa
2、xb性 质 离心率e=_,e_ 实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=_;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=_;a叫做双曲线的实半轴长,b叫 做双曲线的虚半轴长a,b,c间 的关系c2=_(ca0,cb0)ca(1,+)2a 2b a2+b2【特别提醒】1.渐近线与离心率 =1(a0,b0)的一条渐近线的斜率为 =2.若P为双曲线上一点,F为其对应焦点,则|PF|c-a.3.区分双曲线中a,b,c的关系与椭圆中a,b,c的关系,在椭圆中a2=b2+c2,而在双曲线中c2=a2+b2.2222xyabba2e1.【小题快练】链接教材练一练 1.(选修2-1P61
3、习题2.3A组T1改编)双曲线 上的点P到点(5,0)的距离是6,则点P的坐标是 .22xy1169【解析】根据双曲线方程可知c=5.所以焦点为F2(5,0),F1(-5,0).设P(x,y),由两点间距离公式:|PF2|=6,所以点P在双曲线右支上,|PF1|=,16922x5y22x5y因为|PF1|-|PF2|=2a=8,所以 =2a+6=14,所以(x+5)2+y2=196,联立得x=8.代入原式可得y=3 .所以点P坐标为(8,3 ).答案:(8,3 )22x5y3332.(选修2-1P61练习T3改编)以椭圆 的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为 .22xy143【解析】设要求的
4、双曲线方程为 (a0,b0),由椭圆 ,得焦点为(1,0),顶点为(2,0).所以双曲线的顶点为(1,0),焦点为(2,0).所以a=1,c=2,所以b2=c2-a2=3,所以双曲线标准方程为x2-=1.答案:x2-=1 2222xy1ab22xy1432y32y3感悟考题试一试 3.(2015安徽高考)下列双曲线中,渐近线方程为y=2x的是()22222222yxA.x1 B.y144yxC.x1 D.y122【解析】选A.由双曲线的渐近线方程的公式可知选项A的渐近线方程为y=2x.4.(2015四川高考)过双曲线x2-=1的右焦点且与x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则
5、|AB|=()2y34 3A.B.2 3 C.6 D.4 33【解析】选D.由双曲线方程知,右焦点为(2,0),直线 x=2与渐近线y=x的交点A(2,2 ),B(2,-2 ),所以|AB|=4 .33335.(2016枣庄模拟)双曲线 =1的焦距为()22xy32A.3 2 B.5 C.2 5 D.4 5【解析】选C.由双曲线 =1,易知c2=3+2=5,所以c=,所以双曲线 =1的焦距为2 .22xy32522xy325考向一 双曲线的定义及其应用【典例1】(1)(2015福建高考)若双曲线E:=1 的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于()A.
6、11 B.9 C.5 D.3 22xy916(2)(2015全国卷)已知F是双曲线C:x2-=1的 右焦点,P是C左支上一点,当APF周长最小时,该三角形的面积为 .2y8A(0,6 6)，【解题导引】(1)由已知条件以及双曲线的定义,即可得出|PF2|的值.(2)利用双曲线的定义以及两点之间线段最短即可求出APF周长的最小值,进而求出三角形的面积.【规范解答】(1)选B.因为|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|-|PF2|=6,所以|PF2|=9或-3(舍去).(2)由已知a=1,b=2 ,c=3,所以F(3,0),F(-3,0),又 所以|AF|=15,APF周长l=|PA|+|P
7、F|+|AF|,又|PF|-|PF|=2,所以|PF|=|PF|+2,所以l=|PA|+|PF|+2+15|AF|+17=32,当且仅当A,P,F三点共线时,APF周长最小,2A(0,6 6)，223(6 6)如图所示.设P(x,y),直线AF的方程为 =1,xy36 6联立得 消去x得 y2+36y-96 =0,解得y=-8 (舍)或y=2 ,则P(x,2 ).因为SAPF=SAFF-SPFF=66 -62 =12 .答案:12 22xy1,36 6yx1,86666661212666【规律方法】“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧(1)常用知识点：在“焦点三角形”中,正弦定理、余弦定理、双
8、曲线的定义经常使用.(2)技巧：经常结合|PF1|-|PF2|=2a,运用平方的方法,建立它与|PF1|PF2|的联系.提醒：利用双曲线的定义解决问题,要注意三点：(1)距离之差的绝对值.(2)2a0,a0,b0),由题设知c=3,a=2,b2=9-4=5,所以点P的轨迹方 程为 =1(x0).2222xyab22xy45【加固训练】1.(2016阳泉模拟)已知点F1,F2分别为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,且F1PF2=60,则|PF1|PF2|等于()A.2 B.4 C.6 D.8【解析】选B.由题意知a=1,b=1,c=,所以|F1F2|=2 ,在PF1F2中,
