1、湖北省武汉市钢城第四中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单选题（每题5分，总分：60分）1.在(2-x)6展开式中，含x3项的系数是（ ）A. 20B. -20C. 160D. -160【答案】D【解析】【分析】先确定(2-x)6展开式的通项公式，再令x的幂指数为3求解即可.【详解】因为(2-x)6展开式的通项公式，令，得，含x3项的系数是.故选：D【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2. 两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）A. 10种B. 15种
2、C. 20种D. 30种【答案】C【解析】试题分析：第一类：三局为止，共有种情形；第二类：四局为止，共有种情形；第三类：五局为止，共有种情形；故所有可能出现的情形共有种情形故选C.考点：1、分类计数原理；2、排列组合.【易错点睛】本题主要考查分类计数原理、排列组合，属容易题.根据题意，可得分为三种情况：三局结束比赛、四局结束比赛和五局结束比赛，故用到分类计数原理，当三局结束比赛时，三场都同一个人胜，共2种情况；当四局结束比赛时，若甲胜时，则前三局甲胜2场，最后一场甲胜，共有种方法，同理乙胜利时，有种方法；当五局结束比赛时，若甲胜，则前四局甲胜2场，最后一场甲胜，共有种方法，同理乙胜利时，有种方
3、法；此类问题中一定要注意，若甲胜，则最后一场必须是甲胜，前面只能胜2场，否则容易出错.3.现有甲、乙、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、乙、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为（ ）A. 14B. 16C. 18D. 20【答案】C【解析】【分析】根据题意，若取出的卡片上的标号恰好成等差数列分三种情况，一是标号相等时，即所得的等差数列的公差为0，二是所得的等差数列公差为1或-1，三是所得的等差数列的公差为2或-2时，分别求出其不同的取法，再求和.【详解】根据题意，若取出的卡片上的标号恰好成等差数列分三种情况，一是
4、标号相等时，即全部为1、2、3、4、5、6时，有6种取法，二是所得的等差数列公差为1或-1，即1、2、3；3、2、1；4、5、6；6、5、4等8种取法，三是所得的等差数列的公差为2或-2时，即1、3、5；5、3、1；2、4、6；6、4、2等4种取法，所以共有种.故选：C【点睛】本题主要考查分类加法计算原理，还考查了分类讨论的思想和列举求解的能力，属于中档题.4.C33+C43+C53+C153等于（ ）A. C154B. C164C. C173D. C174【答案】B【解析】【分析】利用组合数的性质求解【详解】C33+C43+C53+C153，.故选：B【点睛】本题主要考查组合数的性质，还考查
5、了运算求解的能力，属于基础题.5.用1、2、3、4、5、6中的两个数分别作为对数的底数和真数，则得到的不同的对数值共有（ ）A. 30个B. 15个C. 20个D. 21个【答案】D【解析】【分析】先对真数为1和不为1讨论，再对底数，真数都不为1求解，然后求和.【详解】因为1只能作真数，从其余各数中任取一数为底数，对数值为0，有1个对数式，从1除外的其余各数中任取两数，分别作为真数和底数，共能组成个对数式，且值不同，所以共有个.故选：D【点睛】本题主要考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6.5名师生站成一排照相留念，其中教师1人，男生2人，女生2人，则两
6、名女生相邻而站的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】这是一个古典概型，先确定5名师生站成一排站法数，记“两名女生相邻而站”为事件A， 两名女生站在一起，视为一个元素与其余3个人全排，计算出事件A共有不同站法数，再代入公式求解.【详解】5名师生站成一排共有种站法，记“两名女生相邻而站”为事件A， 两名女生站在一起有种，视为一个元素与其余3个人全排，有种排法，则事件A共有不同站法种，所以，两名女生相邻而站的概率是.故选：B【点睛】本题主要考查古典概型的概率，还考查了理解辨析，运算求解的能力，属于中档题.7.如果函数在区间上的平均变化率为,则（ ）A. B. C. D. 【
7、答案】C【解析】根据平均变化率的定义，可知故选8.下图是y = f(x)的导数图象，f(x)在(-3，1)上是增函数；是f(x)的极小值点；f(x)在(2，4)上是减函数，在(-1，2)上是增函数；x=2是f(x)的极小值点；则正确的判断是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】根据导数极值点的定义以及导数的正负与函数的增减之间的关系判断.【详解】当时，当时，故f(x)在(-3，1)上不单调，故错误；当时，当时，故是f(x)的极小值点，故正确；当时，当时，所以f(x)在(2，4)上是减函数，在(-1，2)上是增函数，故正确；当时，当时，x=2是f(x)的极大值点，故错误；故选：B
