1、平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例A级基础巩固1如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么( )As|a|Bs|a|Cs|a| Ds与|a|不能比大小解析：选As200300500(km)，|a|100(km)，s|a|.故选A.2两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120时，合力大小为()A40 N B10 NC20 N D10 N解析：选B设夹角90时，合力为F，|F1|F2|F|cos 4510，当120，由平行四边形法则知：|F合|F1|F2|10 N.3在RtABC中，AB
2、C90，AB8，BC6，D为AC的中点，则cosBDC()A B.C0 D.解析：选B如图建立平面直角坐标系，则B(0，0)，A(0，8)，C(6，0)，D(3，4)，(3，4)，(3，4)又BDC为，的夹角，cosBDC.4(多选)已知O是四边形ABCD内一点，若0，则下列结论错误的是()A四边形ABCD为正方形，点O是正方形ABCD的中心B四边形ABCD为一般四边形，点O是四边形ABCD的对角线交点C四边形ABCD为一般四边形，点O是四边形ABCD的外接圆的圆心D四边形ABCD为一般四边形，点O是四边形ABCD对边中点连线的交点解析：选ABC由0知，()设AB，CD的中点分别为E，F，由向
3、量加法的平行四边形法则，知0，O是EF的中点；同理，设AD，BC的中点分别为M，N，则O是MN的中点，所以O是EF，MN的交点5(多选)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的三个任意的非零向量，且满足a与b不共线，ac，|a|c|，则|bc|的值一定等于()A以a，b为邻边的平行四边形的面积B以b，c为邻边的平行四边形的面积C以a，b为两边的三角形面积的2倍D以b，c为两边的三角形面积解析：选AC设b与c的夹角为，a与b的夹角为，则|bc|b|c|cos |b|a|cos(90)|b|a|sin .故选A、C.6已知A(3，2)，B(1，1)，若点P在线段AB的中垂线上，则x_解析：设AB的中
4、点为M，则M，(x1，1)，由题意可知(4，3)，则0，所以4(x1)(1)(3)0，解得x.答案：7一个物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m，且力F所做的功W250 J，则F与s的夹角等于_解析：设F与s的夹角为，由WFs，得2501050cos ，cos .又0，.答案：8.如图所示，在矩形ABCD中，AB4，点E为AB的中点，且，则|_解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系设|a(a0)，则A(0，0)，C(4，a)，D(0，a)，E(2，0)，所以(2，a)，(4，a)，因为，所以0，所以24(a)a0，即a28
5、，所以a2，所以(2，2)，所以|2.答案：2 9.如图所示，在等腰直角三角形ACB中，ACB90，CACB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE2EB.求证：ADCE.证明：()()|2|2.因为CACB，所以|2|20，故ADCE.10某人骑摩托车以20 km/h的速度向西行驶，感觉到风从正南方向吹来，而当其速度变为40 km/h时，他又感觉到风从西南方向吹来，求实际风速的大小和方向解：设v1表示20 km/h的速度，在无风时，此人感觉到的风速为v1，实际的风速为v，那么此人所感觉到的风速为v(v1)vv1.如图，令v1，2v1，实际风速为v.，vv1.这就是骑车人感觉到的从正南方向吹
6、来的风的速度，v2v1.这就是当车的速度为40 km/h时，骑车人感觉到的风速由题意，得DCA45，DBAB，ABBC，DCA为等腰三角形，DADC，DACDCA45，DADCBC.|v|20 km/h.实际风速的大小是20 km/h，为东南风B级综合运用11.(多选)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是()A绳子的拉力不断增大B绳子的拉力不断变小C船的浮力不断变小D船的浮力保持不变解析：选AC设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为.则|F|cos |f|，|F|.增大，cos 减小，|F|增大|F|sin 增大，
7、船的浮力变小12在ABC中，设2，那么动点M的轨迹必通过ABC的()A垂心 B内心C外心 D重心解析：选C假设BC的中点是O，则()()22，即()0，所以，所以动点M在线段BC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过ABC的外心故选C.13已知ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3450，则_解析：因为3450，所以345，所以9224162252.因为A，B，C在圆上，所以|1.代入原式得0，所以(34)()(342324).答案：14已知e1(1，0)，e2(0，1)，今有动点P从P0(1，2)开始，沿着与向量e1e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e1e2|；另一动点Q从Q0(2，1)开始
8、，沿着与向量3e12e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e12e2|.设P，Q在t0 s时分别在P0，Q0处，当时所需的时间t为多少秒？解：e1e2(1，1)，|e1e2|，其单位向量为；3e12e2(3，2)，|3e12e2|，其单位向量为.依题意知，|t，|t，|(t，t)，|(3t，2t)，由P0(1，2)，Q0(2，1)，得P(t1，t2)，Q(3t2，2t1)，(1，3)，(2t1，t3)，0，即2t13t90，解得t2.即当时所需的时间为2 s.C级拓展探究15我们把与直线l垂直的向量称为直线l的法向量设e(A，B)是直线l的一个方向向量，那么n(B，A)就是直线l的一个法向量(图)借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直线的距离已知P是直线l外一点，n是直线l的一个法向量，在直线l上任取一点Q，那么在法向量n上的投影向量为(|cos )(为向量n与 的夹角)，其模就是点P到直线l的距离d，即d(图)据此，请解决下面的问题：已知点A(4，0)，B(2，1)，C(1，3)，求点A到直线BC的距离解：设点P(x，y)是直线BC上的任意一点，则，又(x2，y1)，(3，4)，4(x2)3(y1)，即4x3y50，直线BC的一个方向向量为.取e(3，4)，则n(4，3)为BC的一个法向量，又(6，1)，点A到直线BC的距离d.6