1、题组层级快练(六十一)1.(2016天津和平区模拟)如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，ABC50，则DAB等于()A55B60C65 D70答案C解析如图，连接BD，AB是半圆的直径，ADB90，点D是的中点，ABDCBD.ABC50，ABD25.DAB902565.故选C.2.如图所示，在半径为2的O中，AOB90，D为OB的中点，AD的延长线交O于点E，则线段DE的长为()A. B.C. D.答案C解析延长BO交圆O于点F，由D为OB的中点，知DF3，DB1.又AOB90，所以AD.由相交弦定理知ADDEDFDB，即DE31，解得DE.3.如图所示，E，C分别是A两边上的点，以C
2、E为直径的O交A的两边于D，B，若A45，则AEC与ABD的面积比为()A21 B12C.1 D.1答案A解析连接BE，易知ABDAEC，求AEC与ABD的面积比即求AE2AB2的值，设ABa，A45，CE为O的直径，CBEABE90.BEABa，AEa.AE2AB22a2a2.AE2AB221，SAECSABD21.4(2014天津)如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：BD平分CBF；FB2FDFA；AECEBEDE；AFBDABBF.则所有正确结论的序号是()A BC D答案D解析因为
3、BADFBD，DBCDAC，又AE平分BAC，所以BADDAC，所以FBDDBC，所以BD平分CBF，结论正确；易证ABFBDF，所以，所以ABBFAFBD，结论正确；由，得BF2AFDF，结论正确，选D.5(2015重庆)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA6，AE9，PC3，CEED21，则BE_答案2解析由切割线定理，知PA2PCPD，即623PD，解得PD12，所以CDPDPC9，所以CE6，ED3.由相交弦定理，知AEBECEED，即9BE63，解得BE2.6(2015湖北)如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC3PB
4、，则_答案解析因为PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，由切割线定理，知PA2PBPCPB(PBBC)因为BC3PB，所以PA24PB2，即PA2PB.由PABPCA，所以.7(2015广东)如图，已知AB是圆O的直径，AB4，EC是圆O的切线，切点为C，BC1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD_答案8解析由题意得OPBC，OA2，于是PACP.因为DCPBPOA，又DPCAPO，所以DCPAOP，故，即PD，所以OD8.8如图，PT是圆O的切线，PAB是圆O的割线，若PT2，PA1，P60，则圆O的半径为_答案解析连接AT，BT.在APT中，P60，PT2，
5、PA1，则由余弦定理得AT，TAP90，BAT90，BT是圆O的直径，PT是圆O的切线，PAB是圆O的割线，PT2PAPB，.又P为公共角，PATPTB，得BT2，因此圆的半径为.9如图，PAB，PCD为圆O的两条割线，若PA5，AB7，CD11，AC2，则BD_答案6解析因为PAB，PCD为圆O的两条割线，所以PAPBPCPD.因为PA5，AB7，CD11，所以PB5712，PDPCCDPC11，所以512PC(PC11)，PC211PC600，(PC15)(PC4)0.因为PC大于0，所以PC150，所以PC40，PC4.因为PACD(圆内接四边形的任一外角等于它的内对角)，又PP，所以P
6、ACPDB，所以.因为AC2，PB12，PC4，所以，所以BD6.10如图，圆O的直径AB与弦CD交于点P，CP，PD5，AP1，则DCB_答案45解析由相交弦定理可得CPPDAPPB，PB7.直径2RAPPB178，半径R4.OPOAAP413.连接DO，在ODP中，OP2OD2324252PD2，POD90.连接BD，由DOB为等腰直角三角形可得DBR.由正弦定理可得2R，sinDCB，由图可知，DCB为锐角，DCB45.11如图，BD是半圆O的直径，A在BD的延长线上，AC与半圆相切于点E，ACBC，若AD2，AE6，则EC_答案3解析如图，连接OE.由切割线定理得AE2ADAB，AB6
7、，OEODOB(ABAD)2，由于E是切点，OEAC，又ACBC，OEBC，即，EC3.12如图，BD是O的直径，E是O上的一点，直线CE交BD的延长线于A点，BCAE于C点，且CBEDBE.求证：AC是O的切线答案略证明连接OE，由OEOB，得OEBOBE.CBEDBE，CBEOEB.OEBC.又BCAE，OEAC.AC是O的切线13(2016内蒙古赤峰宁城月考)如图，已知AB是O的直径，AC是O的弦，BAC的平分线AD交O于D，过点D作DEAC交AC的延长线于点E，OE交AD于点F.若.(1)求证：ODAE；(2)求的值答案(1)略(2)解析(1)证明：连接BC，设BC交OD于点M.因为O
8、AOD，所以OADODA.又因为OADDAE，所以ODADAE，所以ODAE.(2)因为ACBC，且ACDE，所以BCDE.所以四边形CMDE为平行四边形，所以CEMD.由，设AC3x，AB5x，则OMx.又ODx，所以MDxxx，所以AEACCE4x.因为ODAE，所以.14(2016江西六校第二次联考)如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上两点，AC与BD相交于点E，GC，GD是圆O的切线，点F在DG的延长线上，且DGGF.求证：(1)D，E，C，F四点共圆；(2)GEAB.答案略证明(1)如图，连接OC，OD，则OCCG，ODDG，设CAB1，DBA2，ACO3，COB21，DOA22.