8、【点睛】本题主要考查极值点的定义以及导数的正负与函数的增减之间的关系，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.9.与直线2x6y10垂直，且与曲线f(x)x33x21相切的直线方程是（ ）A. 3xy20B. 3xy20C. x3y20D. x3y20【答案】A【解析】【分析】根据f(x)x33x21，求导，设切点为，再根据切线与直线2x6y10垂直，求得切点，写出切线方程.【详解】因为f(x)x33x21，所以，设切点为，又因为切线与直线2x6y10垂直，所以，解得，所以切线方程是，即 3xy20.故选：A【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及两直线的位置关系，还考查了运算求解的
9、能力，属于基础题.10.已知奇函数在R上是增函数，.若，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据奇函数在上是增函数可得为偶函数且在上为增函数，从而可判断的大小.【详解】的定义域为.，故为偶函数.因为为上的奇函数，故，当时，因为为上的增函数，故.设任意的，则，故，故，故为上的增函数，所以 ，而，故，所以.故选C.【点睛】本题考查函数的奇函数、单调性以及指对数的大小比较，注意奇函数与奇函数的乘积、偶函数与偶函数的乘积都是偶函数，指数对数的大小比较应利用中间数和对应函数的单调性来考虑.11.设，其中，则函数内的零点个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 与n有关【
10、答案】B【解析】【分析】先利用导数判断在上单调递增，再利用零点存在定理可得结果.【详解】由，知在上单调递增，根据零点存在定理可得在零点的个数只有个，故选B.【点睛】判断函数零点个数的常用方法：(1) 直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个；(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.12.如图，一环形花坛分成A、B、C、D四个区域，现有5种不同的花供选种，要求在每个区域里种1种花，且相邻的2个区域种不同的花，则不同的种法种数为（ ）
11、A. 96B. 84C. 260D. 320【答案】C【解析】【分析】按照A-B-C-D的顺序种花，分A，C同色与不同色两种情况求解.【详解】按照A-B-C-D的顺序种花，当A，C同色时，种，当A，C不同色时，种，所以共有260种.故选：C【点睛】本题主要考查涂色问题，还考查了分类讨论思想和运算求解的能力，属于中档题.二、填空题（每题5分，总分：20分）13.若C9x-2=C92x-1，则x=_【答案】4【解析】【分析】根据组合数的性质求解.【详解】因为C9x-2=C92x-1，所以解得故答案为：4【点睛】本题主要考查组合数的性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.(1-x)7的展开式
12、中，所有含x的奇次幂的项的系数和为_【答案】-64【解析】【分析】设(1-x)7，分别令和 ，两式相减求解即可.【详解】设(1-x)7，令时，令时，两式相减得：，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查二项展开式的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15.如图，机器人亮亮沿着单位网格，从地移动到地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从移动到最近的走法共有_种【答案】【解析】【分析】分三步来考查，先从到，再从到，最后从到，分别计算出三个步骤中对应的走法种数，然后利用分步乘法计数原理可得出结果.【详解】分三步来考查：从到，则亮亮要移动两步，一步是向右移动一个单位，一步是向上移动一个单位，此时有种走法
13、；从到，则亮亮要移动六步，其中三步向右移动一个单位，三步是向上移动一个单位，此时有种走法；从到，由可知有种走法.由分步乘法计数原理可知，共有种不同的走法.故答案为：.【点睛】本题考查格点问题的处理，考查分步乘法计数原理和组合计数原理的应用，属于中等题.16.设函数f(x)的定义域为R若存在与x无关的正常数M，使|f(x)| M|x|对一切实数x均成立，则称f(x)为有界泛函则函数： f(x)=-3x， f(x)=x2， f(x)=sin2x， f(x)=2x， f(x)=xcosx中，属于有界泛函的有_（填上所有正确的番号）【答案】【解析】【分析】根据“f(x)为有界泛函”的定义找到符合条件的
14、M即可.【详解】 因为，要使对一切实数x均成立，只要即可，故正确. 因为，当时，不存在这样的，使|f(x)| M|x|对一切实数x均成立，故错误. 因为，要使对一切实数x均成立，只要即可，故正确.因为，当时，不存在这样的，使|f(x)| M|x|对一切实数x均成立，故错误. 因为，要使对一切实数x均成立，只要即可，故正确.故答案：【点睛】本题主要考查函数的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题（总分：70分）17.某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成（1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？（3
