1、活页作业(十四)最大值、最小值问题1已知函数yx22x3在a,2上的最大值为，则a等于()ABCD或解析：对y求导得y2x2.令y0，得x1.当a1时，最大值为f(1)4，不合题意当1a2时，f(x)在a,2上是减少的，最大值为f(a)a22a3，解得a或a(舍去)答案：C2f(x)x33x22在区间1,1上的最大值是()A2B0C2D4解析：对y求导得f(x)3x26x3x(x2)令f(x)0可得x0或x2(舍去)，当1x0；当0x1时，f(x)0.所以当x0时，f(x)取得最大值为2.答案：C3要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为()A cmB cmC cmD
2、 cm解析：设圆锥的高为x cm，则底面半径为cm，其体积为Vx(202x2)(0x20)，V(4003x2)，令V0，解得x1，x2(舍去)当0x0；当x20时，V0，yx281(9x)(9x)，令y0，解得x9.x(0,9)时，y0；x(9，)时，y0.x9时函数取得最大值答案：C5用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，则该长方体的最大体积为()A2 m3B3 m3C4 m3D5 m3解析：设长方体的宽为x m，则长为2x m，高为h(4.53x)m.长方体的体积为V(x)2x2(4.53x)9x26x3.V(x)18x18x218x(1x)令V(x)
3、0，解得x1或x0(舍去)当0x0；当1x时，V(x)0，得x2或x2；由f(x)0，得2x2.f(x)在3，2上是增加的，在2,2上是减少的，在2,3上是增加的又f(3)17，f(2)24，f(2)8，f(3)1，最大值M24，最小值m8.Mm24(8)32.答案：327在半径为r的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为_时，它的面积最大解析：如右图，设OBC，则0，ODrsin ，BDrcos .SABCrcos (rrsin )r2cos r2sin cos .令SABCr2sin r2(cos2sin2)0，得cos 2sin .又0x，求a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)x2l
4、n xx，f(x).当x(0,1)时，f(x)0.f(x)的最小值为f(1)0.(2)由f(x)x，得f (x)xx2ln x(a1)x0.x0，f(x)x等价于xa1.令g(x)x，则g(x).当x(0,1)时，g(x)0.g(x)有最小值g(1)1.a10)，g(x)(x0)令g(x)0，则x8.当0x8时，g(x)8时，g(x)0.当x8时，函数取得极小值，且为最小值故当建成8块球场时，每平方米的综合费用最省11某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(t)与每吨产品的价格P(元/t)之间的关系式为P24 200x2，且生产x t的成本为C50 000200x(元)，则月产量为多少t时，
5、利润达到最大值？()A100B160C200D240解析：根据题意，列出函数关系式，求导求解每月生产x t时的利润为f(x)x(50 000200x)x324 000x50 000(x0)令f(x)x224 0000，解得x1200，x2200(舍去)f(x)在0，)内只有一个点x200使f(x)0，它就是最大值点，且最大值为f(200)200324 00020050 0003 150 000(元)每月生产200 t产品时利润达到最大，最大利润为315万元答案：C12容积为256的方底无盖水箱，它的高为_时用料最省解析：设方底无盖水箱的底面边长为a，高为h，则Va2h256，即h.用料最省，即
6、表面积最小，由题意列式如下：S表S底S侧a24aha24aa2S2a.令S0，即2a0，解得a8.当0a8时，S8时，S0.当a8时，S表取得极小值，也是最小值h4.答案：413函数f(x)536x3x24x3在区间2，)上的最大值为_，最小值为_解析：f(x)366x12x2，令f(x)0，解得x12，x2.当x时，f(x)是增加的；当2x时，f(x)是减少的在2，)上无最大值又f28，最小值为28.答案：不存在2814函数f(x)，当6x8时的最大值为_，最小值为_解析：f(x)，令f(x)0，得x0.又f(6)8，f(0)10，f(8)6.f(x)min6，f(x)max10.答案：10
7、615已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元，设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每销售1千件的收入为R(x)万元，且R(x)(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数关系式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？解：(1)当010时，WxR(x)(102.7x)982.7x.W(2)当00；x(9,10)时，W10时，令W2.70，得x.当x时，W0；当x时，W0)，g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a24b时，求函
8、数f(x)g(x)的单调区间，并求其在区间(，1上的最大值解：(1)由(1，c)为公共切点，f(x)ax21(a0)，则f(x)2ax，k12a，g(x)x3bx，g(x)3x2b，k23b.2a3b.又f(1)a1，g(1)1b，a11b，即ab，代入式可得(2)a24b，设h(x)f(x)g(x)x3ax2a2x1.h(x)3x22axa2.令h(x)0，解得x1，x2.a0，.原函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当1，即a2时，最大值为h(1)a.当1，即2a6时，最大值为h1.当1，即a6时，最大值为h1.综上所述：当a(0,2时，最大值为h(1)a；当a(2，)时，最大值为h1.
