1、第二节 等差数列及其前n项和 【知识梳理】1.等差数列的有关概念(1)定义:文字语言:从_起,每一项与它的前一项的_都 等于_一个常数.符号语言:_(nN*,d为常数).第2项 差 同 an+1-an=d(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=其中_叫做a,b的等差中项.ab2，A 2.等差数列的有关公式(1)通项公式:an=_.(2)前n项和公式:Sn=_.a1+(n-1)d 1n1n n 1n aanad223.等差数列的性质(1)通项公式的推广:an=am+_(n,mN*).(2)若an为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则_.(n-m)d ak+al=a
2、m+an(3)若an是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)是公差为_的等差数列.(4)若Sn为等差数列an的前n项和,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也是等差数列.md【特别提醒】等差数列与函数的关系(1)通项公式:当公差d0时,等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是关于n的一次函数,且斜率为公差d.若公差d0,则为递增数列,若公差d0,当n12时,an0,d0时,满足 的项数m使得Sn取得最大值 为Sm;当a10时,满足 的项数m使得Sn取得最小 值为Sm.mm 1a0,a0mm 1a0a0，【变式训练】已知等差数列an中,Sn是它
3、的前n项和,若S160,且S170,S17=17a90,a90,且d21时,Tn=Sn-2S21=2n603n633123nn.222 221n603n6331232Snn1 260.222综上,Tn=223123nnn21nN*,223123nn1 260,n21,nN*.22，考向三 等差数列的识别与证明【考情快递】命题方向命题视角等差数列的识别 在具体的问题情境中,识别数列的等差关系,并解决相应的问题等差数列的证明 主要考查等差数列的定义及递推关系的处理 【考题例析】命题方向1:等差数列的识别【典例3】(2016日照模拟)已知每项均大于零的数列 an中,首项a1=1且前n项和Sn满足 (
4、nN*且n2),则a61=_.【解题导引】两边约去 再求解.nn 1n 1nSSSSnn 12 S S nn 1S S ，【规范解答】由已知 可得,=2,所以 是以1为首项,2为公差的等差 数列,故 =2n-1,Sn=(2n-1)2,所以a61=S61-S60=1212-1192=480.答案:480 nn 1n 1nnn 1SSSS2 S Snn 1SS nSnS命题方向2:等差数列的证明【典例4】(2016济宁模拟)已知数列an中,(n2,nN*),数列bn满足bn=(nN*).(1)求证:数列bn是等差数列.(2)求数列an中的通项公式an.13a5，n1a1nn 11a2a【解题导引】
5、(1)根据等差数列的定义证明.(2)先求bn,然后求an.【规范解答】(1)因为an=2-(n2,nN*),bn=所以n2时,bn-bn-1=n 11a n1.a1nn 111a1a1又b1=所以数列bn是以 为首项,1为公差的等差数列.(2)由(1)知,bn=则an=n 1n 1n 1n 1n 1a1111.1a1a1a1(2)1a115a12，527n2，n1211.b2n7【技法感悟】1.等差数列的识别依据(1)若数列an是等差数列,则数列 an+b仍为等差数列,公差为 d.(2)若bn,an都是等差数列,则anbn仍为等差数列.(3)an=pn+q(p,q为常数)an是等差数列.(4)
6、数列an的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)an是等差数列.2.证明等差数列的两种基本方法(1)定义法:证明an-an-1(n2)为常数.(2)等差中项法:证明2an=an-1+an+1(n2).【题组通关】1.(2016东营模拟)已知数列an的前n项和为Sn,且满足an+2=2an+1-an,a5=4-a3,则S7=()A.7 B.12 C.14 D.21 【解析】选C.由an+2=2an+1-an,得an+2+an=2an+1,即数 列an为等差数列,由a5=4-a3,得a5+a3=4,则S7=17357 aa7 aa14.222.(2016威海模拟)已知数列an中,a3=2,a7
7、=1,且数 列 是等差数列,则a11=()n1a1212A B C 5 D523【解析】选B.由 得d=所以 73114da1a1，124，111131111218d,a.a1a133323.(2016莱芜模拟)有两个等差数列2,6,10,190及2,8,14,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列的各项之和为_.【解析】由已知第一个数列的通项为4n-2(n48),第 二个数列的通项为6m-4(m34),易得这两个数列的公 共项为2,14,26,182,共16项,可得新数列是一个首 项为2,公差为12的等差数列,其通项为12n-10(n16),故各项之和为 =1472.答案:1472 16 2 18224.(2016成都模拟)已知正项数列an的前n项和Sn满 足 =an+1.求证:an是等差数列,并求an.n2 S【解析】因为an0,所以a1=S1=a1=1.又 =an+1,可整理为Sn=则n2时,Sn-1=两式相减,得an=即 21a14，n2 S2na1.42n 1a1.4 22nn 1a1a1.4422nn 1a1a10.4可得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,an+an-10.故an=an-1+2(n2).所以an是以1为首项,2为公差的等差数列.所以an=2n-1.