1、2016-2017学年湖南省衡阳八中学高二（上）第四次月考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1命题“若x=2，则x23x+2=0”的逆否命题是（）A若x2，则x23x+20B若x23x+2=0，则x=2C若x23x+20，则x2D若x2，则x23x+2=02在复平面内，复数z=对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是（）各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；各面都是面积相等的三角形，同一顶
2、点上的任两条棱的夹角都相等ABCD4用反证法证明命题“若sin+cos=1，则sin0且cos0”时，下列假设的结论正确的是（）Asin0或cos0Bsin0或cos0Csin0且cos0Dsin0且cos05某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（）ABCD6若复数z满足（1+i）z=1i（i为虚数单位），则|z|=（）ABC2D17已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）=2xf（1）+lnx，则f（1）=（）AeB1C1De8已知命题p：“x0，1，aex”，命题q：“xR，x2+4x+a=0”，若命题“pq”是真命题，则实数a的取值范围是
3、（）Ae，4B1，4C（4，+）D（，19设函数f（x）在R上存在导数f（x），xR，有g（x）=f（x）x2，且f（x）x，若f（4m）f（m）84m，则实数m的取值范围是（）A2，2B2，+）C0，+）D（，22，+）10已知抛物线C：y2=4x的交点为F，直线y=x1与C相交于A，B两点，与双曲线E：=2（a0，b0）的渐近线相交于M，N两点，若线段AB与MN的中点相同，则双曲线E离心率为（）AB2CD11已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A
4、BC +1D112设A，B是函数f（x）定义域集合的两个子集，如果对任意xlA，都存在x2B，使得f（x1）f（x2）=l，则称函数f（x）为定义在集合A，B上的“倒函数”，若函数f（x）=x2ax3（a0），xR为定义在A=（2，+），B=（1，+）两个集合上的“倒函数”，则实数a取值范围是（）A（0，+）B（0，C，+）D二.填空题（每题5分，共20分）13若复数z=（m2m）+mi是纯虚数，则实数m的值为14从等腰直角ABC的底边BC上任取一点D，则ABD为锐角三角形的概率为15过双曲线=1（a0，b0）的左焦点F（c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4c
5、x于点P，O为原点，若，则双曲线的离心率为16已知函数f（x）=x3+ax24在x=2处取得极值，若m，n1，1，则f（m）+f（n）的最小值是三.解答题（共6题，共70分）17复数z=（1i）a23a+2+i（aR），（1）若z=，求|z|；（2）若在复平面内复数z对应的点在第一象限，求a的范围18已知关于x的方程+=1，其中a，b为实数（1）若x=1i是该方程的根，求a，b的值；（2）当且a0时，证明：该方程没有实数根19已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取部分学生的分数（满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在50，100之
6、内）作为样本（样本容量为n）进行统计按照50，60，60，70，70，80，80，90，90，100的分组作出频率分布直方图（图1），并作出样本分数的茎叶图（图2）（茎叶图中仅列出了得分在50，60，90，100的数据）（）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在90，100内的概率20已知双曲线C：=1（a0，b0）的一条渐近线与直线x=交于点M，双曲线C的离心率e=，F是其右焦点，且|MF|=1（）求双曲线C的方程；（）过点A（0，1）的直线l与双曲
7、线C的右支交于不同两点P、Q，且P在A、Q之间，若=且，求直线l斜率k的取值范围21已知函数f（x）=x2+ax+1，g（x）=ex（其中e是自然对数的底数）（1）若a=1，求函数y=f（x）g（x）在1，2上的最大值；（2）若a=1，关于x的方程f（x）=kg（x）有且仅有一个根，求实数k的取值范围；（3）若对任意的x1、x20，2，x1x2，不等式|f（x1）f（x2）|g（x1）g（x2）|都成立，求实数a的取值范围22在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（1，0），动点C满足条件：ABC的周长为，记动点C的轨迹为曲线W（1）求W的方程；（2）曲线W上是否存在这样的点P：它到
