1、高二数学（理科）2021-04 阶考 第 1页共 2 页树德中学高 2019 级高二下期 4 月阶段性测试数学（理科）试题第卷（选择题）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知两个向量2,-1,3a，4,bm n，且 a b，则 mn的值为()A.1B.2C.4D.82120 2 1x dx()AB 2C 3D 43.若函数()f x 的导函数为()fx，且满足)2(1)ln2f xfxx（，则(1)=f()A0B 1C 2D24函数32()391f xxxx有（）A极大值 1，极小值 3B极大值 6，极小值 3C极大值 6
2、，极小值 26D极大值 1，极小值 265.设OABC是正三棱锥，1G 是ABC的重心，G 是1OG 上的一点，且13OGGG，若OGxOAyOBzOC，则 xyz（）A 14B 12C 34D16.设a 为实数，函数 322f xxaxax的导函数是()fx，且()fx是偶函数，则曲线 yf x在原点处的切线方程为（）A2yx B3yxC3yx D4yx 7函数 eln2xf xx的大致图象为（）ABCD8.四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA 底面 ABCD，异面直线 AC 与 PD 所成的角的余弦值为105，则四棱锥外接球的表面积为（）A48B12C36D9
3、9.已知)sinf xxx（，若存在0,x使不等式(sin)(cos)f xxf mx成立，则整数 m 的最小值是()A-1B0C1D 210.已知函数()()，曲线 ()上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与 y 轴垂直，则实数 a 的取值范围是()A.2(,)eB.(e2,0)C.21-,)e（D.(e2,0)11.已知函数1)lnxf xxx（的一条切线方程为 ykxb，则 kb的最小值为()A 1B 0C 1D 212.若ln 2ln3ln5235235abc，则（）.ln5ln 2ln3Acab.ln 2ln5ln3B acb.ln3ln5ln 2C bca.ln 2ln3l
4、n5D abc第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13.若向量0,1,1a，1,1,0b 且aba，则实数 14如图，)yf x（是可导函数，直线 l：y=kx+2 是曲线 y=f(x)在 x=3 处的切线，令()g xxf x（，其中()g x是 g(x)的导函数，则曲线 g(x)在 x=3 处的切线方程为_15.已知定义在 R 上的函数 f x 与 g x，若函数 f x 为偶函数，函数 g x 为奇函数，且 06a f x dx，则 2aa f xg xdx_16.设椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右顶点分别为,A B，P 是椭圆上不同
5、于,A B 的一点，设直线,AP BP 的斜率分别为,m n，则当22(3)3(ln|ln|)3amnbmnmn取得最小值时，椭圆C 的离心率为高二数学（理科）2021-04 阶考 第 2页共 2 页三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本题 10 分）已知函数 2lnf xxaxx，aR.（I）若1a，求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程；（）若函数 f x 在1,3 上是减函数，求实数 a 的取值范围.18.（本题 12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ABCBAD90，ADAP4，ABBC2，M 为 PC 的中点（1）求异面直线 AP，
6、BM 所成角的余弦值；（2）点 N 在线段 AD 上，且 AN，若直线 MN 与平面 PBC 所成角的正弦值为 45，求的值19.（本题 12 分）已知函数2)ln()f xxaxx（,且)f x（在点1x 处取得极值(1)求实数 a 的值；(2)若关于 x 的方程5)-2f xxb（在区间1,3上有解，求b 的取值范围20.（本题 12 分）在五边形 AEBCD 中，BCCD，CDAB，AB2CD2BC，AEBE，AEBE（如图 1）将ABE 沿 AB 折起，使平面 ABE平面 ABCD，线段 AB 的中点为 O（如图 2）（1）求证：平面 ABE平面 DOE；（2）求平面 EAB 与平面
7、ECD 所成的锐二面角的大小21.（本题 12 分）已知函数21()(21)ln(1)2f xxaxax，其中 a 为实数（1）若曲线()yf x在点 2(2)f（，处的切线方程为2yx，试求函数()f x 的单调区间；（2）当0,1a，12,2,3x x，且12xx时，若恒有1221()()ln(1)ln(1)f xf xxx，试求实数 的取值范围22.（本题 12 分）已知函数2()()4xaf xxaeaR（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设21()()(1)2xg xf xeax，若()g x 有两个不同的极值点1x，2x，且1212()()()g xg xxx恒成立，求实数
8、的取值范围高二数学（理科）2021-04 阶考 第 3页共 2 页树德中学高 2019 级高二下期 4 月阶段性测试数学（理科）试题答案123456789101112CBCCCADDADBA13.214.30y 15.1216.3217.（1）当1a 时，2()lnf xxxx，所以1()21fxxx，所以(1)2f，又(1)2f，所以曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程为 20 xy；（5 分）（2）因为函数 f（x）在1，3上是减函数，所以2121()20 xaxfxxaxx在1，3上恒成立，令2()21h xxax，则(1)0(3)0hh，解得（10 分）173a，故17,3.
