1、专题11 直线与圆一、选择题部分1.(2021新高考全国卷T11)已知点在圆上，点、，则（）A. 点到直线的距离小于B. 点到直线的距离大于C. 当最小时，D. 当最大时，【答案】ACD【解析】圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确；如下图所示：当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，由勾股定理可得，CD选项正确.故选ACD.2.(2021江苏盐城三模T3)同学们都知道平面内直线方程的一般式为AxByC0，我们可以这样理解：若直线l过定点P0(x0，y0)，向量(A，B)为直线l的法向量，设直线l上任意一点P(x，y)，则
2、0，得直线l的方程为，即可转化为直线方程的一般式类似地，在空间中，若平面过定点Q0(1，0，2)，向量为平面的法向量，则平面的方程为A2x3yz40 B2x3yz40C2x3yz0 D2x3yz40 【答案】C【考点】新情景问题下的直线方程的求解【解析】由题意可知，平面的方程为2(x1)3(y0)1(z2)0，化简可得，2x3yz0，故答案选C3.(2021河南焦作三模理T9)已知曲线y与直线kxy+k10有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】由曲线y，得（x2）2+y21（y0），是以（2，0）为圆心半径为1的上半个圆，直线kxy+k10过点D（1，1），如图，
3、过D（1，1）与A（1，0）两点的直线的斜率k；设过（1，1）且与圆（x2）2+y21相切的直线方程为y+1k（x+1），即kxy+k10由1，解得k0或k要使曲线y与直线kxy+k10有两个不同的交点，则实数k的取值范围是：4.(2021河北张家口三模T4)“a0”是“点（0，1）在圆x2+y22ax2y+a+10外”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】将x2+y27ax2y+a+13化为标准方程，得（xa）2+（y1）3a2a当点（0，1）在圆x2+y22ax5y+a+10外时，有解得a1所以“a3”是“点（0，1）”在圆x7+y22
4、ax2y+a+10外”的必要不充分条件5.(2021山东聊城三模T4.)已知直线l:(a-1)x+y-3=0，圆C:(x-1)2+y2=5则“ a=-1 ”是“ l与C相切”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，直线与圆的位置关系【解析】【解答】圆C:(x-1)2+y2=5的圆心为(1,0)，半径r=5，由直线l和C相切可得：圆心到直线的距离d=|a-4|(a-1)2+1=5，解得2a2-a-3=0，解得a=-1或a=32，故a=-1是a=-1或a=32的充分不必要条件，故答案为：B.【分析】根据直线
5、与圆相切的性质解得a=-1或a=32，再由充分必要条件即可判断B正确。6.(2021江西南昌三模理T12)已知直线l：xy+40与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆x2+y24的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是CD的中点，则|AM|的最小值为（）ABCD3【答案】A【解析】由题意设点P（t，t+4），C（x1，y1），D（x2，y2），因为PD，PC是圆的切线，所以ODPD，OCPC，所以C，D在以OP为直径的圆上，其圆的方程为，又C，D在圆x2+y24上，将两个圆的方程作差得直线CD的方程为：tx+（t+4）y40，即t（x+y）+4（y1）0，所以直线CD恒过定点Q（1，1），又
6、因为OMCD，M，Q，C，D四点共线，所以OMMQ，即M在以OQ为直径的圆上，其圆心为，半径为，如图所示所以|AM|min|AO|r2，所以|AM|的最小值为7.(2021四川内江三模理T10)已知直线l：ym（x2）+2与圆C：x2+y29交于A，B两点，则使弦长|AB|为整数的直线l共有（）A6条B7条C8条D9条【答案】C【解析】根据题意，直线恒过点M（2，圆C：x2+y69的圆心C为（0，7），则CM2当直线与CM垂直时，M为|AB|中点2，此时直线有一条，当直线过圆心C时，|AB|2r6，此时直线有一条，则当|AB|3，2，5时，综上，共8条直线8.(2021安徽马鞍山三模文T7)若