9、由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60=|F1F2|2=8,22即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|=8,由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a=2,两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=4,-得|PF1|PF2|=4.2.如果双曲线 =1上一点P到它的右焦点的距离 是8,那么点P到它的左焦点的距离是()A.4 B.12 C.4或12 D.不确定 22xy412【解析】选C.由双曲线方程,得a=2,c=4.根据双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2a,则|PF1|=|PF2|2a=84,所以|PF1|=4或12,经检验二者
10、都符合题意.3.点P是双曲线 =1(a0,b0)右支上一点,点 F1,F2分别为左、右焦点,且焦距为2c,则PF1F2的内 切圆圆心M的横坐标是()A.a B.b C.c D.a+b-c 2222xyab【解析】选A.如图,内切圆圆心M到 各边的距离分别为MA,MB,MC,切点 分别为A,B,C,由三角形的内切圆的 性质则有:|CF1|=|AF1|,|AF2|=|BF2|,|PC|=|PB|,所以|PF1|-|PF2|=|CF1|-|BF2|=|AF1|-|AF2|=2a,又|AF1|+|AF2|=2c,所以|AF1|=a+c,则|OA|=|AF1|-|OF1|=a.因为M的横坐标和A的横坐标
11、相同,所以PF1F2的内切圆圆心M的横坐标为a.考向二 双曲线的标准方程及性质【考情快递】命题方向命题视角与双曲线有关的范围问题考查利用双曲线方程或性质解决参数长度等的范围与双曲线的离心率、渐近线相关的问题考查运用条件求离心率或渐近线的问题及范围【考题例析】命题方向1:与双曲线有关的范围问题【典例2】(2015全国卷)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若 0,则y0的取值范围是()2x212MF MF3333A.(,)B.(,)33662 2 2 22 3 2 3C.(,)D.(,)3333【解题导引】直接利用向量的数量积列出并解不等式,即可求出y0
12、的取值范围.【规范解答】选A.因为F1(-,0),F2(,0),=1,所以 0,即3y02-10,解得-y0 .332200 xy2 2212000000MF MF3x,y3x,yxy3 3333【母题变式】1.若本例中的条件“0”改为“=0”,试求MF1F2的面积.12MF MF12MF MF【解析】由题意知:F1(-,0),F2(,0),=1,所以=3y02-1=0,解得:y0=,又因为|F1F2|=2 ,所以MF1F2的面积=1,即MF1F2的面积为1.332200 xy2 2212000000MF MF3x,y3x,yxy3 333132 3232.若本例中的条件“0,b 0)的一个焦
13、点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为()2222xyab22222222xyxyA.1 B.1?913139xyC.y1 D.x133【解题导引】(1)依据已知条件,想办法得出关于a,c的等式,解方程即可得出离心率的值.(2)可由已知条件,得出关于a,b的两个方程,解方程组即可得出a,b的值,进而得出双曲线方程.【规范解答】(1)选D.设双曲线方 程为 =1(a0,b0),如图所示,|AB|=|BM|,ABM=120,过点M作 MNx轴,垂足为N,在RtBMN中,|BN|=a,|MN|=a,故点M的坐标为M(2a,a),代入 双曲线方程得a2=b2
14、=c2-a2,即c2=2a2,所以e=.2222xyab332(2)选D.由双曲线的渐近线bx-ay=0与圆(x-2)2+y2=3 相切可知 又因为c=2,所以有 a=1,b=,故双曲线的方程为x2-=1.222b3ab，22ab32y3【技法感悟】1.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系,则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系,要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.2.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e=是一个比值,故只需根据条件得到关于a,b,c的一个关系式,利用b2=c2-a2消去b,然后变形成关于e的关系
15、式,并且需注意e1.ca(2)求双曲线 =1(a0,b0)的渐近线的方法是 令 =0,即得两渐近线方程 =0.(3)与双曲线 =1共渐近线的方程可设为 =(0).(4)若渐近线的方程为y=x,则可设双曲线方程 为 =(0).2222xyab2222xyabxyab2222xyab2222xyabba2222xyab【题组通关】1.(2014全国卷)已知双曲线 =1(a0)的离心率为2,则a=()【解析】选D.由双曲线的离心率可得 =2,解得a=1.222xya365A.2 B.C.D.1222a3a2.(2016莱芜模拟)设双曲线C的中心为点O,若有且 只有一对相交于点O,所成的角为60的直线
16、A1B1和 A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直 线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围 是()2 32 32 32 3A(2 B2)C()D)3333 ，【解析】选A.因为有且只有一对相交于点O,所成的角 为60的直线A1B1和A2B2,所以直线A1B1和A2B2关于x轴 对称,并且直线A1B1和A2B2与x轴的夹角为30,双曲线 的渐近线与x轴的夹角大于30且小于等于60,否则 不满足题意.可得 tan 30,即 所以e ba22222b1 ca1a3a3，2 3.3同样的,当 tan 60,即 3时,所以e2.所以双曲线的离心率的范围是