8、直线x=1的距离恰好等于它到点B的距离？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由2016-2017学年湖南省衡阳八中学高二（上）第四次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1命题“若x=2，则x23x+2=0”的逆否命题是（）A若x2，则x23x+20B若x23x+2=0，则x=2C若x23x+20，则x2D若x2，则x23x+2=0【考点】四种命题间的逆否关系【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，写出它的逆否命题即可【解答】解：命题“若x=2，则x23x+2=0”的逆否命题是“若x23x+20，则x2”故选：C2在复平面
9、内，复数z=对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案【解答】解：z=，复数z=对应的点的坐标为（），位于第四象限故选：D3类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是（）各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等ABCD【考点】类比推理【分析】正四面体中，各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；正确；各个面都是全等的正
10、三角形，相邻两个面所成的二面角都相等，正确；各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等，正确【解答】解：正四面体中，各棱长相等，各侧面是全等的等边三角形，因此，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；正确；对于，正四面体中，各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角中，它们有共同的高，底面三角形的中心到对棱的距离相等，相邻两个面所成的二面角都相等，正确；对于，各个面都是全等的正三角形，各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等，正确都是合理、恰当的故选C4用反证法证明命题“若sin+cos=1，则sin0且cos0”时，下列假设的结论正确的是（）Asin0或co
11、s0Bsin0或cos0Csin0且cos0Dsin0且cos0【考点】反证法与放缩法【分析】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设要证命题的否定成立根据要证命题的否定，从而得出结论【解答】解：用反证法证明，应先假设要证命题的否定成立而要证命题的否定为：sin0或cos0，故选：B5某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（）ABCD【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率【分析】每1粒发芽的概率为，播下3粒种子相当于做了3次试验，由题意知独立重复实验服从二项分布，即XB（3，），根据二项分布的概率求法，做出结果【解答】解：每1粒发芽的概率为定值
12、，播下3粒种子相当于做了3次试验，由题意知独立重复实验服从二项分布即XB（3，）P（X=2）=故选B6若复数z满足（1+i）z=1i（i为虚数单位），则|z|=（）ABC2D1【考点】复数求模【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【解答】解：（1+i）z=1i（i为虚数单位），（1i）（1+i）z=（1i）（1i），2z=2i，即z=i则|z|=1故选：D7已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）=2xf（1）+lnx，则f（1）=（）AeB1C1De【考点】导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则【分析】已知函数f（x）的导函数为f（x），利用求导公式对f（x）进行求导
13、，再把x=1代入，即可求解；【解答】解：函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）=2xf（1）+ln x，（x0）f（x）=2f（1）+，把x=1代入f（x）可得f（1）=2f（1）+1，解得f（1）=1，故选B；8已知命题p：“x0，1，aex”，命题q：“xR，x2+4x+a=0”，若命题“pq”是真命题，则实数a的取值范围是（）Ae，4B1，4C（4，+）D（，1【考点】命题的真假判断与应用【分析】命题“pq”是真命题，即命题p是真命题，且命题q是真命题命题q是真命题，即方程有解；命题p是真命题，分离参数，求ex的最大值即可【解答】解：命题“pq”是真命题，即命题p是真命题，且命题