9、所以DGC180DOC2(12)因为DGC2F，所以F12.又因为DECAEB180(12)，所以DECF180，所以D，E，C，F四点共圆(2)延长GE交AB于H.因为GDGCGF，所以点G是经过D，E，C，F四点的圆的圆心所以GEGC，所以GCEGEC.又因为GCE390，13，所以GEC190，所以AEH190，所以EHA90，即GEAB.15如图，四边形ABDC内接于圆，BDCD，过C点的圆的切线与AB的延长线交于E点(1)求证：EAC2DCE；(2)若BDAB，BCBE，AE2，求AB的长答案(1)略(2)AB1解析(1)证明：因为BDCD，所以BCDCBD.因为CE是圆的切线所以E
10、CDCBD.所以ECDBCD，所以BCE2ECD.因为EACBCE，所以EAC2ECD.(2)因为BDAB，所以ACCD，ACAB.因为BCBE，所以BECBCEEAC，所以ACEC.由切割线定理得EC2AEBE，即AB2AE(AEAB)，即AB22AB40，解得AB1.16.(2015陕西)如图，AB切O于点B，直线AO交O于D，E两点，BCDE，垂足为C.(1)证明：CBDDBA；(2)若AD3DC，BC，求O的直径答案(1)略(2)3解析(1)证明：因为DE为O的直径，则BEDEDB90，又BCDE，所以CBDEDB90，从而CBDBED.又AB切O于点B，得DBABED，所以CBDDB
11、A.(2)由(1)知BD平分CBA，则3，又BC，从而AB3.所以AC4，所以AD3.由切割线定理得AB2ADAE，即AE6，故DEAEAD3，即O的直径为3.1.如图，若AB是O的直径，CD是O的弦，ABD58，则BCD_答案32解析根据直径所对的圆周角为直角可得ADB90，根据ABD58可得A32，根据同弧所对的圆周角相等可得BCDA32.2如图，BC是圆O的一条弦，延长BC至点E，使得BC2CE2，过E作圆O的切线，A为切点，BAC的平分线AD交BC于点D，则DE的长为_答案解析由切割线定理得AE2ECEB133，所以AE.因为AD是BAC的平分线，所以BADCAD.因为AE是圆O的切线
12、，所以EACABC.因为ADCBADABC，所以ADCBADEACEAD，所以DEAE.3.如图所示，已知AB，BC是O的两条弦，AOBC，AB，BC2，则O的半径等于_答案1.5解析设O的半径为r，BC与AO交于点D，因为AB，BC是O的两条弦，AOBC，AB，BC2，所以AD1，所以r22(r1)2，解得r1.5.4如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且，则_答案解析由题意，可设PBx，则BC2x，根据切割线定理，可得PA2PBPC3x2，PAx，所以.5.如图，过点P作圆O的割线PAB与切线PE，E为切点，连接AE，BE，APE的平分线与AE，BE分别交于点C，D，若AEB
13、30，则PCE_答案75解析PE是圆的切线，PEBPAC.PC是APE是平分线，EPCAPC，根据三角形的外角与内角关系有EDCPEBEPC，ECDPACAPC，EDCECD，EDC为等腰三角形又AEB30，EDCECD75，即PCE75.6如图，PB为ABC外接圆O的切线，BD平分PBC，交圆O于D，点C，D，P共线若ABBD，PCPB，PD1，则圆O的半径是_答案2解析如图所示，连接AD，PB为圆O的切线，PBDBCDBAD.BD为PBC的平分线，PBDCBD，PDBCBDBCDPBDPBD2PBD.又PCPB，PBDBCDCBDBAD30，PDB60.由PD1，得BD2PD2.在ABD中
14、，ABBD，AD是圆O的直径，且直径AD2BD4，圆O的半径为2.7.如图，已知O的割线PAB交O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA3，AB4，PO5，则O的半径为_答案2解析设圆的半径为r，PA3，PB7，PC5r，PD5r，由割线定理PAPBPCPD，得37(5r)(5r)，解得r2.8已知O1和O2交于点C和点D，O1上的点P处的切线交O2于A，B两点，交直线CD于点E，M是O2上的一点，若PE2，EA1，AMB45，那么O2的半径为_答案解析由切线定理和割线定理可知，PE2ECEDEA(EAAB)，将PE2，EA1代入，得AB3.连接AO2，BO2，由AMB45可得ABO2为等腰
