1、第三节三角函数的图象与性质【最新考纲】1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在0，2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性1周期函数和最小正周期对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，则称f(x)为周期函数，T为它的一个周期若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质1(质疑夯基)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)常数函数f(x)是
2、周期函数，它没有最小正周期()(2)函数ysin x的图象关于点(k，0)(kZ)中心对称()(3)正切函数ytan x在定义域内是增函数()(4)函数ysincos x是奇函数()答案：(1)(2)(3)(4)2(2014陕西卷)函数f(x)cos的最小正周期是()A.BC2 D4解析：T.答案：B3已知函数y2cos x的定义域为，值域为，b，则b的值是()A2 B3C.2 D2解析：因为x，所以cos x，故y2cos x的值域为2，1，所以b3.答案：B4函数f(x)sin的图象的一条对称轴是()Ax BxCx Dx解析：令xk，kZ，xk，kZ.取k1，得x.答案：C5(2015四川
3、卷)下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是()Aycos BysinCysin 2xcos 2x Dysin xcos x解析：ycossin 2x，最小正周期T，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A正确；ysincos 2x，最小正周期为，且为偶函数，其图象关于y轴对称，故B不正确；C，D均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C，D不正确答案：A两个结论1若f(x)Asin(x)(A0，0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是k(kZ)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ)2函数yAsin(x)与yAcos(x)的最小正周期T，yAtan(x)的最小正周期T.两种方
4、法1讨论三角函数性质，应先把函数式化成yAsin(x)(0)的形式2求三角函数值域(最值)的常用方法：(1)将函数变形化为yAsin(x)k的形式，逐步分析x的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)(2)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求二次函数在区间上的值域(最值)问题三点注意1求yAsin(x)(A0)的单调区间，要注意的正负，只有当0时，才能将“x”整体代入相应单调区间2利用换元法求三角函数最值时，注意cos x(或sin x)的有界性3正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称轴上；正切函数的图象只是中心对称图形一、选择题1若函数f(x
5、)sin(0，2)是偶函数，则的值是()A.B.C.D.解析：f(x)sin是偶函数k，即3k，kZ.又0，2，取k0，得.答案：C2(2014课标全国卷)在函数ycos|2x|，y|cos x|，ycos，ytan中，最小正周期为的所有函数为()A BC D解析：由于ycos|2x|cos 2x，所以该函数的周期为；由函数y|cos x|的图象易知其周期为；函数ycos的周期为；函数ytan的周期为，故最小正周期为的函数是.答案：A3若函数ycos(x)(N*)图象的一个对称中心是(，0)，则的最小值为()A1 B2 C4 D8解析：由题知k(kZ)6k2(kZ)min2.答案：B4(201
6、6河北衡水中学三模)将函数ysin的图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是()Ax Bx Cx Dx解析：由题意知平移后的函数解析式为ysinsin，令2xk(kZ)，则x(kZ)结合选项知，选A正确答案：A5设函数f(x)sin(x)cos(x)的最小正周期为，且f(x)f(x)，则()Af(x)在上单调递减Bf(x)在上单调递减Cf(x)在上单调递增Df(x)在上单调递增解析：由T，知2，则f(x)sin(2x)cos(2x)sin(2x)，又f(x)是偶函数k，则k，kZ.又|，故f(x)sincos 2x.因此f(x)在上单调递减答案：A6(2016河南郑州第二次质量预测
7、)将函数f(x)cos xsin x(xR)的图象向左平移(0)个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值是()A. B. C. D.解析：f(x)cos x sin x22cos，将f(x)的图象向左平移(0)个单位长度后得到y2cos的图象，则由题意知k，kZ，所以k，kZ.又因为0，所以的最小值为.答案：B二、填空题7已知f(x)Asin(x)，f()A，f()0，|的最小值为，则正数_解析：由于|的最小值为，函数f(x)的周期T，.答案：8函数y的定义域为_解析：要使函数有意义，必须有即故函数的定义域为x|xk且xk，kZ答案：x|xk且xk，kZ9(2015浙江卷)函数f(x
8、)sin2 xsin xcos x1的最小正周期是_，单调递减区间是_解析：f(x)sin2xsin xcos x1sin 2x1sin 2xcos 2xsin，函数f(x)的最小正周期T.令2k2x2k，kZ，得f(x)的单调递减区间为k，k(kZ)答案：k，k(kZ)三、解答题10设函数f(x)sin(2x)(0)，yf(x)图象的一条对称轴是直线x，(1)求；(2)求函数yf(x)的单调增区间解：(1)直线x是函数f(x)图象的一条对称轴，2k，kZ，即k，kZ.又0，.(2)由(1)知f(x)sin，令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.因此yf(x)的单调增区间为，kZ.11(2014天津卷)已知函数f(x)cos xsincos2x，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值解：f(x)cos xcos2xsin xcos xcos2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin.所以，f(x)的最小正周期T.(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数f，f，f，所以，函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为.