7、过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x+3y+30的距离为（）ABCD【答案】C【解析】设圆心为（a，b），由已知得，解得a1，b1，或a5，b5，所以圆心为（1，1）或（5，5）当圆心为（1，1）时，圆心到直线2x+3y+30的距离d；当圆心为（5，5）时，圆心到直线2x+3y+30的距离d9.(2021安徽蚌埠三模文T12)已知圆C：（x+）2+y2（p0），若抛物线E：y22px与圆C的交点为A，B，且sinABC，则p（）A6B4C3D2【答案】D【解析】设A（，y0），则B（，y0），由圆C：（x+）2+y2（p0），得圆心C（，0），半径r，所以CD+，因为ABCBA
8、C，所以sinABCsinBAC，所以cosBAC，即，解得y03，p210.(2021上海嘉定三模T13)已知直角坐标平面上两条直线方程分别为l1：a1x+b1y+c10，l2：a2x+b2y+c20，那么“0是“两直线l1，l2平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若“0则a1b2a2b10，若a1c2a2c10，则l1不平行于l2，若“l1l2”，则a1b2a2b10，0，故“0是“两直线l1，l2平行的必要不充分条件11.(2021辽宁朝阳三模T11)已知曲线C的方程为|x+2y|，M：（x5）2+y2r2（r0），则（）AC表示
9、一条直线B当r4时，C与圆M有3个公共点C当r2时，存在圆N，使得圆N与圆M相切且圆N与C有4个公共点D当C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是（4，+）【答案】BCD【解析】曲线C的方程为|x+2y|，两边平方可得x2+y2x2+4y2+4xy，化为y0或4x+3y0，即曲线C表示两条直线，故A错误；当r4时，圆M的圆心为（5，0），半径为4，圆M与y0有两个交点；又圆心M到直线4x+3y0的距离为d4r，所以C与圆M有3个公共点，故B正确；当r2时，圆M的圆心为（5，0），半径r2，存在圆N，圆心N（1，0），半径为2，圆N与圆M相切且圆N与C有4个公共点，故C正确；当C与圆M的公共点最多
10、时，且为4个由r4时，C与圆M有3个公共点，可得当C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是（4，+），故D正确12.(2021江苏常数三模T7)在平面直角坐标系xOy中，点Q为圆M：（x1）2+（y1）21上一动点，过圆M外一点P向圆M引条切线，切点为A，若|PA|PO|，则|PQ|的最小值为（）ABCD【答案】C【解析】设P（a，b），|PA|PO|，圆心M（1，1），r1，化简可得2a+2b10，点P满足表达式2a+2b10，即点P在直线l：2x+2y10，由题意可知，|PQ|的最小值可转化为圆心到直线l的距离d与半径的差，|PQ|dr13.(2021宁夏中卫三模理T9)已知圆M过点A（1，
11、1）、B（1，2）、C（3，2），则圆M在点B处的切线方程为（）A2x+y0B3x+2y+10C2x+3y+40Dx+2y+30【答案】C【解析】根据题意，设圆心M的坐标为（m，n），圆M过点A（1，1）、B（1，2）、C（3，2），则点M在线段AB的垂直平分线上，则n，同理：点M在线段BC的垂直平分线上，则m2，即圆心的坐标为（2，），则KMB，则切线的斜率k，又由B（1，2），则圆M在点B处的切线方程为y+2（x1），变形可得2x+3y+4014.(2021天津南开二模T5)已知直线l与圆C：x2+y26x+50交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为D（2，）（）A2B3C4D5【答案】A
12、【解析】圆C：x2+y23x+50的圆心（5，0），直线l与圆C：x2+y46x+55交于A，B两点，），所以弦心距为：，所以弦长|AB|为：5215.(2021广东潮州二模T11)已知圆C：x22ax+y2+a210与圆D：x2+y24有且仅有两条公共切线，则实数a的取值可以是（）A3B3C2D2【答案】CD【解析】根据题意，圆C：x22ax+y2+a210，即（xa）2+y21，其圆心为（a，0），半径R1，D：x2+y24，其圆心D（0，0），半径r2，若两个圆有且仅有两条公共切线，则两圆相交，则有21|a|2+1，即1|a|3，解可得：3a1或1a3，分析选项可得：CD符合16.(20
