1、课时评价作业基础达标练1.（2021山东济南回民中学高二期中）若平面 平面 ，且平面 的一个法向量为n=(-2,1,12) ，则平面 的法向量可以是( )A.(-1,12 ,14 )B.(2,-1，0)C.（1，2，0）D.(12,1,2)答案：C2.在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，点E 是棱B1C1 的中点，点F 是线段CD1 上的一个动点.有以下三个命题：异面直线AC1 与B1F 所成的角是定值；三棱锥B-A1EF 的体积是定值；直线A1F 与平面B1CD1 所成的角是定值.其中真命题的个数是( )A.3B.2C.1D.0答案： B3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长
2、为1，P 为AA1 的中点，M 在平面AA1B1B 上运动，若D1MCP ，则BCM 的面积的最小值为( )A.515 B.510C.5 D.2答案：B解析：过M 作MG 平面ABCD ，垂足为G ，以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0) ，C(0,1,0) ，A(1,0,0) ，P(1,0,12) ，D1(0,0,1) ，B(1,1,0) .设M(1,a,b) ，0a1 ，0b1 则D1M=(1,a,b-1) ，CP=(1,-1,12) ，BM=(0,a-1,b) ，D1MCP ，D1MCP=1-a+12(b-1)=12b-a+12=0 ，b=2a-1 ，由正方体的
3、性质可知BCMB ，且|BM|=(a-1)2+b2=5a2-6a+2 ，SBCM=12BCMB=125a2-6a+2 ，当a=35 时，(5a2-6a+2)min=15 ，(SBCM)min=1215=510 .4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，BAC=2 ，AB=AC=AA1=1 ，已知G 与E 分别为A1B1 和CC1 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若GDEF ，则线段DF 的长度的取值范围为( )A.55,1) B.324,52C.55,2) D.2,3答案：A素养提升练5.（2021天津静海高二月考）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA
4、底面ABCD ，且底面ABCD 为直角梯形，ABCD ，BAD=90 ，PA=AD=AB=1 ，CD=2 ，E 为PC 的中点.（1）求证：BE 平面PCD ；（2）求平面BDE 和底面ABCD 夹角的余弦值.答案： （1）证明：以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，依题意得A(0,0,0) ，B(1,0,0) ，C(2,1,0) ，D(0,1,0) ，P(0,0,1) ，E(1,12,12) .所以PC=(2,1,-1) ，CD=(-2,0,0) ，BE=(0,12,12) ，因为PCBE=0+12+(-12)=0 ，CDBE=
5、0+0+0=0 ，所以PCBE ，CDBE ，又因为PCCD=C ，PC ，CD 平面PCD ，所以BE 平面PCD .（2）依题意可知AP=(0,0,1) 为底面ABCD 的一个法向量，由（1）知BD=(-1,1,0) ，BE=(0,12,12) .设平面BDE 的法向量为n=(x,y,z) ，则nBD=0,nBE=0, 即-x+y=0,12y+12z=0,令z=2 ，可得n=(-2,-2,2) ，所以cosAP,n=APn|AP|n|=223=33 ，所以平面BDE 和底面ABCD 夹角的余弦值为33 .6.（2021江苏扬州宝应中学高二期中）在三棱柱ABC-A1B1C1 中，AA1 平面
6、ABC,AA1=AC=BC=2 ，ACB=90 ，D ，E 分别是A1B1 ，CC1 的中点.（1）求直线BC1 与平面A1BE 所成角的正弦值；（2）在棱CC1 上是否存在一点P ，使得平面PAB 与平面A1BE 的夹角为60 ？若存在，确定点P 的位置；若不存在，请说明理由.答案：（1）由题意可知，CC1 ，CA ，CB两两垂直，故以C为坐标原点，CA ，CB ，CC1 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(0,2,0) ，C1(0,0,2) ，E(0,0,1) ，A1(2,0,2) ，A(2,0,0) ，所以BC1=(0,-2,2) ，EA1=(2,0,1)
