1、2014-2015学年福建省三明市尤溪一中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共计50分）1命题p：xR，均有x20，则p为( )Ax0R，使得x20BxR，均有x20Cx0R，使得x020DxR，均有x202对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则( )AP1=P2P3BP2=P3P1CP1=P3P2DP1=P2=P33双曲线y2=1的一个焦点坐标是( )A（，0）B（2，0）C（，0）D（1，0）4设x，yR，条件甲：+1，条件乙：，则条件甲是条件乙的
2、( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如下：且回归方程是=0.95x+a，则当x=6时，y的预测值为( )x01234y2.24.34.54.86.7A8.4B8.3C8.2D8.16过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，如果x1+x2=10，那么|AB|=( )A11B12C13D147从分别写上数字1，2，3，9的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数积是完全平方数的概率为( )ABCD8阅读如图所示的算法框图，运行相应的程序，输出的结果是( )A1B2C3
3、D49a，b，c为三个人，命题P：“如果b的年龄不是最大的，那么a的年龄最小”和命题Q：“如果c的年龄不是最小的，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄大小顺序是( )AbacBacbCcbaD不能确定10已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1（2，0），F2（2，0），椭圆的一个短轴端点为B，直线F1B与双曲线的一条渐近线平行，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，则e1+e2取值范围为( )A（2，+）B（4，+）C（4，+）D（2，+）二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11若直线l的方向向量为=（1，0，2），平面的法向量为=（2，0，4），则直线与
4、平面的位置关系是_12椭圆+=1的焦距为2，则m的值等于_13在区间上随机取一个数记为x，则使得sinx的概率为_14已知空间四点A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），P（2，3，m）同在平面内，则m的值为_15抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，A、B在抛物线上，且AFB=，弦AB的中点M在其准线上的射影为N，则的最大值为_三解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算）16（13分）设命题p：对任意实数x，不等式x22xm恒成立；命题q：方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线，（）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；（）若命题“p或q”为真命题，且“p
5、且q”为假命题，求实数m的取值范围17（13分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量的标准为了确定一个较为合理的标准，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况现采用抽样调查的方式，获得了n位居民某年的月均用水量（单位：t），样本统计结果如图表：分组频数频率0，1）25a1，2）_0.192，3）50b3，4）_0.234，5）_0.185，65_（）分别求出n，a，b的值；（）若从样本中月均用水量在5，6（单位：t）的5位居民中任选2人作进一步的调查研究，求月均用水量最多的居民被选中的频率（5位居
6、民的月均用水量均不相等）18（13分）如图，直线l与抛物线y2=x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴相交于点M，且y1y2=1（1）求证：M点的坐标为（1，0）；（2）求证：OAOB；（3）求AOB的面积的最小值19（13分）三棱柱ABCA1B1C1中，M、N分别是A1B、B1C1上的点，且BM=2A1M，C1N=2B1N设，（）试用表示向量；（）若BAC=90，BAA1=CAA1=60，AB=AC=AA1=1，求MN的长20（14分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BAAD，CDAD，CD=AD=2AB，PA底面ABCD，E是PC的中点（1）求证：BE平
7、面PAD；（2）若BE平面PCD：求异面直线PD与BC所成角的余弦值；求二面角EBDC的余弦值21（14分）已知椭圆C1：+=1（ab0）的长轴长为4，离心率为，F1、F2分别为其左右焦点一动圆过点F2，且与直线x=1相切（）（）求椭圆C1的方程； （）求动圆圆心C轨迹的方程；（）在曲线上C有两点M、N，椭圆C1上有两点P、Q，满足MF2与共线，与共线，且=0，求四边形PMQN面积的最小值2014-2015学年福建省三明市尤溪一中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共计50分）1命题p：xR，均有x20，则p为( )Ax0R，使得x20BxR，均有x20Cx0R，使得
8、x020DxR，均有x20【考点】命题的否定 【专题】计算题；规律型；对应思想；简易逻辑【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：xR，均有x20，则p为：x0R，使得x020故选：C【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题2对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则( )AP1=P2P3BP2=P3P1CP1=P3P2DP1=P2=P3【考点】简单随机抽样；分层抽样方法；系统抽样方法 【专题】概率
9、与统计【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3故选：D【点评】本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础3双曲线y2=1的一个焦点坐标是( )A（，0）B（2，0）C（，0）D（1，0）【考点】双曲线的简单性质 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据双曲线的方程和性质即可得到结论【解答】解：双曲线y2=1中a=2，b=1，c=双曲线y2=1的一个焦点坐标是（，0）故选：A【点评】本题主要考查双曲线的性质和方程，根据a
10、，b，c之间的关系是解决本题的关键4设x，yR，条件甲：+1，条件乙：，则条件甲是条件乙的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】简易逻辑【分析】结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：由+1，得|x|5且|y|3，充分性成立当x=5，y=3时，满足，但+=1+1=21不成立，即必要性不成立条件甲是条件乙的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键，比较基础5已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如下：且回归方程是=0.
