1、1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数ysin x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0)余弦函数ycos x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，0)，(，1)，(，0)，(2，1)2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RRx|xR且xk，kZ值域1,11,1R单调性在2k，2k(kZ)上递增；在2k，2k(kZ)上递减在2k，2k(kZ)上递增；在2k，2k(kZ)上递减在(k，k)(kZ)上递增最值当x2k(kZ)时，ymax1；当x2k(kZ)时，ymin1当x2k(k
2、Z)时，ymax1；当x2k(kZ)时，ymin1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(k，0)(kZ)(k，0) (kZ)(，0)(kZ)对称轴方程xk(kZ)xk(kZ)周期22【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)ysin x在第一、第四象限是增函数()(2)常数函数f(x)a是周期函数，它没有最小正周期()(3)正切函数ytan x在定义域内是增函数()(4)已知yksin x1，xR，则y的最大值为k1.()(5)ysin |x|是偶函数()(6)若sin x，则x.()1(教材改编)函数ysin x，x，的单调性是()A在，0上是增函数，在0，上是减函数B在上
3、是增函数，在和上都是减函数C在0，上是增函数，在，0上是减函数D在和上是增函数，在上是减函数答案B2函数ytan 2x的定义域是()A.B.C.D.答案D解析由2xk，kZ，得x，kZ，ytan 2x的定义域为.3(2015保定期末)已知函数f(x)sin (0)的最小正周期为，则f等于()A1 B. C1 D答案A解析因为函数f(x)sin (0)的最小正周期为，所以2，则fsinsin 1，所以选A.4(2015安徽)已知函数f(x)Asin(x)(A，均为正的常数)的最小正周期为，当x时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是()Af(2)f(2)f(0) Bf(0)f(2)f(2)
4、Cf(2)f(0)f(2) Df(2)f(0)0，min，故f(x)Asin(2x)于是f(0)Asin ，f(2)AsinAsinAsin，f(2)AsinAsinAsinAsin.又44，又f(x)在上单调递增，f(2)f(2)0)的最小正周期为，则该函数的图象()A关于直线x对称B关于点对称C关于直线x对称D关于点对称(2)已知函数y2sin的图象关于点P(x0,0)对称，若x0，则x0_.答案(1)A(2)解析(1)依题意得T，2，故f(x)sin，所以fsinsin 10，fsinsin 0，因此该函数的图象关于直线x对称(2)由题意可知2x0k，kZ，故x0，kZ，又x0，k0时，
5、x0.命题点3由对称性求参数例5若函数ycos(N*)图象的一个对称中心是，则的最小值为()A1 B2C4 D8答案B解析由题意知k(kZ)6k2(kZ)，又N*，min2，故选B.思维升华(1)对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断(2)求三角函数周期的方法：利用周期函数的定义利用公式：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.(1)已知函数f(x)2sin(x)，对于任意x都有ff，则f的值为_(2)已
6、知函数f(x)sin xacos x的图象关于直线x对称，则实数a的值为()A BC. D.答案(1)2或2(2)B解析(1)ff，x是函数f(x)2sin(x)的一条对称轴f2.(2)由x是f(x)图象的对称轴，可得f(0)f，解得a.3三角函数的对称性、周期性、单调性典例(1)(2015四川)下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是()AycosBysinCysin 2xcos 2xDysin xcos x(2)(2015课标全国)函数f(x)cos(x)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ(3)已知函数f(x)2cos(x)
7、b对任意实数x有f(x)f(x)成立，且f()1，则实数b的值为()A1 B3C1或3 D3思维点拨(1)逐个验证所给函数是否满足条件；(2)根据图象先确定函数的周期性，然后先在一个周期内确定f(x)的减区间；(3)由f(x)f(x)可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可解析(1)选项A中，ycossin 2x，符合题意(2)由图象知，周期T22，2，.由2k，kZ，不妨取，f(x)cos.由2kx2k，kZ，得2kx0)的形式2函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.3对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的
