1、第九章统计与统计案例第1讲随机抽样考纲解读1.理解随机抽样的必要性和重要性，会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本2了解分层抽样与系统抽样的意义，能利用分层抽样与系统抽样解决实际问题(重点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲内容为高考中的冷考点预测2021年高考对本讲的考查，将会以实际应用为背景命题，考查分层抽样或系统抽样，同时也可能与统计相结合命题试题以客观题的形式呈现，难度不大，以中、低档题型为主.1.简单随机抽样(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(nN)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样(2)最常用的简
2、单随机抽样的方法：抽签法和随机数表法2系统抽样(1)定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样(2)系统抽样的操作步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本先将总体的N个个体编号；确定分段间隔k，对编号进行分段，当(n是样本容量)是整数时，取k；当不是整数时，可随机地从总体中剔除余数x，取k；在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(lk)；按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号lk，再加k得到第3个个体编号l2k，依次进行下去，直到获取整个样本3分层抽样(1
3、)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样注：三种抽样方法的比较类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样是不放回抽样，抽样过程中，每个个体被抽到的机会(概率)相等从总体中逐个抽取总体中的个数较少系统抽样将总体均分成几部分，按事先确定的规则，在各部分抽取在起始部分抽样时，采用简单随机抽样总体中的个数比较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时，采用简单随机抽样或者系统抽样总体由差异明显的几部分组成1概念辨析
4、(1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关()(2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样()(3)在分层抽样的过程中，哪一层的样本越多，该层中个体抽取到的可能性越大()(4)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是()A总体B个体C样本容量D从总体中抽取的一个样本答案A解析从5000名居民某天的阅读时间中抽取200名
5、居民的阅读时间，样本容量是200，抽取的200名居民的阅读时间是一个样本，每名居民的阅读时间就是一个个体，5000名居民的阅读时间的全体是总体(2)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()Ap1p2p3 Bp2p3p1Cp1p3p2 Dp1p2p3答案D解析因为采取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率相等故选D.(3)某中学将参加期中测试的1200名学生编号为1,2,3，1200，现从中抽取一个容量为50的样本进行学习情况调查，按系统抽样的方法
6、分为50组，如果第一组中抽出的学生编号为20，则第四组中抽取的学生编号为()A68 B92 C82 D170答案B解析第四组中抽取的学生编号为20(120050)392.(4)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_件答案18解析由题意，知应从丙型产品中抽取606018(件)题型一简单随机抽样1下列抽样检验中，适合用抽签法的是()A从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验B从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验C从甲、
7、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验D从某厂生产的5000件产品中抽取10件进行质量检验答案B解析A，D中总体的个体数较多，不适宜用抽签法，C中，一般甲、乙两厂的产品质量有区别，也不适宜用抽签法故选B.2利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为()A. B. C. D.答案C解析根据题意，解得n28.故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为.3(2019衡水二模)某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001,002，599,
8、600，从中抽取60个样本，如下提供是随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号是_答案578解析从第6行第
9、6列的数开始，满足条件的6个编号依次为436,535,577,348,522,578，则第6个编号为578.1.简单随机抽样的特点(1)抽取的个体数较少(2)是逐个抽取(3)是不放回抽取(4)是等可能抽取只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样2.抽签法与随机数表法的适用情况(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数表法适用于总体中个体数较多的情况(2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀1.下面的抽样方法是简单随机抽样的为()A.在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B.某车间包