15、直角三角形，所以O2的半径rAB.9如图所示，圆O的两条弦AB和CD交于点E，EFCB，EF交AD的延长线于点F，FG切圆O于点G.(1)求证：DEFEAF；(2)如果FG1，求EF的长答案(1)略(2)1解析(1)证明：因为EFBC，所以DEFECB.又因为ECBA，所以DEFA，又DFE为公共角，所以DEFEAF.(2)由(1)知DEFEAF，所以，即EF2AFDF.又因为FG为切线，所以FG2FDFA，所以EFFG1.10如图，AB是O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是O的割线，已知ACAB.(1)求证：FGAC；(2)若CG1，CD4，求的值答案(1)略(2)4解析(
16、1)证明：因为AB为切线，AE为割线，所以AB2ADAE.又因为ACAB，所以ADAEAC2，所以.又因为EACDAC，所以ADCACE，所以ADCACE.又因为ADCEGF，所以EGFACE，所以FGAC.(2)由题意可得G，E，D，F四点共圆，所以CGFCDE，CFGCED.所以CGFCDE，所以.又因为CG1，CD4，所以4.题组层级快练(六十一)1.(2016天津和平区模拟)如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，ABC50，则DAB等于()A55B60C65 D70答案C解析如图，连接BD，AB是半圆的直径，ADB90，点D是的中点，ABDCBD.ABC50，ABD25.DAB9
17、02565.故选C.2.如图所示，在半径为2的O中，AOB90，D为OB的中点，AD的延长线交O于点E，则线段DE的长为()A. B.C. D.答案C解析延长BO交圆O于点F，由D为OB的中点，知DF3，DB1.又AOB90，所以AD.由相交弦定理知ADDEDFDB，即DE31，解得DE.3.如图所示，E，C分别是A两边上的点，以CE为直径的O交A的两边于D，B，若A45，则AEC与ABD的面积比为()A21 B12C.1 D.1答案A解析连接BE，易知ABDAEC，求AEC与ABD的面积比即求AE2AB2的值，设ABa，A45，CE为O的直径，CBEABE90.BEABa，AEa.AE2AB
18、22a2a2.AE2AB221，SAECSABD21.4(2014天津)如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：BD平分CBF；FB2FDFA；AECEBEDE；AFBDABBF.则所有正确结论的序号是()A BC D答案D解析因为BADFBD，DBCDAC，又AE平分BAC，所以BADDAC，所以FBDDBC，所以BD平分CBF，结论正确；易证ABFBDF，所以，所以ABBFAFBD，结论正确；由，得BF2AFDF，结论正确，选D.5(2015重庆)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A
19、作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA6，AE9，PC3，CEED21，则BE_答案2解析由切割线定理，知PA2PCPD，即623PD，解得PD12，所以CDPDPC9，所以CE6，ED3.由相交弦定理，知AEBECEED，即9BE63，解得BE2.6(2015湖北)如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC3PB，则_答案解析因为PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，由切割线定理，知PA2PBPCPB(PBBC)因为BC3PB，所以PA24PB2，即PA2PB.由PABPCA，所以.7(2015广东)如图，已知AB是圆O的直径，AB4，EC是圆O的切线，切点为C，BC