14、q是真命题，命题p：“x0，1，aex”为真，ae1=e；由命题q：“xR，x2+4x+a=0”，即方程有解，0，164a0所以a4则实数a的取值范围是e，4故选A9设函数f（x）在R上存在导数f（x），xR，有g（x）=f（x）x2，且f（x）x，若f（4m）f（m）84m，则实数m的取值范围是（）A2，2B2，+）C0，+）D（，22，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】利用导数可得函数g（x）在R上是减函数，结合函数的单调性解不等式即可【解答】解：g（x）=f（x）x2，g（x）=f（x）x0，g（x）在R递减，f（4m）f（m）=g（4m）+（4m）2g（m）m2=g（4m）g
15、（m）+84m84m，g（4m）g（m），4mm，解得：m2，故选：B10已知抛物线C：y2=4x的交点为F，直线y=x1与C相交于A，B两点，与双曲线E：=2（a0，b0）的渐近线相交于M，N两点，若线段AB与MN的中点相同，则双曲线E离心率为（）AB2CD【考点】抛物线的简单性质【分析】将直线方程代入抛物线方程，由韦达定理及中点坐标公式求得AB的中点D，将直线方程代入渐近线方程，求得M和N点坐标，则=3，即可求得a=b，e=【解答】解：由题意，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点D，整理得：x26x+1=0，由韦达定理可知：x1+x2=6，xD=3，则yD=xD1=3，线段AB
16、的中点坐标为D（3，2）直线y=x1与双曲线的渐近线y=x联立，可得M（，），与双曲线的渐近线y=x联立，可得N（，），线段MN的中点坐标为（，），线段AB与MN的中点相同，=3，a=b，则e=故选：C11已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）ABC +1D1【考点】双曲线的简单性质【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PB|，可得=，设PA的倾斜角为，则当m取得最大值时，sin最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的
17、坐标，利用双曲线的定义，即可得出结论【解答】解：过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，|PA|=m|PB|，|PA|=m|PN|=设PA的倾斜角为，则sin=，当m取得最大值时，sin最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PM的方程为y=kx1，代入x2=4y，可得x2=4（kx1），即x24kx+4=0，=16k216=0，k=1，P（2，1），双曲线的实轴长为PAPB=2（1）双曲线的离心率为=+1故选C12设A，B是函数f（x）定义域集合的两个子集，如果对任意xlA，都存在x2B，使得f（x1）f（x2）=l，则称函数f（x）为定义在集合A，B上的“倒函数”
18、，若函数f（x）=x2ax3（a0），xR为定义在A=（2，+），B=（1，+）两个集合上的“倒函数”，则实数a取值范围是（）A（0，+）B（0，C，+）D【考点】函数解析式的求解及常用方法【分析】先将f（x）的单调性分析出，找到极大极小值，由此找到f（x1）和f（x2）的值域，等价转换为两集合的包含关系，再分类讨论即可【解答】解：f（x）=x2ax3（a0），f（x）=2x2ax2，则由f（x）0得到函数f（x）的增区间为（0，） 减区间为（，0）、（，+），则f（x）极小值=f（0）=0，f（x）极大值=f（）=，由此可知f（x）的图象，设集合M=f（x）|x（2，+），N=|x（1，+）
19、，则对任意x1（2，+），都存在x2（1，+）使得f（x1）f（x2）=l，等价于MN，显然0N当2，即0a时，0M，不满足MN；当12，即a时，f（x）0，M=（，f（2）（，0），由于f（1）=0，有f（x）在（1，+）上的取值范围包含在（，0）内满足MN；当1，即a，有f（1）0，f（x）在（1，+）上单减，B=（，0），A=（0，f（2）不满足MN，综上可知a，故选D二.填空题（每题5分，共20分）13若复数z=（m2m）+mi是纯虚数，则实数m的值为1【考点】复数的基本概念【分析】根据复数的概念进行求解即可【解答】解：若复数z=（m2m）+mi是纯虚数，则，即，即m=1，故答案为：1
20、14从等腰直角ABC的底边BC上任取一点D，则ABD为锐角三角形的概率为【考点】几何概型【分析】根据ABD为锐角三角形，确定D的位置，然后根据几何概型的概率公式即可得到结论【解答】解：ABC是等腰直角三角形，E为BC的中点，B=45，当D位于E时，ABD为直角三角形，当D位于线段EC上时，ABD为锐角三角形，根据几何概型的概率公式可得ABD为锐角三角形的概率为，故答案为：15过双曲线=1（a0，b0）的左焦点F（c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为原点，若，则双曲线的离心率为【考点】双曲线的简单性质【分析】由题设知|EF|=b，|PF|=2b，