11、95x+a，则当x=6时，y的预测值为( )x01234y2.24.34.54.86.7A8.4B8.3C8.2D8.1【考点】线性回归方程 【专题】应用题；概率与统计【分析】线性回归方程=0.95x+a，必过样本中心点，首先计算出横标和纵标的平均数，代入回归直线方程求出a即可得到回归直线的方程，代入x=6，可得y的预测值【解答】解：由已知可得=2，=4.5=4.5=0.95+a=1.9+aa=2.6回归方程是=0.95x+2.6当x=6时，y的预测值=0.956+2.6=8.3故选：B【点评】本题考查线性回归方程，是一个运算量较大的题目，有时题目的条件中会给出要有的平均数，本题需要自己做出，
12、注意运算时不要出错6过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，如果x1+x2=10，那么|AB|=( )A11B12C13D14【考点】抛物线的简单性质 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由抛物线的方程可得p，再利用弦长公式|AB|=x1+x2+p即可得出【解答】解：由抛物线y2=4x可得2p=4，解得p=2x1+x2=10，|AB|=x1+x2+p=10+2=12故选：B【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其弦长公式，属于基础题7从分别写上数字1，2，3，9的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数积是完全平方数的概率为( )A
13、BCD【考点】等可能事件的概率 【专题】计算题【分析】所有的取法有C92=36种，两数积是完全平方数的取法只有4种，故两数积是完全平方数的概率为 【解答】解：所有的取法有C92=36种，当取出的两个数是1和4，1和9，2和8，4和9时，两数积是完全平方数故两数积是完全平方数的概率为 =，故选 A【点评】本题考查等可能事件的概率，求得两数积是完全平方数的取法只有4种，是解题的难点8阅读如图所示的算法框图，运行相应的程序，输出的结果是( )A1B2C3D4【考点】程序框图 【专题】算法和程序框图【分析】模拟执行算法框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S=2时，满足条件S=2，退出循环，输出n
14、的值为4【解答】解：模拟执行算法框图，可得S=2，n=1S=1，n=2不满足条件S=2，S=，n=3不满足条件S=2，S=2，n=4满足条件S=2，退出循环，输出n的值为4故选：D【点评】本题主要考查了算法和程序框图，正确写出每次循环得到的S，n的值是解题的关键，属于基础题9a，b，c为三个人，命题P：“如果b的年龄不是最大的，那么a的年龄最小”和命题Q：“如果c的年龄不是最小的，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄大小顺序是( )AbacBacbCcbaD不能确定【考点】进行简单的合情推理 【专题】转化思想；分析法；简易逻辑；推理和证明【分析】由命题P为真命题时，得出abc或ca
15、b；由命题Q为真命题时，得出acb或cab，从而得出结论【解答】解：若命题P：“如果b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”为真命题；则a最小，b不是最大，即c最大，或a不是最小，b最大，c最小，即abc或cab； 若命题Q：“如果c的年龄不是最小，那么a的年龄最大”为真命题；则c不是最小，a最大，b最小，或a不是最大，c最小，b最大，即acb或cab； 若两个命题均为真命题，则cab故选：A【点评】本题考查了命题的真假判断与应用问题，也考查了逻辑推理能力，解题的关键是正确理解互为逆否的两个命题真假性相同，是基础题目10已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1（2，0），F2（2，0），椭圆的一个
16、短轴端点为B，直线F1B与双曲线的一条渐近线平行，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，则e1+e2取值范围为( )A（2，+）B（4，+）C（4，+）D（2，+）【考点】椭圆的简单性质 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设椭圆的长轴为2a，短轴为2b；双曲线的实轴为2a，虚轴为2b由椭圆、双曲线的基本概念，结合直线平行的条件，建立关系式化简可得，即，可得e1e2=1由此结合基本不等式求最值，即可算出e1+e2取值范围【解答】解：设椭圆的长轴为2a，短轴为2b；双曲线的实轴为2a，虚轴为2b椭圆的一个短轴端点为B，直线F1B与双曲线的一条渐近线平行，平方可得由此得到，即