8、方法令tx，将其转化为研究ysin t的性质4对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解失误与防范1闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响2要注意求函数yAsin(x)的单调区间时的符号，若0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则的最小值是()A. B1 C. D2答案D解析根据题意平移后函数的解析式为ysin ，将代入得sin 0，则2k，kZ，且0，故的最小值为2.4关于函数ytan，下列说法正确的是()
9、A是奇函数B在区间上单调递减C.为其图象的一个对称中心D最小正周期为答案C解析函数ytan是非奇非偶函数，A错误；在区间上单调递增，B错误；最小正周期为，D错误当x时，tan0，为其图象的一个对称中心，故选C.5函数ycos 2xsin2x，xR的值域是()A0,1 B，1 C1,2 D0,2答案A解析ycos 2xsin2xcos 2x.cos 2x1,1，y0,16函数f(x)sin(2x)的单调增区间是_答案(kZ)解析由f(x)sin(2x)sin 2x，2k2x2k (kZ)得kxk(kZ)7函数ytan的图象与x轴交点的坐标是_答案(kZ)解析由2xk(kZ)得，x(kZ)函数yt
10、an的图象与x轴交点的坐标是(kZ)8设函数f(x)3sin(x)，若存在这样的实数x1，x2，对任意的xR，都有f(x1)f(x)f(x2)成立，则|x1x2|的最小值为_答案2解析f(x)3sin(x)的周期T24，f(x1)，f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值，故|x1x2|的最小值为2.9已知函数f(x)cos x(sin xcos x).(1)若0，且sin ，求f()的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间解(1)因为0，sin ，所以cos .所以f().(2)因为f(x)sin xcos xcos2 xsin 2xsin 2xcos 2xsin，所以最小
11、正周期T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为，kZ.10(2015湖北)某同学用“五点法”画函数f(x)Asin(x)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： x02xAsin(x)0550(1) 请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；(2) 将yf(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度，得到yg(x)的图象若yg(x)图象的一个对称中心为，求的最小值解(1)根据表中已知数据，解得A5，2，.数据补全如下表：x02xAsin(x)05050且函数解析式为f(x)5sin.(2)由(1)知f(x)5si
12、n，得g(x)5sin.因为函数ysin x图象的对称中心为(k，0)，kZ.令2x2k，解得x，kZ.由于函数yg(x)的图象关于点成中心对称，所以令，解得，kZ.由0可知，当k1时，取得最小值.B组专项能力提升(时间：20分钟)11已知函数f(x)2sin(2x)(|)，若f()2，则f(x)的一个单调递减区间是()A， B，C， D，答案C解析由f()2得f()2sin(2)2sin()2，所以sin()1.因为|，所以.由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.当k0时，x，故选C.12已知函数y2sin(2x) (|)的图象经过点(0,1)，则该函数的一条对称轴方程为()Ax BxCx
13、 Dx答案C解析因为函数y2sin(2x)的图象经过点(0,1)，所以2sin 1，sin .又|0，0)若f(x)在区间上具有单调性，且fff，则f(x)的最小正周期为_答案解析f(x)在上具有单调性，T .ff，f(x)的一条对称轴为x.又ff，f(x)的一个对称中心的横坐标为.T，T.14. 已知函数f(x)Atan(x)(0，|)，yf(x)的部分图象如图，则f()_.答案解析由题中图象可知，此正切函数的半周期等于，即最小正周期为，所以2.由题意可知，图象过定点(，0)，所以0Atan(2)，即k(kZ)，所以k(kZ)，又|0，函数f(x)2asin2ab，当x时，5f(x)1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)f且lg g(x)0，求g(x)的单调区间解(1)x，2x.sin，2asin2a，af(x)b,3ab，又5f(x)1，b5,3ab1，因此a2，b5.(2)由(1)得，f(x)4sin1，g(x)f4sin14sin1，又由lg g(x)0，得g(x)1，4sin11，sin，2k2x2k，kZ，其中当2k2x2k，kZ时，g(x)单调递增，即kxk，kZ，g(x)的单调增区间为，kZ.又当2k2x2k，kZ时，g(x)单调递减，即kxk，kZ.g(x)的单调减区间为，kZ.