17、 ba22ba2 3(2 3，3.(2016济宁模拟)已知双曲线C:=1(a0,b0)的一条渐近线经过圆E:x2+y2-8x-6y+16=0的圆心,则双 曲线C的离心率等于 .【解析】由圆心E(4,3)在直线bx-ay=0上得4b-3a=0,故9a2=16b2=16(c2-a2),即25a2=16c2e=答案:2222xyabc5.a4544.(2016烟台模拟)已知双曲线x2-=1的左顶点 为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则 的最小值为 .2y312PA PF【解析】由题可知A1(-1,0),F2(2,0).设P(x,y)(x1),则 =(-1-x,-y),=(2-x,-y),=
18、(-1-x)(2-x)+y2=x2-x-2+y2=x2-x-2+3(x2-1)=4x2-x-5.因为x1,函数f(x)=4x2-x-5的图象的对称轴为x=,所以当x=1时,取得最小值-2.答案:-2 1PA2PF12PA PF1812PA PF考向三 双曲线的综合问题【典例4】(1)已知椭圆 =1(a0)与双曲线 =1有相同的焦点,则a的值为()222xya922xy43A.2 B.10 C 4 D.34(2)(2015江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为 .【解题导引】(1)依据椭圆、双
19、曲线的焦点坐标相同,即可确定a的值;(2)利用点到直线的距离公式直接求解即可.【规范解答】(1)选C.因为椭圆 =1(a0)与 双曲线 =1有相同的焦点(,0),则有a2-9=7,所以a=4.222xya922xy437(2)设P(x,y)(x1),因为直线x-y+1=0平行于渐近线 x-y=0,所以c的最大值为直线x-y+1=0与渐近线x-y=0 之间的距离,由两平行线间的距离公式知,该距离为 答案:12.2222【母题变式】1.若将本例(1)中的条件“有相同的焦点”,改为“有相同的焦距”,试求a的值.【解析】因为双曲线 =1中a2=4,b2=3,所以c2=7,因此,双曲线的焦距为2 .对于
20、椭圆 =1,当a29时,c2=a2-9=7,a2=16,又因为a0,所以a=4;当a20,所以a=.综上可知:a=4或 .22xy43222xya97222.若将本例(1)中的条件“有相同的焦点”,改为“有相同的顶点”,试求a的值.【解析】因为双曲线 =1的顶点坐标为(2,0),(-2,0),所以椭圆 =1(a0)的顶点坐标有(2,0),(-2,0),所以a2=4,又因为a0,所以a=2.22xy43222xya9【规律方法】解决与双曲线有关综合问题的方法(1)解决双曲线与椭圆、圆、抛物线的综合问题时,要充分利用椭圆、圆、抛物线的几何性质得出变量间的关系,再结合双曲线的几何性质求解.(2)解决
21、直线与双曲线的综合问题,通常是联立直线方程与双曲线方程,消元求解一元二次方程即可,但一定要注意数形结合,结合图形注意取舍.【变式训练】(2016秦皇岛模拟)已知双曲线 =1(a0,b0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦 点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为()2222xyab322222222xyxyA.1 B.13610810836xyxyC.1 D.1927279【解析】选C.抛物线y2=24x的准线方程为x=-6,与 x的交点即为双曲线的左焦点F1(-6,0),故c=6.由双曲线的一条渐近线方程为y=x可知 由 所以双曲线的方程为 =1.3b3.a 22222c6a9b3
22、ab27cab，22xy927【加固训练】1.(2016菏泽模拟)已知双曲线 =1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,以|F1F2|为直径的圆与双 曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程 为()2222xyab2222xyxyC.1 D.1916432222xyxyA.1 B.116934【解析】选C.由题意知,圆的半径为5,又点(3,4)在 经过第一、三象限的渐近线y=x上,因此有 解得 所以此双曲线的方程为 =1.ba22ab25,b43,a a3,b4,22xy9162.已知双曲线 =1(a0,b0)的一个焦点与圆 x2+y2-10 x=0的圆心重合,且双曲线的离心率
23、等于 ,则该双曲线的标准方程为()2222xyab522222222xyxyA.1 B15202520 xyxyC.1 D.12052025【解析】选A.由题意知圆心坐标为(5,0),即c=5,又e=所以a2=5,b2=20,所以双曲线的标准方程为 =1.c5a，22xy5203.(2016开封模拟)从双曲线 =1(a0,b0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于P点,若M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|与b-a的关系为()A.|MO|-|MT|b-a B.|MO|-|MT|b-a C.|MO|-|MT|=b-a D.|MO|-|MT|与b-a无关 2222xyab【解析】选C.设F1是双曲线的右焦点,连接PF1,由双曲线的定义知|PF|-|PF1|=2a,因为OM是FF1P的中位线,所以|PF1|=2|OM|.又M是FP的中点,所以|PF|=2|MF|.代入得2|MF|-2|OM|=2a,|MF|-|OM|=a.因为|MF|=|MT|+|TF|,|FT|2=|OF|2-|OT|2=c2-a2,所以|FT|=b.所以|MF|=|MT|+b.把代入得|MT|+b-|OM|=a,所以|OM|-|MT|=b-a.