1、第六章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4等于()A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(1,2)答案D解析为使物体平衡,即合外力为零,即4个向量相加等于零向量,F4=(0-(-2)-(-3)-4,0-(-1)-2-(-3)=(1,2).2.已知=(2,3),=(3,t),|=1,则=()A.(-1,0)B.(0,-1)C.(1,0)D.(0,1)答案C解析因为=(1,t-3),又因为|=1
2、,即12+(t-3)2=12,解得t=3,所以=(1,0),故选C.3.已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=()A.B.2C.5D.50答案A解析由题意,得a-b=(-1,1),则|a-b|=,故选A.4.已知向量a=(-1,2),b=(3,m),mR,则“m=-6”是“a(a+b)”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案A解析充分性:若m=-6,a+b=(-1,2)+(3,-6)=(2,-4),则a=-(a+b),可推出a(a+b),故充分性成立;必要性:若a(a+b),则a+b=ka,解得m=-6,故必要性成立;综上所述,“m=
3、-6”是“a(a+b)”的充要条件,故选A.5.下列关于船从两河岸平行的一岸驶向另一岸所用的时间的描述正确的是()A.船垂直到达对岸所用时间最少B.当船速v的方向与河垂直时用时最少C.沿任意直线运动到达对岸的时间都一样D.以上说法都不正确答案B解析当v垂直河岸时,用时最少.6.已知向量a,b不共线,实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则x-y的值为()A.3B.-3C.0D.2答案A解析由原式可得解得x-y=3.7.已知AD,BE分别为ABC的边BC,AC上的中线,设=a,=b,则等于()A.a+bB.a+bC.a-bD.-a+b答案B解析由题意,得),所以2,同理得
4、2=-+()=-2,即2=-2.2+得4+2=3,即4b+2a=3,所以a+b.8.如图所示,设P为ABC所在平面内的一点,并且,则BPC与ABC的面积之比等于()A.25B.35C.34D.14答案D解析延长AP交BC于点D,因为A,P,D三点共线,所以=m+n(m+n=1),设=k,代入可得=m+nk,即=-m+nk()=(1-m-nk)+nk,又因为,即nk=,1-m-nk=,且m+n=1,解得m=,n=,所以可得=4.因为BPC与ABC有相同的底边,所以面积之比就等于|与|之比,所以BPC与ABC的面积之比为14,故选D.二、多选题(本题共4个小题,每小题5分,共20分)9.下列说法不
5、正确的是()A.单位向量都相等B.若a与b是共线向量,b与c是共线向量,则a与c是共线向量C.|a+b|=|a-b|,则abD.若a与b是单位向量,则|a|=|b|答案AB解析单位向量仅仅长度相等,方向可能不同;当b=0时,a与c可以为任意不共线的向量;设=a,=b,=a+b,由|a+b|=|a-b|,即ABCD的对角线相等,此时为矩形,邻边垂直,则AB不正确,CD正确.10.若四边形ABCD是矩形,则下列命题中正确的是()A.共线B.相等C.模相等,方向相反D.模相等答案ACD解析四边形ABCD是矩形,故A,D正确;AC=BD但的方向不同,故B不正确;AD=CB且ADCB,的方向相反,故C正
6、确.11.已知两点A(2,-1),B(3,1),与平行,且方向相反的向量a可能是()A.a=(-1,-2)B.a=(9,3)C.a=(-1,2)D.a=(-4,-8)答案AD解析=(1,2),a=(-1,-2)=-(1,2)=-,A正确;a=(-4,-8)=-4(1,2)=-4,D正确.12.如果e1,e2是平面内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是()A.e1+e2(,R)可以表示平面内的所有向量B.对于平面内任一向量a,使a=e1+e2的实数对(,)有无穷多个C.若向量1e1+1e2与2e1+2e2共线,则有且只有一个实数,使得1e1+1e2=(2e1+2e2)D.若实数,使得e1+
7、e2=0,则=0答案BC解析由平面向量基本定理可知,A,D是正确的;对于B,由平面向量基本定理可知,若一个平面的基底确定,那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的;对于C,当两个向量均为零向量时,即1=2=1=2=0时,这样的有无数个,或当1e1+1e2为非零向量,而2e1+2e2为零向量(2=2=0),此时不存在.三、填空题(本题共4个小题,每小题5分,共20分)13.已知向量a=(2x+3,2-x),b=(-3-x,2x)(xR),则|a+b|的取值范围为.答案,+)解析因为a+b=(x,x+2),所以|a+b|=,所以|a+b|,+).14.设e1,e2为两个不共线的向量,若
8、a=e1+e2与b=-(2e1-3e2)共线,则实数=,此时a,b方向.(填“相同”或“相反”)答案-相反解析因为a,b共线,所以由向量共线定理知,存在实数k,使得a=kb,即e1+e2=-k(2e1-3e2)=-2ke1+3ke2.又因为e1,e2不共线,所以解得=-,k=-.因为k0,b0.(1)若O是坐标原点,且四边形OACB是平行四边形,试求a,b的值.(2)若A,B,C三点共线,试求a+b的最小值.解(1)因为四边形OACB是平行四边形,所以,即(a,0)=(2,2-b),解得故a=2,b=2.(2)因为=(-a,b),=(2,2-b),由A,B,C三点共线,得,所以-a(2-b)-
9、2b=0,即2(a+b)=ab.因为a0,b0,所以2(a+b)=ab,即(a+b)2-8(a+b)0,解得a+b8或a+b0.因为a0,b0,所以a+b8,即a+b的最小值是8.当且仅当a=b=4时,等号成立.21.(12分)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设=a,=b,=c.(1)求3a+b-3c的值;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n的值;(3)若线段AB的中点为M,线段BC的三等分点为N(点N靠近点B),求.解(1)A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且=a,=b,=c,a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8),3a+b-3c=3(5
10、,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(6,-42).(2)mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),解得(3)线段AB的中点为M,线段BC的三等分点为N(点N靠近点B),=(-2,-1),点M的坐标为,点N的坐标为(1,-2),.22.(12分)在ABC中,.(1)求ABM与ABC的面积之比;(2)若N为AB中点,交于点P,且=x+y(x,yR),求x+y的值.解(1)在ABC中,4=3,3()=,即3,即点M是线段BC靠近B点的四等分点.故ABM与ABC的面积之比为14.(2)因为,=x+y(x,yR),所以x=3y.因为N为AB的中点,所以=x+y=x-+y,=x+y=x+(y-1).因为,所以x-(y-1)=xy,即2x+y=1.又x=3y,所以x=,y=,所以x+y=.