13、21安徽淮北二模文T 11)已知圆C1：x2+y22，圆C2：（x2）2+y24若过（0，2）的直线l与圆C1、C2都有公共点，则直线l斜率的取值范围是（）A，1BCD【答案】D【解析】由题意可知，过（0，2）的直线与两个圆相切，即可满足题意，就是图形中的两条红色直线之间的部分，所以直线方程为ykx+2，所以，解得k1，k1（舍去），2，解得k，（k0的解舍去），所以直线l斜率的取值范围是17.(2021河南郑州二模文T5)若直线x+aya10与圆C：（x2）2+y24交于A，B两点，当|AB|最小时，劣弧的长为（）ABC2D3【答案】B【解析】直线x+aya10可化为：（x1）+a（y1）0
14、，则当x10且y10，即x1且y1时，等式恒成立，所以直线恒过定点M（1，1），设圆的圆心为C（2，0），半径r2，当MC直线AB时，|AB|取得最小值，且最小值为222，此时弦长AB对的圆心角为，所以劣弧长为218.(2021新疆乌鲁木齐二模文T9)已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为3，则其一条边所在直线的斜率是（）A3B2CD2【答案】B【解析】根据题意，设正方形的边所在的直线的斜率为k，正方形的对角线与四边的夹角都为45，则有tan451，解可得：k或2二、填空题部分19.(2021上海嘉定三模T11)若圆O的半径为2，圆O的一条弦AB长为2，P是圆O上任意一点，点P满足，则的最大值
15、为【答案】10【解析】【法一：建系法】如图以AB中点C为原点建系，则，所以圆O方程为，所以设，Q（x0，y0），因为，所以，所以，因为cos1，1，所以的最大值为10【法二：投影法】连接OA，OB过点O作OCAB，垂足为C，则，因为，所以Q所以，且仅当且同向时取等号，的最大值为1020.(2021上海浦东新区三模T9)若直线3x+4y+m0与曲线（为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是【答案】m10或m0【解析】曲线（为参数）表示的是以（1，2）为圆心，1为半径的圆，由于直线3x+4y+m0与圆没有公共点，所以圆心（1，2）到直线的距离d，整理得：|m5|5，解得m10或m021.(2021
16、湖南三模T15)直线l：（2a1）x+（a3）y+43a0与圆（x2）2+y29相交于A，B两点，则|AB|的最小值为；此时a【答案】；【解析】直线l：（2a1）x+（a3）y+43a0恒过定点（1，1），当圆心与点（1，1）的连线与直线AB垂直时，弦长|AB|最小，圆心（2，0）与点（1，1）间的距离为，半径为3，弦长|AB|的最小值为圆心（2，0）与点（1，1）连线的斜率为，此时直线l的斜率为1，由，解得a22.(2021河北邯郸二模理T14)直线l1：x+ay20（aR）与直线l2：平行，则a，l1与l2的距离为【答案】，【解析】根据题意，直线l2：，即3x4y40，若直线l1与直线l2
17、平行，则有1（4）3a，解可得a，当a时，直线l1：xy20，即3x4y60，直线l1与直线l2平行，符合题意，故a，此时两直线间的距离d23.(2021河北秦皇岛二模理T13)已知直线x+y50与圆C：（x2）2+（y1）24相交于A，B两点，则ABC面积为【答案】2【解析】圆C：（x2）2+（y1）24的圆心坐标为C（2，1），半径r2，圆心C到直线x+y50的距离d，直线x+y50被圆C：（x2）2+（y1）24截得的弦长为|AB|ABC面积为S24.(2021北京门头沟二模理T7)点P(cos,sin)到直线3x+4y-12=0的距离的取值范围为()A. 125,175B. 75,125C. 75,175D. 125,245【答案】C【解析】记d为点P(cos,sin)到直线3x+4y-12=0的距离，即：d=15|3cos+4sin-12|=15|5sin(+)-12|，其中tan=34；当变化时，d的最大值为175，d的最小值为75，故选：C.利用点到直线的距离公式，三角函数的性质可得答案本题考查的知识点是点到直线的距离公式，三角函数的性质，属于基础题