1、第8讲 函数与方程一、选择题1“a2”是“函数f(x)ax3在区间1,2上存在零点x0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析 当a0，f(2)32a0，所以函数f(x)ax3在区间1,2上存在零点x0；当函数f(x)ax3在区间1,2上存在零点x0时，有f(1)f(2)0，解得a3或a.答案 A2下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()解析 能用二分法求零点的函数必须在含零点的区间(a，b)内连续，并且有f(a)f(b)0.A、B、D中函数不符合答案 C3函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是 ()A
2、(1,3) B(1,2)C(0,3) D(0,2)解析由条件可知f(1)f(2)0，即(22a)(41a)0，即a(a3)0，解之得0a3.答案C4已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为 ()A6 B7 C8 D9 解析当0x2时，令f(x)x3x0，得x0或x1.根据周期函数的性质，由f(x)的最小正周期为2，可知yf(x)在0,6)上有6个零点，又f(6)f(32)f(0)0，f(x)在0,6上与x轴的交点个数为7.答案B5函数f(x)cos x在0，)内 ()A没有零点 B有且仅有一个零点C有且仅
3、有两个零点 D有无穷多个零点解析令f(x)0，得cos x，在同一坐标系内画出两个函数y与ycos x的图象如图所示，由图象知，两个函数只有一个交点，从而方程cos x只有一个解函数f(x)只有一个零点答案B6已知函数f(x)xexax1，则关于f(x)零点叙述正确的是()A当a0时，函数f(x)有两个零点B函数f(x)必有一个零点是正数C当a0时，函数f(x)有两个零点D当a0时，函数f(x)只有一个零点解析f(x)0exa在同一坐标系中作出yex与y的图象，可观察出A、C、D选项错误，选项B正确答案B二、填空题7用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算f(0)0可得其中一个
4、零点x0_，第二次应计算_解析 f(x)x33x1是R上的连续函数，且f(0)0，则f(x)在x(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f(0.25)的符号答案 (0,0.5)f(0.25)8函数f(x)则函数yff(x)1的所有零点所构成的集合为_解析本题即求方程ff(x)1的所有根的集合，先解方程f(t)1，即或得t2或t.再解方程f(x)2和f(x).即或和或得x3或x和x或x.答案9已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_解析由原函数有零点，可将问题转化为方程ex2xa0有解问题，即方程a2xex有解令函数g(x)2xex，则g(x)2ex，令g(x)0，得xln 2
5、，所以g(x)在(，ln 2)上是增函数，在(ln 2，)上是减函数，所以g(x)的最大值为：g(ln 2)2ln 22.因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，所以，a(，2ln 22答案(，2ln 2210若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：P、Q都在函数f(x)的图象上；P、Q关于原点对称，则称点对(P、Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P、Q)与点对(Q，P)看作同一个“友好点对”)已知函数f(x)则f(x)的“友好点对”的个数是_解析设P(x，y)、Q(x，y)(x0)为函数f(x)的“友好点对”，则y，y2(x)24(x)12x24x1，2x24x10，在同一坐标系中作
6、函数y1、y22x24x1的图象，y1、y2的图象有两个交点，所以f(x)有2个“友好点对”，故填2.答案2三、解答题11设函数f(x)(x0)(1)作出函数f(x)的图象；(2)当0ab，且f(a)f(b)时，求的值；(3)若方程f(x)m有两个不相等的正根，求m的取值范围解(1)如图所示(2)f(x)故f(x)在(0,1上是减函数，而在(1，)上是增函数，由0ab且f(a)f(b)，得0a1b，且11，2.(3)由函数f(x)的图象可知，当0m1时，方程f(x)m有两个不相等的正根12已知函数f(x)4xm2x1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点思路分析由题意可知，方程4xm2
7、x10仅有一个实根，再利用换元法求解解析f(x)4xm2x1有且仅有一个零点，即方程(2x)2m2x10仅有一个实根设2xt(t0)，则t2mt10.当0时，即m240，m2时，t1；m2时，t1(不合题意，舍去)，2x1，x0符合题意当0时，即m2或m2时，t2mt10有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点这种情况不符合题意综上可知：m2时，f(x)有唯一零点，该零点为x0.13已知二次函数f(x)x216xq3.(1)若函数在区间1,1上存在零点，求实数q的取值范围；(2)是否存在常数t(t0)，当xt,10时，f(x)的值域为区间D，且区间D的长度为12t(视区间a，b的长度为b
8、a)解(1)函数f(x)x216xq3的对称轴是x8，f(x)在区间1,1上是减函数函数在区间1,1上存在零点，则必有即20q12.(2)0t10，f(x)在区间0,8上是减函数，在区间8,10上是增函数，且对称轴是x8.当0t6时，在区间t,10上，f(t)最大，f(8)最小，f(t)f(8)12t，即t215t520，解得t，t；当6t8时，在区间t,10上，f(10)最大，f(8)最小，f(10)f(8)12t，解得t8；当8t0)(1)若g(x)m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根解 (1)法一：g(x)x22e，等号成立的条件是xe，故g(x)的值域是2e，)，因而只需m2e，则g(x)m就有零点法二：作出g(x)x(x0)的大致图象如图：可知若使g(x)m有零点，则只需m2e.法三：由g(x)m得x2mxe20.此方程有大于零的根，故等价于，故m2e.(2)若g(x)f(x)0有两个相异的实根，即g(x)与f(x) 的图象有两个不同的交点，作出g(x)x(x0)的大致图象f(x)x22exm1(xe)2m1e2.其图象的对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2.故当m1e22e，即me22e1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根m的取值范围是(e22e1，)