7、 ，EB=(0,2,-1) ，设平面A1BE 的法向量为n=(x,y,z) ，则nEA1=0,nEB=0, 即2x+z=0,2y-z=0 令x=1 ，可得y=-1 ，z=-2 即n=(1,-1,-2) ，所以cosBC1,n=BC1n|BC1|n|=-36 ，所以直线BC1 与平面A1BE 所成角的正弦值为36 .（2）假设在棱CC1 上存在一点P 满足题意.设CP=a(0a2) ，则P(0,0,a) ，所以PA=(2,0,-a) ，PB=(0,2,-a)，设平面PAB 的法向量为m=(x1,y1,z1),则mPA=0,mPB=0, 即2x1-az1=0,2y1-az1=0, 令z1=2 ，可
8、得x1=a ，y1=a 即m=(a,a,2) ，由（1）知平面A1BE 的一个法向量为n=(1,-1,-2) ，所以cosm,n=mn|m|n|=-4a2+a2+46 ，因为平面PAB 与平面A1BE 的夹角为60 ，所以4a2+a2+46=cos60=12 ，解得a2=103 ，此时a=303 （负值舍去），符合题意，所以在棱CC1 上存在一点P ，且CP=303 ，使得平面PAB 与平面A1BE 的夹角为60 .创新拓展练7.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA 平面ABCD ，PA=AD=CD=2 ，BC=3 ，PC=23 ，E 为PB 的中点， .求证：四边形ABCD 是直角梯形，并求
9、直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值.从CDBC ，BC 平面PAD 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并完成解答.命题分析 本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用，线面角的求法以及逻辑推理、数学运算的素养.答题要领 选，由PA 平面ABCD 可得PAAD ，PACD .求解三角形得CDPD ，由直线与平面垂直的判定定理可得CD 平面PAD ，则CDAD ，进而得到ADBC ，故四边形ABCD是直角梯形.过A 作AD 的垂线交BC 于点M .以A 为坐标原点建立空间直角坐标系Axyz .求出平面PCD 的法向量与AE 的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线AE 与平面PCD 所成角的
10、正弦值.选，由PA 平面ABCD 可得PAAD ，PACD .求解三角形得CDPD ，由直线与平面垂直的判定定理可得CD 平面PAD ，则CDAD ，然后由BC 平面PAD 得BCAD ，则四边形ABCD 是直角梯形.求直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值，同.详细解析 选，先证四边形ABCD 是直角梯形.PA 平面ABCD ，且AD,CD 平面ABCD ，PAAD ，PACD .PA=AD=CD=2 ，PD=22 .又PC=23 ，CD2+PD2=PC2 ，CDPD .又PAPD=P ，PA ，PD 平面PAD ，CD 平面PAD ，且AD 平面PAD ，CDAD .又CDBC ，ADBC
11、 ， 四边形ABCD 是直角梯形.再求直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值.过A 作AD 的垂线交BC 于点M ，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A(0,0,0) ，C(2,2,0) ，D(0,2,0) ，P(0,0,2) ，B(2,-1,0) .E 为PB 的中点，E(1,-12,1) ，AE=(1,-12,1) ，PC=(2,2,-2) ，PD=(0,2,-2) .设平面PCD 的法向量为n=(x,y,z) ，则nPC=2x+2y-2z=0,nPD=2y-2z=0, 令y=1 ，得n=(0,1,1) .设直线AE 与平面PCD 所成的角为 ，sin=|cosn,AE|=|-12
12、1+11|232=26 . 直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值为26 .选，先证四边形ABCD 是直角梯形.PA 平面ABCD ，且AD ，CD 平面ABCD ，PAAD ，PACD .PA=AD=CD=2 ，PD=22 .又PC=23 ，CD2+PD2=PC2 ，CDPD .PAPD=P ，PA ，PD 平面PAD ，CD 平面PAD ，又AD 平面PAD ，CDAD .BC 平面PAD ，BC 平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD=AD ，BCAD ，则四边形ABCD 是直角梯形.再求直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值.同.解题感悟 立体几何的综合问题，首先利用定义、定理、公理等证明空间线线、线面、面面的平行或垂直关系，再利用空间向量进行空间角的计算.