9、所以实数 a 的取值范围17,3.（10 分）18.（1）因为 PA平面 ABCD，且 AB，AD平面 ABCD，所以 PAAB，PAAD.又因为BAD90，所以 PA，AB，AD 两两互相垂直分别以 AB，AD，AP 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则由 AD2AB2BC4，PA4 可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)又因为 M 为 PC 的中点，所以 M(1，1，2)所以 BM(1，1，2)，AP(0，0，4)，所以 cos AP，BM|AP BMAPBM 0(1)0 14 246 63，所以异面直线 AP，BM 所成角的余弦值
10、为63.（6 分）（2）因为 AN，所以 N(0，0)(04)，则 MN(1，1，2)，BC(0，2，0)，PB(2，0，4)设平面 PBC 的法向量为m(x,y,z)，则00m BCm PB即 20240yxz令 x2，解得 y0，z1，所以 m(2，0，1)是平面 PBC 的一个法向量因为直线 MN 与平面 PBC 所成角的正弦值为 45，所以|cos MN，m|MNMNmm2|22|5(1)5 45，解得10，4，所以的值为 1.（12 分）19.(1)f(x)ln(xa)x2x，f(x)2x1，函数 f(x)ln(xa)x2x 在点 x1 处取得极值，f(1)0，即当 x1 时，2x1
11、0，10，解得 a0.经检验符合题意（5 分）(2)f(x)2xb，lnxx2x2xb，lnxx22xb.令 h(x)lnxx22x(x0)，则 h(x)2x2()(2)2.当 x1,3时，h(x)，h(x)随 x 的变化情况如下表：计算得 h(1)2，h(3)ln 322，h(2)ln 23，h(x)2，ln 23，所以 b 的取值范围为2，ln 23（12 分）20.（1）证明：AB2CD，O 是线段 AB 的中点，则 OBCD又 CDAB，则四边形 OBCD 为平行四边形，又 BCCD，则 ABOD，因 AEBE，OBOA，则 EOABEODOO，则 AB平面 EOD又 AB平面 ABE
12、，故平面 ABE平面 EOD（5 分）高二数学（理科）2021-04 阶考 第 4页共 2 页（2）解：易知 OB，OD，OE 两两垂直，以 O 为坐标原点，以 OB，OD，OE 所在直线分别为 x，y，z 轴建立如图 所示的空间直角坐标系 Oxyz，EAB 为等腰直角三角形，且 AB2CD2BC，则 OAOBODOE，取 CDBC1，则 O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1），设平面 ECD 的法向量为（x，y，z），则有取z1，得平面 ECD 的一个法向量（0，1，1），因 OD平面 ABE则平面 ABE 的一个法向量为，
13、设平面 ECD 与平面 ABE 所成的锐二面角为，则，故平面 ECD 与平面 ABE 所成的锐二面角为 45（12 分）21.解：（1）函数()f x 的定义域为|1x x，()(21)1afxxax，f（2）2(21)2aa，可知2121.()111xafxxxx 当220 x，即2x 时，()0fx，()f x 单调递增；当12x时，()0fx，()f x 单调递减所以函数()f x 的单调递增区间为(2,)，单调递减区间为(1,2)意，（5 分）（2）函数2(22)31()(21)11axaxafxxaxx令2()(22)31h xxaxa，4(1)a a，当0a，1时，可知 4(1)0
14、a a ，故2(22)31 0 xaxa 恒成立，可知()0fx，()f x 在区间(1,)上为单调递增函数，不妨设21xx，且1x，22x，3，则22111()()1xf xf xln x变为2121()()(1)(1)f xf xln xln x，即2211()(1)()(1)f xln xf xln x，.（7 分）设函数2211()()(1)(21)(1)(1)(21)()(1)22g xf xln xxaxaln xln xxaxaln x，由21()()g xg x，得()g x 在2x，3 时为单调递减函数，即22(1)31()01xaxag xx ，即22(1)310 xaxa
15、 ，也即2(32)210 x axx 对2x，3 与0a，1恒成立因为 320 x，可知0a 时，2(32)21x axx 取最大值，即2210 xx 221xx对2x，3 时恒成立，由2221(1)4xxx ，可知4，即 取值范围为4，)经书面同意，（12 分）22.解：解：（1）因为2()4xaf xxae，所以()1xfxae，当0a 时，因为0 xe，所以()0fx，此时()f x 的单调递增区间为(,)，当0a 时，令()0fx，得1xln a，当1xln a时，()0fx，当1xln a时，()0fx，此时，()f x 的单调递增区间为1(,)ln a，()f x 的单调递减区间为
16、1(,)ln a ；（4 分）（2）因为221()24xxag xeaeax，所以2()xxg xeaea，依题意，2040aaa，解得4a，因为1x，2x 是()g x 的极值点，所以1212xxxxeeeea，则12xxlna，11222222121211()()()()2424xxxxaag xg xeaeaxeaeax1212222121()()()22xxxxaeea eea xx12121222121()2)()()22xxxxxxaeee ea eea xx2221(2)22aaaaalnaalnaa，所以，由1212()()()g xg xxx，可得 alnaalna，.（8 分）因为4a，0lna 所以等价于aalna，令()xxxlnx，则2221()1()1()()lnxlnxlnxxlnxlnx，(4,)x，因为2213()1()024lnxlnxlnx，所以()0 x，所以()x在(0,)单调递增，且2(4)42ln，所以，2()(4,)2aaalnaln，所以 的取值范围是2(,42ln（12 分）