1、第四章DISIZHANG数系的扩充与复数的引入习题课复数的模及几何意义的应用课后篇巩固提升1.在如图所示的复平面内,复数z1,z2,z3对应的向量分别是,则复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案C解析由题图知z1=3+2i,z2=-2+2i,z3=1-2i,则=-i,所以其在复平面内对应的点为-,-,在第三象限.故选C.2.若复数z满足z+2+1=0,则复数z对应点的轨迹是()A.一条直线B.一个圆C.一个点D.不存在答案C解析设z=x+yi(x,yR),代入得x+yi+2(x-yi)+1=0,即(3x+1)-yi=0,z对应点的轨迹是一个点.3.设f(z+i
2、)=1-,z1=1+i,z2=1-i,则f=()A.1-iB.-iC.1D.-1答案B解析令z+i=t,则z=t-i,f(t)=1-i-,=1.故f=f(1)=1-i-1=-i.4.已知z是复数,z+2i,均为实数(i是虚数单位),且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,则实数a的取值范围是.答案(2,6)解析设z=x+yi(x,yR),则z+2i=x+(y+2)i是实数,y=-2.又(2x+2)+(x-4)i是实数,x=4.z=4-2i.(z+ai)2=4+(a-2)i2=(12+4a-a2)+8(a-2)i.(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,2a0,bR),且z1z3=
3、,则|z2|的值为.答案1解析由=z1z3,得(a+bi)2=b+ai,即a2-b2+2abi=b+ai,a0,b=,代入a2-b2=b得a2=.又a0,a=.|z2|=1.6.设复数z的共轭复数为,已知(1+2i)=4+3i,(1)求复数z及;(2)求满足|z1-1|=|z|的复数z1对应的点的轨迹方程.解(1)=2-i.故z=2+i.i.(2)设z1=x+yi(x,yR),则|(x-1)+yi|=,故(x-1)2+y2=5.即复数z1对应的点的轨迹方程为(x-1)2+y2=5.7.设z=x+yi(x,yR),若1|z|,判断复数w=x+y+(x-y)i的对应点的集合表示什么图形,并求其面积
4、.解|w|=|z|,而1|z|,所以|w|2.所以w的对应点的集合是以原点为圆心,半径为和2的圆环面(含边界),其面积S=22-()2=2.8.已知zC,|z-2i|=,当z取何值时,|z+2-4i|分别取得最大值和最小值?并求出最大值和最小值.解如图所示,|z-2i|=,z在复平面内对应点的轨迹是以(0,2)为圆心,为半径的圆.|z+2-4i|=|z-(-2+4i)|,欲求其最大值和最小值,即在圆上求出点M,N,使得M或N到定点P(-2,4)的距离最大或最小.显然过P与圆心连线交圆于M,N两点,则M,N即为所求,不难求得M(1,1),N(-1,3),即当z=1+i时,|z+2-4i|有最大值
5、,为3.当z=-1+3i时,|z+2-4i|有最小值,为.9.已知复数z=,w=z+ai(aR),当时,求a的取值范围.解z=1-i.w=z+ai=1+(a-1)i,=,a2-2a-20,1-a1+.故a的取值范围是1-,1+.10.已知复数z1=2+i,2z2=.(1)求z2;(2)若ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列,且=cos A+2icos2,求|+z2|的取值范围.解(1)z2=-i.(2)在ABC中,A,B,C依次成等差数列,2B=A+C,A+B+C=180.B=60,A+C=120.+z2=cos A+2icos2-i=cos A+i=cos A+icos C,|+z2|2=cos2A+cos2C=1+(cos 2A+cos 2C)=1-cos(A-C).A+C=120,A-C=120-2C,且0C120.-120A-C120.-cos(A-C)1.1-cos(A-C).|+z2|的取值范围是.