15、）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？【答案】（1）15；（2）120；（3）74【解析】【分析】（1）选其中1人为学生会主席，各年级均可，利用分类计数原理求得结果（2）每年级选1人为校学生会常委，可分步从各年级分别选择，利用分步计数原理求得结果（3）首先按年级分三类“1，2年级”，“1，3年级”，“2，3年级”，再各类分步选择【详解】（1）选其中1人为学生会主席，各年级均可，分三类：N=5+6+4=15种；（2）每年级选1人为校学生会常委，可分步从各年级分别选择，N=564=120种；（3）要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，首先按年级分三类“1，2年级”，“1
16、，3年级”，“2，3年级”，再各类分步选择：N=56+64+45=74种；【点睛】本题主要考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.18.求下列函数的最值：（1），；（2），.【答案】（1）最大值，没有最小值；（2）最大值为4，最小值为【解析】【分析】（1）求导，唯一的极值点为最值点，注意端点取不到的情况. （2）求导，求出极值，再与端点值比较，最大的值为函数的最大值，最小的值为函数的最小值.【详解】（1），由得；由得.在内单调递增，在内单调递减，当时，取最大值.当时，没有最小值.（2），.令，得.，函数在上最大值为4，最小值为.【点睛】本题主要考查导数与
17、函数的最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为（）千元设该容器的建造费用为千元（1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该容器的建造费用最小时的【答案】()；()当时，建造费用最小时当时，建造费用最小时.【解析】【详解】（1）由体积V=l=，解得l=，y=2rl3+4r2c=6r+4cr2=2，又l2r，即2r，解得0r2其定义域为（0，2
18、（2）由（1）得，y=8（c2）r，=，0r2由于c3，所以c20当r3=0时，则r=令=m，（m0）所以y=当0m2即c时，当r=m时，y=0当r（0，m）时，y0当r（m，2）时，y0所以r=m是函数y的极小值点，也是最小值点当m2即3c时，当r（0，2）时，y0，函数单调递减所以r=2是函数y的最小值点综上所述，当3c时，建造费用最小时r=2；当c时，建造费用最小时r=20.设.已知.（1）求n的值；（2）设，其中，求的值.【答案】（1）；（2）-32.【解析】【分析】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定的值，然后求解关于的方程可得的值；(2)解法一：利用(1)中求得的n的值确定有理项
19、和无理项从而可得a,b的值，然后计算的值即可；解法二：利用(1)中求得的n的值，由题意得到的展开式，最后结合平方差公式即可确定的值.【详解】（1）因为，所以，因为，所以，解得（2）由（1）知，解法一：因为，所以，从而解法二：因为，所以因此【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力.21.已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，【答案】（1）切线方程是（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程（2）当时，,令，只需证明即可【详解】（1），因此曲线在点处的切线方程是（2）当时，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增
20、；所以 因此【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，由导数的几何意义可求出切线方程，第二问构造很关键，本题有难度22.设，.已知函数，.（）求的单调区间；（）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：在处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.【答案】（I）单调递增区间为，单调递减区间为.（II）（i）见解析.（ii）.【解析】试题分析：求导数后因式分解根据，得出，根据导数的符号判断函数的单调性，给出单调区间，对求导，根据函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，解得，根据的单调性可知在上恒成立，关于x的不等式在区间上恒成立，得出，得
21、，求出的范围，得出的范围.试题解析：（I）由，可得，令，解得，或.由，得.当变化时，的变化情况如下表：所以，的单调递增区间为，单调递减区间为.（II）（i）因为，由题意知，所以，解得.所以，在处的导数等于0.（ii）因为，由，可得.又因为，故为的极大值点，由（I）知.另一方面，由于，故，由（I）知在内单调递增，在内单调递减，故当时，在上恒成立，从而在上恒成立.由，得，令，所以，令，解得（舍去），或.因为，故的值域为.所以，的取值范围是.【考点】导数的应用【名师点睛】利用导数工具研究函数是历年高考题中的难点问题，利用导数判断函数的单调性，求函数的极值或最值，利用导数的几何意义研究曲线的切线方程以及利用导数研究函数的零点和值域也是常见考法，本题把恒成立问题转化为函数值域问题很巧妙，问题转化为借助导数研究函数在某区间上的取值范围去解决，方法灵活思维巧妙，匠心独运.