17、，也即，可得e1e2=1e1、e2都是正数，e1+e22=2，且等号不能成立因此e1+e2取值范围为（2，+）故选：D【点评】本题给出椭圆与双曲线有公共的焦点，在椭圆的短轴端点B与F1的连线平行双曲线的一条渐近线情况下，求离心率之和的范围着重考查了椭圆、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11若直线l的方向向量为=（1，0，2），平面的法向量为=（2，0，4），则直线与平面的位置关系是l【考点】共线向量与共面向量 【专题】空间向量及应用【分析】利用向量共线定理、线面垂直的判定定理即可判断出【解答】解：=2，因此l故答案为：l【点评
18、】本题考查了向量共线定理、线面垂直的判定定理，属于基础题12椭圆+=1的焦距为2，则m的值等于3或5【考点】椭圆的简单性质 【专题】计算题【分析】由题意可得：c=1，再分别讨论焦点的位置进而求出m的值【解答】解：由题意可得：c=1当椭圆的焦点在x轴上时，m4=1，解得m=5当椭圆的焦点在y轴上时，4m=1，解得m=3故答案为：3或5【点评】本题只要考查椭圆的标准方程，以及椭圆的有关性质13在区间上随机取一个数记为x，则使得sinx的概率为【考点】几何概型 【专题】概率与统计【分析】在x时解sinx，由几何概型的概率公式可得【解答】解：在区间上随机取一个数记为x，则x的基本事件空间为长度为（）=
19、的线段，当x时解sinx可得x，所求概率P=故答案为：【点评】本题考查几何概型，涉及三角不等式的解法，属基础题14已知空间四点A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），P（2，3，m）同在平面内，则m的值为4【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直 【专题】空间向量及应用【分析】四点A，B，C，P同在平面内，可得存在实数，使得=+，解出即可【解答】解：=（1，1，0），=（1，0，1），=（1，3，m），四点A，B，C，P同在平面内，存在实数，使得=+，解得m=4故答案为：4【点评】本题考查了向量共面定理、向量的线性坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题15抛物线y2=2p
20、x（p0）的焦点为F，A、B在抛物线上，且AFB=，弦AB的中点M在其准线上的射影为N，则的最大值为【考点】抛物线的简单性质 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，2|MN|=a+b再由勾股定理可得|AB|2=a2+b2，进而根据基本不等式，求得|AB|的范围，进而可得答案【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，得AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b由勾股定理得，|AB|2=a2+b2配方得，|AB|2=（a+b）22ab，又ab（）2，（a+b）22ab（a+b）2得到|A
21、B|（a+b）所以=，即的最大值为故答案为：【点评】本题主要考查抛物线的应用和解三角形的应用，考查了计算能力、分析问题和解决问题的能力三解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算）16（13分）设命题p：对任意实数x，不等式x22xm恒成立；命题q：方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线，（）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；（）若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数m的取值范围【考点】复合命题的真假 【专题】简易逻辑【分析】（1）命题q：方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线，可得，解得m即可（2）若命题p真，即对任意实数x，不等式x22xm恒成立，k可得
