1、此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 绝密 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试最后一卷文 科 数 学注意事项:1、本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。2、回答第卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。3、回答第卷时,将答案填写在答题卡上,写在试卷上无效。4、考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知,为虚数单位若复数是纯虚
2、数则的值为( )AB0C1D2【答案】C【解析】由题意,复数为纯虚数,则,即,故选C2若,且,则的值为( )ABCD【答案】A【解析】由题意,根据诱导公式得,又因为,所以,所以,所以,故选A3某高校调查了320名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了下图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是,样本数据分组为,根据直方图,这320名学生中每周的自习时间不足小时的人数是( )A68B72C76D80【答案】B【解析】由频率分布直方图可得,320名学生中每周的自习时间不足小时的人数是人选B4正方形中,点,分别是,的中点,那么( )ABCD【答案】D【解析】因为点是的中点,所以,点是的中点,所以
3、,所以,故选D5已知双曲线是离心率为,左焦点为,过点与轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点,若的面积为20,其中是坐标原点,则该双曲线的标准方程为( )ABCD【答案】A【解析】由可得,故双曲线的渐近线方程为,由题意得,解得,双曲线的方程为选A6某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )ABCD【答案】D【解析】由三视图可得,该几何体是一个三棱柱与一个圆柱的组合体(如图所示),其体积7执行如下图的程序框图,若输入的值为2,则输出的值为( )ABCD【答案】C【解析】运行框图中的程序可得,不满足条件,继续运行;,不满足条件,继续运行;,不满足条件,继续运行;,不满足条件,继续运
4、行;,满足条件,停止运行,输出选C8函数的图象大致是( )ABCD【答案】A【解析】由题意,函数满足,所以函数为奇函数,图象关于原点对称,排除C,又由且,排除B、D,故选A9已知函数的最小正周期为,将其图象向右平移个单位后得函数的图象,则函数的图象( )A关于直线对称B关于直线对称C关于点对称D关于点对称【答案】D【解析】由题意得,故,选项A,B不正确又,选项C不正确,选项D正确选D10若,是两条不同的直线,是三个不同的平面,;,;,;若,则;则以上说法中正确的有( )个A1B2C3D4【答案】B【解析】由,是两条不同的直线,是三个不同的平面,知:对于,由线面垂直的判定定理得,故正确;对于,则
5、与平行或异面,故错误;对于,由线面垂直的判定定理得,故正确;对于,若,则与相交或平行,故错误故选B11已知椭圆的短轴长为2,上顶点为,左顶点为,分别是椭圆的左、右焦点,且的面积为,点为椭圆上的任意一点,则的取值范围为( )ABCD【答案】D【解析】由已知得,故;的面积为,又,又,即的取值范围为选D12已知函数若对区间内的任意实数、,都有,则实数的取值范围是( )ABCD【答案】C【解析】由题得,当时,所以函数在单调递减,因为对区间内的任意实数、,都有,所以,所以,故,与矛盾,故不成立当时,函数在单调递增,在单调递减所以,因为对区间内的任意实数、,都有,所以,所以,即,令,所以,所以函数在上单调
6、递减,所以,所以当时,满足题意当时,函数在单调递增,因为对区间内的任意实数、,都有,所以,故,所以,故;综上所述,;故选C第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。第(22)(23)题为选考题,考生根据要求作答。二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。13设变量,满足约束条件,则的最大值为_【答案】5【解析】画出不等式组所表示的平面区域,如图所示,设目标函数,化简得,由图象可知,当直线过点点时,直线在纵轴的截距最大,此时目标函数取得最大值,由,解得,即,所以目标函数的最大值为14若函数是偶函数时,则满足的实数取值范围是_【答案】【解析】函数是偶函数
7、,且时,时,单调递增,时,单调递减又,不等式可化为,解得,实数取值范围是15在锐角中,内角,所对的边分别是,若,则的取值范围是_【答案】【解析】由正弦定理得,由于三角形为锐角三角形,所以,所以,而,所以16数列的前项和,数列满足,则对于任意的正整数,下列结论正确的是_;【答案】【解析】由题可知,当时,两式相减得,成立,正确;当时,不正确;,正确;成立,正确就答案为三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知是等比数列,且,成等差数列(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列前项的和【答案】(1);(2)【解析】(1)设数列公比为,则,因为,成等差数列,所以,即,整理得,因为,所以
8、,所以(2)因为,所以18(12分)如图,在四棱锥中,底面,为的中点,底面为直角梯形,且(1)求证:平面;(2)若与平面所成角的正弦值为,求四棱锥的体积【答案】(1)见解析;(2)【解析】证明:(1)设中点分别是,连接,则,四边形为平行四边形,平面,平面,平面(2)平面,是与平面所成角,又在中,直角三角形中,又,19(12分)某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试,现从中随机抽取名学生的测试成绩,整理数据并按分数段,进行分组,已知测试分数均为整数,现用每组区间的中点值代替该组中的每个数据,则得到体育成绩的折线图如下:(1)若体育成绩大于或等于70分的学生为“体育良好”,已知该校高一年级有
9、1000名学生,试估计该校高一年级学生“体育良好”的人数;(2)为分析学生平时的体育活动情况,现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取人,求所抽取的名学生中,至少有1人为“体育良好”的概率;(3)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为,且,当三人的体育成绩方差最小时,写出,的值(不要求证明)注:,其中【答案】(1)人;(2);(3),或,【解析】(1)体育成绩大于或等于70分的学生有30人,人;(2)设“至少有1人体育良好”为事件,总共有10种组合,则(3)当数据,的方差最小时,或,20(12分)已知椭圆的中心在原点,离心率等于,它的一个长轴端点恰好是抛物线的焦点(1)求椭圆的方程;(2)已知,是椭圆
10、上的两点,是椭圆上位于直线两侧的动点若直线的斜率为,求四边形面积的最大值当,运动时,满足,试问直线的斜率是否为定值?请说明理由【答案】(1);(2)的斜率为定值【解析】(1)因为抛物线方程,所以抛物线焦点为所以,又,所以,所以椭圆的方程为(2)设,设直线的方程为,联立消,得,又,在直线两侧的动点,所以所以,又,所以,当时,四边形面积取得最大值为当时,斜率之和为设直线的斜率为,则直线的斜率为设的方程为,联立,消得,所以,同理所以,所以所以的斜率为定值21(12分)已知函数(1)求曲线在处的切线方程;(2)设,若有两个零点,求实数的取值范围【答案】(1);(2)【解析】(1)由题易知,在处的切线方
11、程为(2)由题易知,当时,在上单调递增,不符合题意当时,令,得,在上,在上,在上单调递减,在上单调递增,有两个零点,即,解得,实数的取值范围为请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22(10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为(1)求圆的直角坐标方程;(2)若是直线与圆的公共点,求的值【答案】(1)见解析;(2)见解析【解析】(1)圆的极坐标方程为,所以,又,圆普通方程为(2)圆的方程为,即,将直线的参数方程,(为参数)化为普通方程:,直线与圆的交点为和,23(10分)选修4-5:不等式选讲已知函数(1)解不等式;(2)若,且,证明:【答案】(1);(2)见解析【解析】(1)解:,当时,;当时,无解;当时,综上,不等式的解集为:(2)证明:因为,所以,所以,