1、试卷第 1 页，总 4 页2021 届四川省成都市新都一中高三周测理科数学（2）一、单选题1i 是虚数单位，则1ii的虚部是（）A 12 iB12C 12D12 i2设全集1,2,3,4,5,6,7,8U，集合1,2,3,5A，2,4,6B，则右图中的阴影部分表示的集合为A 2B4,6C1,3,5D4,6,7,83设向量a，b 满足|2a，22aa b，则|ab的最小值为（）A2B1C 12D 144下列说法正确的是（）A若命题 p，q 都是真命题，则命题“pq”为真命题 B命题“若0 xy，则0 x 或0y”的否命题为“若0 xy，则0 x 或0y”C“1x ”是“2560 xx”的必要不充
2、分条件 D命题“xR，20 x”的否定是“0 xR，020 x”5已知数列 na满足11a ，*11nnnaanNa，则2020a（）A12018B12019C12020D120216下列说法：将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；设有一个回归方程3 5yx，变量 x 增加一个单位时，y 平均增加 5 个单位；线性回归方程 ybxa必过点,x y；曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系.其中错误的个数是（）A1B2C3D47函数cossin2xxy 的大致图象为（）试卷第 2 页，总 4 页ABCD8已知 A(3，7)，B(5，2)，把向量 AB 按向量=(1，2)平移后
3、，所得向量 A B 的坐标是（）A(2，5)B(1，7)C(0，4)D(3，3)9设l，m 是两条不同的直线，是两个不同的平面，且l，m下列结论正确的是（）A若，则lB若lm，则 C若/，则l/D若/lm，则/10若函数 11,0sin,0133,1xxxf xxxx，满足 f af bf cf df e且 a、b、c、d、e 互不相等，则abcde 的取值范围是（）A340,log 9B390,log 4C340,log 3D330,log 411在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ABC 的顶点 0,4A，0,4C，顶点 B 在椭圆221925xy 上，则sinsinsinACAC（）A
4、35B 53C 45D 5412已知()f x 为定义在(0,)上的可导函数，且()()f xxfx恒成立，则不等式21()()0 x ff xx 的解集为（）A(1,)B(,1)C(2,)D(,2)二、填空题13已知数列an的前 n 项和 Snn2+n，则 an_ 14如图，在边长为 1 的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_.试卷第 3 页，总 4 页15在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线4(0)yxxx上的一个动点，则点 P 到直线 x+y=0 的距离的最小值是_.16一般的，复数都可以表示为cossinzri的形式，这也叫做复数的三角表示，17 世纪的法国数学家棣莫
5、弗结合复数的三角表示发现并证明了这样一个关系：如果1111cossinzri，2222cossinzri，那么1 21 21212cossinz zrri，这也称为棣莫弗定理.结合以上定理计算：10 cossin2 cossin2244ii_.（结果表示为abi，,a bR 的形式）三、解答题17为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为 2：4：17：15：9：3，第二小组频数为 20.（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）规定次数在 110 以上(含 110 次)为达标，该校
6、高一共有 725 名学生，试估计该学校全体高一学生达标的人数有多少？18已知函数 2 3sin coscos2f xxxx，xR.（1）求6f的值及函数 f x 的最小正周期T；（2）在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是a、b、c，若 1fA，3a 且3bc，求 ABC的周长.19已知矩形 ADEF 和菱形 ABCD所在平面互相垂直，如图，其中1AF ，2AD，3ADC，点 N 是线段 AD 的中点.（1）若点 M 在线段 BE 上，且2BMME，求证：/AF平面 MNC；（2）求二面角 NCED的余弦值.试卷第 4 页，总 4 页20在平面直角坐标系中，点1F、2F 分别为C：22