21、|PF|=2a，过F点作x轴的垂线l，过P点作PDl，则l为抛物线的准线，据此可求出P点的横坐标，后在RtPDF中根据勾股定理建立等式，由此能求出双曲线的离心率【解答】解：|OF|=c，|OE|=a，OEEF|EF|=b，E为PF的中点，|PF|=2b，又O为FF的中点，PFEO，|PF|=2a，抛物线方程为y2=4cx，抛物线的焦点坐标为（c，0），即抛物线和双曲线右支焦点相同，过F点作x轴的垂线l，过P点作PDl，则l为抛物线的准线，PD=PF=2a，P点横坐标为2ac，设P（x，y），在RtPDF中，PD2+DF2=PF2，即4a2+y2=4b2，4a2+4c（2ac）=4（c2b2），
22、解得e=故答案为：16已知函数f（x）=x3+ax24在x=2处取得极值，若m，n1，1，则f（m）+f（n）的最小值是13【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数在某点取得极值的条件【分析】令导函数当x=2时为0，列出方程求出a值；求出二次函数f（n）的最小值，利用导数求出f（m）的最小值，它们的和即为f（m）+f（n）的最小值【解答】解：求导数可得f（x）=3x2+2ax函数f（x）=x3+ax24在x=2处取得极值，12+4a=0，解得a=3f（x）=3x2+6xn1，1时，f（n）=3n2+6n，当n=1时，f（n）最小，最小为9当m1，1时，f（m）=m3+3m24f（m）=3
23、m2+6m令f（m）=0得m=0，m=2所以m=0时，f（m）最小为4故f（m）+f（n）的最小值为9+（4）=13故答案为：13三.解答题（共6题，共70分）17复数z=（1i）a23a+2+i（aR），（1）若z=，求|z|；（2）若在复平面内复数z对应的点在第一象限，求a的范围【考点】复数求模；复数的基本概念【分析】（1）根据z=，确定方程即可求|z|；（2）利用复数的几何意义，即可得到结论【解答】解 z=（1i）a23a+2+i=a23a+2+（1a2）i，（1）由知，1a2=0，故a=1当a=1时，z=0；当a=1时，z=6（2）由已知得，复数的实部和虚部皆大于0，即，即，所以1a1
24、18已知关于x的方程+=1，其中a，b为实数（1）若x=1i是该方程的根，求a，b的值；（2）当且a0时，证明：该方程没有实数根【考点】反证法与放缩法；函数的零点与方程根的关系；复数代数形式的混合运算【分析】（1）把x=1i代入方程，利用复数相等的充要条件列出方程组，即可求a，b的值；（2）化简原方程为二次函数的形式，利用反证法，假设方程有实数根，通过韦达定理，结合且a0，推出矛盾结论，即可证明：该方程没有实数根【解答】解：（1）将代入，化简得所以所以a=b=2（2）证明：原方程化为x2ax+ab=0假设原方程有实数解，那么=（a）24ab0即a24ab因为a0，所以，这与题设矛盾所以假设错误
25、，原方程有实数根正确19已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中抽取部分学生的分数（满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在50，100之内）作为样本（样本容量为n）进行统计按照50，60，60，70，70，80，80，90，90，100的分组作出频率分布直方图（图1），并作出样本分数的茎叶图（图2）（茎叶图中仅列出了得分在50，60，90，100的数据）（）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在
26、90，100内的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图【分析】（）由样本容量和频数频率的关系易得答案；（）由题意可知，分数在80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在90，100内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2，列举法易得【解答】解：（）由题意可知，样本容量，x=0.1000.0040.0100.0160.040=0.030（）由题意可知，分数在80，90内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在90，100内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2，抽取2名学生的所有情况有21种，分别为：（a1，a2
27、），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）其中2名同学的分数恰有一人在90，100内的情况有10种，所抽取的2名学生中恰有一人得分在90，100内的概率20已知双曲线C：=1（a0，b0）的一条渐近线与直线x=交于点M，双曲线C的离心率e=，F是其右焦点，且|MF|=1（）求双曲线C的方程；（）过点A（0，1）的直线l