20、1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD_答案8解析由题意得OPBC，OA2，于是PACP.因为DCPBPOA，又DPCAPO，所以DCPAOP，故，即PD，所以OD8.8如图，PT是圆O的切线，PAB是圆O的割线，若PT2，PA1，P60，则圆O的半径为_答案解析连接AT，BT.在APT中，P60，PT2，PA1，则由余弦定理得AT，TAP90，BAT90，BT是圆O的直径，PT是圆O的切线，PAB是圆O的割线，PT2PAPB，.又P为公共角，PATPTB，得BT2，因此圆的半径为.9如图，PAB，PCD为圆O的两条割线，若PA5，AB7，CD11，AC2，则BD_答
21、案6解析因为PAB，PCD为圆O的两条割线，所以PAPBPCPD.因为PA5，AB7，CD11，所以PB5712，PDPCCDPC11，所以512PC(PC11)，PC211PC600，(PC15)(PC4)0.因为PC大于0，所以PC150，所以PC40，PC4.因为PACD(圆内接四边形的任一外角等于它的内对角)，又PP，所以PACPDB，所以.因为AC2，PB12，PC4，所以，所以BD6.10如图，圆O的直径AB与弦CD交于点P，CP，PD5，AP1，则DCB_答案45解析由相交弦定理可得CPPDAPPB，PB7.直径2RAPPB178，半径R4.OPOAAP413.连接DO，在ODP
22、中，OP2OD2324252PD2，POD90.连接BD，由DOB为等腰直角三角形可得DBR.由正弦定理可得2R，sinDCB，由图可知，DCB为锐角，DCB45.11如图，BD是半圆O的直径，A在BD的延长线上，AC与半圆相切于点E，ACBC，若AD2，AE6，则EC_答案3解析如图，连接OE.由切割线定理得AE2ADAB，AB6，OEODOB(ABAD)2，由于E是切点，OEAC，又ACBC，OEBC，即，EC3.12如图，BD是O的直径，E是O上的一点，直线CE交BD的延长线于A点，BCAE于C点，且CBEDBE.求证：AC是O的切线答案略证明连接OE，由OEOB，得OEBOBE.CBE
23、DBE，CBEOEB.OEBC.又BCAE，OEAC.AC是O的切线13(2016内蒙古赤峰宁城月考)如图，已知AB是O的直径，AC是O的弦，BAC的平分线AD交O于D，过点D作DEAC交AC的延长线于点E，OE交AD于点F.若.(1)求证：ODAE；(2)求的值答案(1)略(2)解析(1)证明：连接BC，设BC交OD于点M.因为OAOD，所以OADODA.又因为OADDAE，所以ODADAE，所以ODAE.(2)因为ACBC，且ACDE，所以BCDE.所以四边形CMDE为平行四边形，所以CEMD.由，设AC3x，AB5x，则OMx.又ODx，所以MDxxx，所以AEACCE4x.因为ODAE
24、，所以.14(2016江西六校第二次联考)如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上两点，AC与BD相交于点E，GC，GD是圆O的切线，点F在DG的延长线上，且DGGF.求证：(1)D，E，C，F四点共圆；(2)GEAB.答案略证明(1)如图，连接OC，OD，则OCCG，ODDG，设CAB1，DBA2，ACO3，COB21，DOA22.所以DGC180DOC2(12)因为DGC2F，所以F12.又因为DECAEB180(12)，所以DECF180，所以D，E，C，F四点共圆(2)延长GE交AB于H.因为GDGCGF，所以点G是经过D，E，C，F四点的圆的圆心所以GEGC，所以GCEGEC.又因为G
25、CE390，13，所以GEC190，所以AEH190，所以EHA90，即GEAB.15如图，四边形ABDC内接于圆，BDCD，过C点的圆的切线与AB的延长线交于E点(1)求证：EAC2DCE；(2)若BDAB，BCBE，AE2，求AB的长答案(1)略(2)AB1解析(1)证明：因为BDCD，所以BCDCBD.因为CE是圆的切线所以ECDCBD.所以ECDBCD，所以BCE2ECD.因为EACBCE，所以EAC2ECD.(2)因为BDAB，所以ACCD，ACAB.因为BCBE，所以BECBCEEAC，所以ACEC.由切割线定理得EC2AEBE，即AB2AE(AEAB)，即AB22AB40，解得A