22、m（x22x）min，利用二次函数的单调性可得m1由pq为真命题，pq为假命题，可得p真q假，或p假q真【解答】解：（1）命题q：方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线，则，解得m5即命题q为真命题时，实数m的取值范围是m5；（2）若命题p真，即对任意实数x，不等式x22xm恒成立，m（x22x）min，（x1）211，m1pq为真命题，pq为假命题，即p真q假，或p假q真，如果p真q假，则，解得m1；如果p假q真，则，解得m5；所以实数m的取值范围为m1或m5【点评】本题考查了简易逻辑的判定、双曲线的标准方程、二次函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题17（13分）我国是世界上严重缺水的国家之
23、一，城市缺水问题较为突出某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量的标准为了确定一个较为合理的标准，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况现采用抽样调查的方式，获得了n位居民某年的月均用水量（单位：t），样本统计结果如图表：分组频数频率0，1）25a1，2）380.192，3）50b3，4）460.234，5）360.185，650.025（）分别求出n，a，b的值；（）若从样本中月均用水量在5，6（单位：t）的5位居民中任选2人作进一步的调查研究，求月均用水量最多的居民被选中的频率（5位居民的月均用水量均不相等）【考点】频率分布直方图；频率分布表 【
24、专题】概率与统计【分析】（I）从直方图中得在2，3）小组中的频率，利用频率分布直方图中小长方形的面积=组距=频率求出b，再利用样本容量等于频数除以频率得出n，最后求出a处的数；（II）设A，B，C，D，E代表用水量从多到少的5位居民，从中任选2为，总的基本事件为AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，包含A的有AB，AC，AD，AE共4个，根据古典概率计算公式计算即可【解答】解：（I）根据频率分布直方图中小长方形的面积=组距=频率，从直方图中得在2，3）小组中的频率为0.251=0.25，即b=0.25从而n=200，a=0.125n=200，a=0.125，b=0
25、.25（II）设A，B，C，D，E代表用水量从多到少的5位居民，从中任选2为，总的基本事件为AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，包含A的有AB，AC，AD，AE共4个，所以即为月均用水量最多的居民被选中的频率【点评】用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法频率分布直方图中小长方形的面积=组距=频率，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求频率，属于常规题型18（13分）如图，直线l与抛物线y2=x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴相交于点M，且y1y2=1（1）求证：M点的坐标为（1，0）；（2）求证：OAOB；（3）求AOB的面积的最小值
26、【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 【专题】计算题【分析】（1）设出点M的坐标和直线l的方程，代入抛物线方程利用韦达定理求得x0=y1y2，进而求得x0，则点M的坐标可得（2）利用y1y2=1，求得x1x2+y1y2=0，进而判断出OAOB（3）利用（1）中的方程根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而求得|y1y2|的表达式，进而利用|OM|代入三角形面积公式求得三角形AOB的面积表达式，利用m的范围求得面积的最小值【解答】解：（1）设M点的坐标为（x0，0），直线l方程为x=my+x0，代入y2=x得y2myx0=0，y1，y2是此方程的两根，x0=y1y2=1，即M点的坐标为（1，0）
27、（2）y1y2=1，x1x2+y1y2=y12y22+y1y2=y1y2（y1y2+1）=0OAOB（3）由方程，y1+y2=m，y1y2=1，且|OM|=x0=1，于是=1，当m=0时，AOB的面积取最小值1【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题考查了基础知识综合理解和应用，方程与函数思想的运用19（13分）三棱柱ABCA1B1C1中，M、N分别是A1B、B1C1上的点，且BM=2A1M，C1N=2B1N设，（）试用表示向量；（）若BAC=90，BAA1=CAA1=60，AB=AC=AA1=1，求MN的长【考点】空间向量的夹角与距离求解公式 【专题】计算题；数形结合；转化思想；数形结