10、装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见D.用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验答案D解析A，B是系统抽样，C是分层抽样，D是简单随机抽样.2.总体由编号为01,02，19,20的20个个体组成利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()7816657208026314070143699728019832049234493582003623486969387481A.08 B07
11、 C02 D01答案D解析选出的5个个体的编号依次是08,02,14,07,01.故选D.题型二系统抽样(2019全国卷)某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是()A.8号学生 B200号学生C.616号学生 D815号学生答案C解析根据题意，系统抽样是等距抽样，所以抽样间隔为10.因为46除以10余6，所以抽到的号码都是除以10余6的数，结合选项知应为616.故选C.结论探究本例条件不变，则被抽到的学生的最小编号为_，最大编号为_答案6996解析根据题意，
12、可知此系统抽样的抽样间隔为10，共分100组，46号在第5组，故被抽到的最小编号在第一组，是461046，最大编号在第100组，是461095996.系统抽样的注意点(1)系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大(2)若不改变抽样规则，则所抽取的号码构成一个等差数列，其首项为第一组所抽取的号码，公差为样本间隔故问题可转化为等差数列问题解决(3)抽样规则改变，应注意每组抽取一个个体这一特性不变(4)如果总体容量N不能被样本容量n整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样的方法抽样，其中起始编号的确定应用简单随机抽样的方法1.某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法(
13、按等距的规则)抽取40名同学进行检查，将学生从11000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为()A.16 B17 C18 D19答案C解析从1000名学生中抽取一个容量为40的样本，系统抽样的分段间隔为25.设第一组随机抽取一个号码为x，则第18组的抽取编号为x1725443，x18.2.(2019安徽芜湖模拟)为了解高中生在寒假期间每天自主学习的时间，某校采用系统抽样的方法，从高三年级900名学生中抽取50名进行相关调查先将这900名高中生从1到900进行编号，求得间隔数k18，即每18名高中生中抽取1名，若在编号为118的高中生中随机抽取1名，抽到
14、的高中生的编号为6，则在编号为3754的高中生中抽到的高中生的编号应该是_答案42解析根据题意，采用系统抽样，且分段间隔为18，首组所取的号码为6，故后面的组抽取的号码为18n6(1n49，nN)，令3718n654，得n2，故所抽取的号码为218642.题型三分层抽样角度1求总体容量或样本容量1.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为()A.101 B808 C1212
15、D2012答案B解析甲社区每个个体被抽到的概率为，样本容量为12212543101，所以四个社区中驾驶员的总人数N808.2.(2019安徽六校教育研究会联考)某工厂生产的A，B，C三种不同型号的产品的数量之比为235，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A，B，C三种产品中抽出样本容量为n的样本，若样本中A型产品有10件，则n的值为()A.15 B25 C50 D60答案C解析解法一：某工厂生产的A，B，C三种不同型号产品的数量之比为235，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，则A型产品被抽取的抽样比为.因为A产品有10件，所以n50.故选C.解法二：由题意，得，解得
16、n50.故选C.角度2求每层中的样本数量3.分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法在九章算术第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法错误的是()A.甲应付51钱B.乙应付32钱C.丙应付16钱D.三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少答案B解析依题意由分层抽样可知，100(560
17、350180)，则甲应付：56051(钱)；乙应付：35032(钱)；丙应付：18016(钱).分层抽样问题类型及解题思路(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算(3)分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比”提醒：分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取nin(i1,2，k)个个体(其中i是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层中个体的个数，N是总体容量)1.一个总体分为A，B，C三层，用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为50的样本，已知B层中每个个体被抽到的概率都为，
18、则总体中个体的个数为()A.150 B200 C500 D600答案D解析运用分层抽样的方法，在不同层中每个个体被抽到的概率相等，都等于.设总体中个体的个数为N，则.解得N600.故选D.2.某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从男学生中抽取的人数为100，那么n()A.200 B300 C400 D500答案A解析每个个体被抽到的概率等于，应抽取的教师人数为20025，应抽取的女学生人数为60075，故样本容量n2575100200.3(2019河北一模)随着时代的发展，移动通讯技术的进步，各种智能手机不断更新换代，
19、给人们的生活带来了巨大的便利，但与此同时，长时间低头看手机对人的身体如颈椎、眼睛等会造成一定的损害，“低头族”由此而来为了解某群体中“低头族”的比例，现从该群体包含老、中、青三个年龄段的1500人中采用分层抽样的方法抽取50人进行调查，已知这50人里老、中、青三个年龄段所占的比例如图所示，则这个群体里老年人人数为()A.490 B390 C1110 D410答案B解析由题图，知这50人里老、中、青三个年龄段所占的比例为26%,34%,40%，则这个群体里老年人人数为26%1500390.组基础关1.(1)某学校为了了解2019年高考数学学科的考试成绩，在高考后对1200名学生进行抽样调查，其中