26、B1.16.(2015陕西)如图，AB切O于点B，直线AO交O于D，E两点，BCDE，垂足为C.(1)证明：CBDDBA；(2)若AD3DC，BC，求O的直径答案(1)略(2)3解析(1)证明：因为DE为O的直径，则BEDEDB90，又BCDE，所以CBDEDB90，从而CBDBED.又AB切O于点B，得DBABED，所以CBDDBA.(2)由(1)知BD平分CBA，则3，又BC，从而AB3.所以AC4，所以AD3.由切割线定理得AB2ADAE，即AE6，故DEAEAD3，即O的直径为3.1.如图，若AB是O的直径，CD是O的弦，ABD58，则BCD_答案32解析根据直径所对的圆周角为直角可得
27、ADB90，根据ABD58可得A32，根据同弧所对的圆周角相等可得BCDA32.2如图，BC是圆O的一条弦，延长BC至点E，使得BC2CE2，过E作圆O的切线，A为切点，BAC的平分线AD交BC于点D，则DE的长为_答案解析由切割线定理得AE2ECEB133，所以AE.因为AD是BAC的平分线，所以BADCAD.因为AE是圆O的切线，所以EACABC.因为ADCBADABC，所以ADCBADEACEAD，所以DEAE.3.如图所示，已知AB，BC是O的两条弦，AOBC，AB，BC2，则O的半径等于_答案1.5解析设O的半径为r，BC与AO交于点D，因为AB，BC是O的两条弦，AOBC，AB，B
28、C2，所以AD1，所以r22(r1)2，解得r1.5.4如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且，则_答案解析由题意，可设PBx，则BC2x，根据切割线定理，可得PA2PBPC3x2，PAx，所以.5.如图，过点P作圆O的割线PAB与切线PE，E为切点，连接AE，BE，APE的平分线与AE，BE分别交于点C，D，若AEB30，则PCE_答案75解析PE是圆的切线，PEBPAC.PC是APE是平分线，EPCAPC，根据三角形的外角与内角关系有EDCPEBEPC，ECDPACAPC，EDCECD，EDC为等腰三角形又AEB30，EDCECD75，即PCE75.6如图，PB为ABC外接圆
29、O的切线，BD平分PBC，交圆O于D，点C，D，P共线若ABBD，PCPB，PD1，则圆O的半径是_答案2解析如图所示，连接AD，PB为圆O的切线，PBDBCDBAD.BD为PBC的平分线，PBDCBD，PDBCBDBCDPBDPBD2PBD.又PCPB，PBDBCDCBDBAD30，PDB60.由PD1，得BD2PD2.在ABD中，ABBD，AD是圆O的直径，且直径AD2BD4，圆O的半径为2.7.如图，已知O的割线PAB交O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA3，AB4，PO5，则O的半径为_答案2解析设圆的半径为r，PA3，PB7，PC5r，PD5r，由割线定理PAPBPCPD，得3
30、7(5r)(5r)，解得r2.8已知O1和O2交于点C和点D，O1上的点P处的切线交O2于A，B两点，交直线CD于点E，M是O2上的一点，若PE2，EA1，AMB45，那么O2的半径为_答案解析由切线定理和割线定理可知，PE2ECEDEA(EAAB)，将PE2，EA1代入，得AB3.连接AO2，BO2，由AMB45可得ABO2为等腰直角三角形，所以O2的半径rAB.9如图所示，圆O的两条弦AB和CD交于点E，EFCB，EF交AD的延长线于点F，FG切圆O于点G.(1)求证：DEFEAF；(2)如果FG1，求EF的长答案(1)略(2)1解析(1)证明：因为EFBC，所以DEFECB.又因为ECB
31、A，所以DEFA，又DFE为公共角，所以DEFEAF.(2)由(1)知DEFEAF，所以，即EF2AFDF.又因为FG为切线，所以FG2FDFA，所以EFFG1.10如图，AB是O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是O的割线，已知ACAB.(1)求证：FGAC；(2)若CG1，CD4，求的值答案(1)略(2)4解析(1)证明：因为AB为切线，AE为割线，所以AB2ADAE.又因为ACAB，所以ADAEAC2，所以.又因为EACDAC，所以ADCACE，所以ADCACE.又因为ADCEGF，所以EGFACE，所以FGAC.(2)由题意可得G，E，D，F四点共圆，所以CGFCDE，CFGCED.所以CGFCDE，所以.又因为CG1，CD4，所以4.