7、2210,0 xyabab的左、右焦点，双曲线C 的离心率为 2，点31,2 在双曲线C 上.不在 x 轴上的动点 P 与动点Q 关于原点O 对称，且四边形12PFQF 的周长为4 2.（1）求动点 P 的轨迹方程；（2）在动点 P 的轨迹上有两个不同的点11,M x y、22,N xy，线段 MN 的中点为G，已知点12,x x在圆222xy上，求 OGMN的最大值，并判断此时 OMN 的形状.21已知函数 ln1f xxax，其中aR.（1）求 f x 的单调区间；（2）当1a 时，斜率为k 的直线l 与函数 f x 的图象交于两点 11,A x y，22,B xy，其中12xx，证明：1
8、211xxk；22 已知曲线 C：4cos,3sin,xtyt （t 为参数），C：8cos,3sin,xy（为参数）（1）化 C，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若 C 上的点 P 对应的参数为2t，Q 为 C 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线332,:2xtCyt （t为参数）距离的最小值 答案第 1 页，总 8 页2021 届四川省成都市新都一中高三周测理科数学（2）详解1B因为111(1)(1)2iiiiiii，所以其虚部为122B阴影部分表示的集合为 ()4,6,7,82,4,64,6U AB.故选 B3B由题得222|244|ababa bbb，因为22
9、aa b，所以14=2 2|cos,|cosbb，因为|0,cos0b，所以当cos=1时，|1minb，所以|ab的最小值为 1.故选：B 4D对于 A，命题 p，q 是真命题，则命题“q”为假，p 也为假，命题“pq”为假命题，故错；对于 B，“或”的否定为“且”，故错；对于C，“1x ”能推出“2560 xx”，故错；对于 D，含有量词的命题的否定，先换量词，再否定结论，即“xR，20 x”的否定是“0 xR，020 x”，故正确故选：D 5C11nnnaaa ，两边同时取倒数得11111nnnnaaaa，即1111nnaa+-=，即数列1na是公差1d 的等差数列，首项为111a=则
10、11(1)1nnna ，得1nan，则202012020a，故选：C 6B答案第 2 页，总 8 页方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变，故正确；有一个回归方程3 5yx，当变量 x 增加一个单位时，y 平均减少 5 个单位，故错误；线性回归方程 ybxa必过点,x y，故正确；曲线上的点与该点的坐标之间是一一对应的确定关系，故错误.故选：B 7A由题意可知，函数cossin()2xxyf x的定义域为 R，关于原点对称.cos()cossin()sin()()22xxxxfxf x 函数cossin2xxy 为奇函数.图象关于原点成中心对称，
11、排除 C，D 选项.又xR 时cos 1,1x cos20 x 当(0,)x时sin0 x，故0y，排除 B 选项.故选 A8A由题意(5,2)(3,7)(2,5)AB，(2,5)A B 故选：A，9C对选项 A，如图所示，l，此时/l ，故 A 错误.对选项 B，n，l，m，ln，/m n，得到lm，此时，不一定垂直，故 B 错误.对选项 C，因为/，l，所以l/，故 C 正确.对选项 D，如图所示：n，l，m，/l n，/m n，得到/l m，此时，不平行，故 D 错误.故选：C10C答案第 3 页，总 8 页 11,0sin,0133,1xxxf xxxx设 f af bf cf df
12、et，由题意可知 yt 与曲线 yf x的图象有五个交点，如图：由图象可知，当01t 时，直线 yt 与函数 yf x的图象有五个交点，设abcde，点,a t、,b t 关于直线1x 对称，则2ab ；点,c t、,d t 关于直线12x 对称，则1cd.由题意可知 330,1cf ct ，即033 1c，解得31log 4c，因此，3340log 4 1log 3abcde .故选：C.11C椭圆221925xy 中5,3ab，25 94c，8BC，由题意,A C 是椭圆221925xy 的焦点，又 B 在椭圆上，210BCBAa，sin()sin84sinsinsinsin105ACBA
13、CACACBCBA故选：C 12A令()()f xg xx，则2()()()xfxf xg xx()()f xxfx()()0 xfxf x，即2()()()0 xfxf xg xx在(0,)上恒成立 ()g x 在(0,)上单调递减 21()()0 x ff xx 答案第 4 页，总 8 页1()()1ff xxxx，即1()()gg xx 1xx，即1x 故选 A132n由题,当1n 时,21112a ,当2n 时,1112nnnaSSn nnnn.当1n 时也满足.故2nan.故答案为：2n 14 13由题意，结合定积分可得阴影部分的面积为31120021(1)()|33Sx dxxx，