28、与双曲线C的右支交于不同两点P、Q，且P在A、Q之间，若=且，求直线l斜率k的取值范围【考点】双曲线的简单性质【分析】（I）设双曲线的一条渐近线方程为y=x，求得M的坐标，运用两点的距离公式和离心率公式，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程；（II）设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，代入双曲线的方程，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），运用判别式大于0，两根之和大于0，两根之积大于0，解不等式可得k21且k0 再由向量的关系的坐标表示，化简整理，即可得到k21，可得k的范围【解答】解：（I）设双曲线的一条渐近线方程为y=x，令x=，可得y=，即M（，），
29、F（c，0），由|MF|=1，可得（c）2+（）2=1，由离心率e=，且a2+b2=c2，解得a=，b=1，则双曲线的方程为y2=1；（II）设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），由得：（12k2）x24kx4=0，由l与双曲线C的右支交于不同的两点P、Q，k21且k0 若=且，P在A、Q之间，则x1=x2，1，则，即有=2+，设f（）=+2在，1）上为减函数，（可由f（）=10）则4f（），即42+，解得k21由可得1k则k的取值范围是（1，21已知函数f（x）=x2+ax+1，g（x）=ex（其中e是自然对数的底数）（1）若a=1，求函数y=
30、f（x）g（x）在1，2上的最大值；（2）若a=1，关于x的方程f（x）=kg（x）有且仅有一个根，求实数k的取值范围；（3）若对任意的x1、x20，2，x1x2，不等式|f（x1）f（x2）|g（x1）g（x2）|都成立，求实数a的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）若a=1，则y=f（x）g（x）=（x2x+1）ex，利用导数法可得函数y=（x2x+1）ex在区间1，0上单调递减，在区间0，2上单调递增，结合又，可得函数y=f（x）g（x）在1，2上的最大值；（2）若a=1，关于x的方程f（x）=kg（x）有且仅有一个根，即有且只有一个根，令，可得，进而可得当时，
31、k=h（x）有且只有一个根（3）设x1x2，因为g（x）=ex在0，2单调递增，故原不等式等价于|f（x1）f（x2）|g（x2）g（x1）在x1、x20，2，且x1x2恒成立，当a（ex+2x）恒成立时，a1；当aex2x恒成立时，a22ln2，综合讨论结果，可得实数a的取值范围【解答】解：（1）若a=1，则y=f（x）g（x）=（x2x+1）ex，y=（x2+x）ex=x（x+1）ex，x1，0时，y0，x0，2时，y0，函数y=（x2x+1）ex在区间1，0上单调递减，在区间0，2上单调递增，又，故函数的最大值为3e2（2）由题意得：有且只有一个根，令，则故h（x）在（，1）上单调递减，
32、（1，2）上单调递增，（2，+）上单调递减，所以，因为h（x）在（2，+）单调递减，且函数值恒为正，又当x时，h（x）+，所以当时，k=h（x）有且只有一个根（3）设x1x2，因为g（x）=ex在0，2单调递增，故原不等式等价于|f（x1）f（x2）|g（x2）g（x1）在x1、x20，2，且x1x2恒成立，所以g（x1）g（x2）f（x1）f（x2）g（x2）g（x1）在x1、x20，2，且x1x2恒成立，即，在x1、x20，2，且x1x2恒成立，则函数F（x）=g（x）f（x）和G（x）=f（x）+g（x）都在0，2单调递增，则有，在0，2恒成立，当a（ex+2x）恒成立时，因为（ex+2
33、x）在0，2单调递减，所以（ex+2x）的最大值为1，所以a1；当aex2x恒成立时，因为ex2x在0，ln2单调递减，在ln2，2单调递增，所以ex2x的最小值为22ln2，所以a22ln2，综上：1a22ln222在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（1，0），动点C满足条件：ABC的周长为，记动点C的轨迹为曲线W（1）求W的方程；（2）曲线W上是否存在这样的点P：它到直线x=1的距离恰好等于它到点B的距离？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【分析】（1）根据ABC的周长为，|AB|=2，利用椭圆的定义可得动点C的轨迹，从而可得W的方程；（2）假设存在点P满足题意，则点P为抛物线y2=4x与曲线W：的交点，联立方程，求得交点即可【解答】解：（1）设C（x，y），由椭圆的定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为的椭圆（除去与x轴的两个交点），b2=a2c2=1W的方程：（2）假设存在点P满足题意，则点P为抛物线y2=4x与曲线W：的交点，由，消去y得：x2+8x2=0解得（舍去） 由代入抛物线的方程得所以存在两个点和满足题意2017年4月7日