28、合法【分析】（）由图形知=再用表示出来即可（）求MN的长，即求，利用求向量模的方法，求即可求得MN的长【解答】解：（）由图形知=（）由题设条件=，【点评】本题考查空间向量的夹角与距离求解公式，解题的关键是掌握住向量加法法则与用空间向量求线段长度的公式，空间向量法求立体几何中距离是空间向量的一个非常重要的运用理解并记忆熟练公式是解题的知识保证20（14分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BAAD，CDAD，CD=AD=2AB，PA底面ABCD，E是PC的中点（1）求证：BE平面PAD；（2）若BE平面PCD：求异面直线PD与BC所成角的余弦值；求二面角EBDC的余弦值【考点
29、】直线与平面平行的判定；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题 【专题】计算题；综合题；转化思想【分析】建立空间直角坐标系求出相关向量，（1）利用共面向量定理：，证明BE平面PAD；（2）若BE平面PCD，求出=（0，2a，2a）和=（a，2a，0）的数量积来求异面直线PD与BC所成角的余弦值；求平面BDE的一个法向量为=（2，1，1）；平面BDC的一个法向量为=（0，0，1）；然后求向量的数量积来求二面角EBDC的余弦值【解答】解：设AB=a，PA=b，建立如图的空间坐标系，A（0，0，0），B（a，0，0），P（0，0，b），C（2a，2a，0），D（0，
30、2a，0），E（a，a，）（1）=（0，a，），=（0，2a，0），=（0，0，b），所以，BE平面PAD，BE平面PAD；（2）BE平面PCD，BEPC，即=0=（2a，2a，b），=0，即b=2a=（0，2a，2a），=（a，2a，0），cos，=，所以异面直线PD与BC所成角的余弦值为；平面BDE和平面BDC中，=（0，a，a），=（a，2a，0），=（a，2a，0），所以平面BDE的一个法向量为=（2，1，1）；平面BDC的一个法向量为=（0，0，1）；cos，=，所以二面角EBDC的余弦值为【点评】本题考查直线与平面平行的判定，二面角的求法，考查转化思想，计算能力，是中档题21（14
31、分）已知椭圆C1：+=1（ab0）的长轴长为4，离心率为，F1、F2分别为其左右焦点一动圆过点F2，且与直线x=1相切（）（）求椭圆C1的方程； （）求动圆圆心C轨迹的方程；（）在曲线上C有两点M、N，椭圆C1上有两点P、Q，满足MF2与共线，与共线，且=0，求四边形PMQN面积的最小值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；圆锥曲线的轨迹问题 【专题】综合题【分析】（）（）由题设知：，由此能求出椭圆方程（）由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线C的焦点为（1，0），准线方程为x=1，由此能求出动圆圆心轨迹方程（）当直线斜率不存在时，|MN|=4，此时PQ的长即为椭圆长轴长，|PQ
32、|=4，从而四边形PMQN面积为8；设直线MN的斜率为k，直线MN的方程为：y=k（x1），直线PQ的方程为y=，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），由，得k2x2（2k2+4）x+k2=0，由抛物线定义可知：|MN|=4+，由此求出SPMQN=8，所以四边形PMQN面积的最小值为8【解答】解：（）（）由题设知：，a=2，c=1，b=，所求的椭圆方程为（）由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线C的焦点为（1，0），准线方程为x=1，则动圆圆心轨迹方程为C：y2=4x（）当直线斜率不存在时，|MN|=4，此时PQ的长即为椭圆长轴长，|PQ|=4，从而=8，
33、设直线MN的斜率为k，直线MN的方程为：y=k（x1），直线PQ的方程为y=，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），由，消去y可得k2x2（2k2+4）x+k2=0，由抛物线定义可知：|MN|=|MF2|+|NF2|=x1+1+x2+1=4+，由，消去y得（3k2+4）x28x+412k2=0，从而|PQ|=，SPMQN=24，令1+k2=t，k20，则t1，则SPMQN=因为3=4（1+）2（0，3），所以SPMQN=8，所以四边形PMQN面积的最小值为8【点评】本题考查椭圆方程和轨迹方程的求法，考查四边形面积的最小值的求法综合性强，难度大，是高考的重点解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化