20、文科400名考生，理科600名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本(2)从30名家长中抽取5名参加座谈会.简单随机抽样法.系统抽样法.分层抽样法问题与方法配对正确的是()A.(1)，(2) B(1)，(2)C.(1)，(2) D(1)，(2)答案A解析(1)是分层抽样，(2)是简单随机抽样.2.(2020北京西城区模拟)某校共有学生1000人，其中男生600人，女生400人，学校为检测学生的体质健康状况，统一从学生学籍档案管理库(简称“CIMS系统” )中随机选取参加测试的学生，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为30的样本进行检测，那么应抽取女生的人数为()A.12
21、B15 C18 D20答案A解析某校共有学生1000人，其中男生600人，女生400人，采用分层抽样的方法从中抽取容量为30的样本进行检测，则应抽取女生的人数为3012.3.(2019唐山三模)为了调查某工厂生产的一种产品的尺寸是否合格，现从500件产品中抽出10件进行检验先将500件产品编号为000,001,002，499，在随机数表中任选一个数开始，例如选出第6行第8列的数4开始向右读(为了便于说明，下面摘取了随机数表，附表1的第6行至第8行)，即第一个号码为439，则选出的第4个号码是()16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 7884 42
22、17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 6763 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75A.548 B443 C379 D217答案D解析从第6行第8列的数4开始向右读，则选出的前4个号码是：439,495,443,217，选出的第4个号码是217.4.某工厂甲、乙、丙、丁四个车间生产了同一种产品共计2800件，现要用分层抽样的方法从中抽取140件进行质量检测，且从甲、丙两个车间总共抽取的产品数量为60件，则乙、丁两车间生产的产品总共有()A.1000件 B1200件 C1400件 D1600件答案D解析由已知条件得，
23、抽样比为，从甲、丙两个车间总共抽取的产品数量为60件，从乙、丁两个车间抽取的产品数量为1406080件，乙、丁两车间生产的产品总共有1600件.5.(2019保定二模)某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，其中某月生产的产品数量之比依次为m32，现用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知A种型号产品抽取了45件，则m()A.1 B2 C3 D4答案C解析设该工厂生产A型号的产品数量为mk，则生产B型号的产品数量为3k，生产C型号的产品数量为2k，则，解得m3.6.(2019江西八校联考)从编号为001,002，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两
24、个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为()A.480 B481 C482 D483答案C解析根据系统抽样的定义，知样本的编号成等差数列，令a17，a232，则d25，所以725(n1)500，所以n，n的最大值为20，得最大的编号为72519482.7.用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将学生随机地从1160编号，按编号顺序平均分成20组(18,916，153160)若第16组得到的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是_答案6解析设第1组抽出的号码为x，则第16组应抽出的号码是15x126，x6.8.某商场有四类食品，食品类别和种数见下表：类别粮食类植
25、物油类动物性食品类果蔬类种类40103020现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为_答案6解析因为总体的个数为40103020100，所以根据分层抽样的定义可知，抽取的植物油类食品种数为202，抽取的果蔬类食品种数为204，所以抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为246.组能力关1.(2019湖北荆州模拟)我国古代数学算经十书之一的九章算术有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三乡中共抽出500人服役，则西乡比南乡多抽出的人数为()A.20 B60 C
26、80 D200答案C解析北乡8100人，西乡9000人，南乡5400人，对应的人数比为8100900054009106，则西乡抽取的人数为500200，南乡抽取人数为500120，则西乡比南乡多20012080人故选C.2.某市为最大限度的吸引“高精尖缺”人才，向全球“招贤纳士”，推进了人才引入落户政策随着人口增多，对住房要求也随之而来，而选择购买商品房时，住户对商品房的户型结构越来越重视，因此某商品房调查机构随机抽取n名市民，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图1调查的所有市民中四居室共200户，所占比例为，二居室住户占.如图2是用分层抽样的方法从所有调查的市民的满意度问卷中，抽取1
27、0%的调查结果绘制成的统计图，则下列说法正确的是()A.样本容量为70B.样本中三居室住户共抽取了25户C.根据样本可估计对四居室满意的住户有70户D.样本中对三居室满意的有15户答案D解析可先根据题图1求出总体数量及样本容量，再根据分层抽样及题图2确定样本中三居室户数及满意人数.选项正误原因A总体容量为600，样本容量为60010%60B样本中三居室住户共抽取30010%30(户)C对四居室满意的住户共有20040%80(户)D样本中三居室住户有30010%30(户)，对三居室满意的住户有3050%15(户)3.在高三某次数学测试中，40名学生的成绩如图所示若将成绩由低到高编为140号，再用系统抽样的方法从中抽取8人，则其中成绩在区间123,134上的学生人数为_答案3解析根据茎叶图，成绩在区间123,134上的数据有15个，所以用系统抽样的方法从所有的40人中抽取8人，成绩在区间123,134上的学生人数为83.