14、由几何概型的计算公式可得，黄豆在阴影部分的概率为1131 13p 154.当直线0 xy平移到与曲线4yxx相切位置时，切点 Q 即为点 P 到直线0 xy的距离最小.由2411yx ，得2(2)x 舍，3 2y，即切点(2,3 2)Q，则切点 Q 到直线0 xy的距离为2223 2411，故答案为4 161010i10 cossin2 cossin2244ii33102cossin20 cossin242444ii2220101022 ii 答案第 5 页，总 8 页故答案为：1010i 17（1）频率分布直方图从左到右各小长方形面积之比为2:4:17:15:9:3，设比例的每一份为k，24
15、1715931kkkkkk，解得0.02k，第二小组的频率为 44 0.020.08k 第二小组频数为 20样本容量202500.08n （2）次数在 110 以上（含 110 次）为达标，由频率分布直方图得：次数在 110 以上（含 110 次）的频率为：1(24)0.020.88，该校高一共有 725 名学生，估计该学校全体高一学生达标的人数有：725 0.88638人 18（1）2 3sin coscos23sin 2cos22sin 26f xxxxxxx，则2sin262f，函数 yf x的最小正周期为22T；（2）2sin 216fAA，可得1sin 262A，0A，132666A
16、，5266A，解得3A，由余弦定理得22222cos7abcbcAc，即279c，解得3 77c，9 737bc，因此，ABC 的周长为12 737abc.19（1）取 EF 的中点 P，连接CP，NP，因为1/,2PE BC PEBC，且2BMME，所以 BE 交 PC 于点 M.如图所示：因为 P，N 分别为 EF，AD 的中点，所以/AF PN.又 PN 平面 MNC，AF 平面 MNC,所以/AF平面 MNC.（2）因为平面 ADEF 平面 ABCD，平面 ADEF平面 ABCDAD,且 PNAD，答案第 6 页，总 8 页所以 PN平面 ABCD.又因为菱形 ABCD中3ADC，所以
17、ACD为等边三角形.又因为 N 为 AD 的中点，所以CNAD.以 N 为原点，NC，ND，NP 分别为 x，y，z 轴建系，如图所示：0,0,0N，3,0,0C，0,1,0D，0,1,1E，3,0,0NC，3,1,1CE ，3,1,0CD ，设平面 NCE 的法向量为111,nx y z，则11113030n NCxn CExyz ，令11y，得0,1,1n.设平面 DCE 的法向量为222,mxy z，则222223030m CExyzm CDxy ，令21x ，得1,3,0m.36cos,42 2m nm nm n.因为二面角 NCED的平面角为锐角，所以二面角 NCED的余弦值为64.
18、20（1）设点1F、2F 分别为,0c，,0c0c，由已知2ca，所以2ca，224ca，22223bcaa，又因为点31,2 在双曲线C 上，所以229141ab，则222294baa b，即2249334aaa，解得214a，12a.所以1c .连接 PQ，因为12OFOF，OPOQ，所以四边形12PFQF 为平行四边形，因为四边形12PFQF 的周长为4 2，所以21122 22PFPFF F.答案第 7 页，总 8 页所以动点 P 的轨迹是以点1F、2F 分别为左、右焦点，长轴长为2 2 的椭圆（除去左右顶点）.可得动点 p 的轨迹方程为：22102xyy（2）因为22122xx，22
19、1112xy，222212xy，所以22121yy，所以 OGMNMNOG 22221212121222xxyyxxyy222212121212112222xxyyx xy y12121212322322x xy yx xy y1212121232232213222x xy yx xy y.等号当且仅当1 2121 2123 22322x xy yx xy y，即1 2120 x xy y，所以OMON，即 OMN 为直角三角形.21（1）因为 1fxax，0 x，所以当0a 时，0fx恒成立，所以 f x 在0 ，上单调递增，当 0a时，10 xa，时，0fx，f x 在10 a，上单调递增
20、，1xa，时，0fx，f x 在 1a，上单调递减，综上所述：当0a 时，f x 在0 ，上单调递增，当 0a时，f x 在10 a，上单调递增，在 1a，上单调递减.（2）当1a 时，ln1f xxx ，所以21221121212121lnln+lnln1yyxxxxxxkxxxxxx，所以2121lnln+1xxkxx，要证1211xxk，即证212211ln1ln1xxxxxx，因为210 xx，即证21221211lnxxxxxxxx，答案第 8 页，总 8 页令211xt tx，即证11ln1 1tttt，令 ln1k ttt 1t，由（1）知，k t 在1 ，上单调递减，所以 10k tk，即ln10tt-+1h tttt，则 2211101ttttttth，所以 h t 在1 ，上单调递增，所以 10h th，即1ln1tt 1t；综上可得11ln1 1tttt，即1211xxk；22（1）222212:431,:1649xyCxyC 1C 为圆心是4,3，半径是 1 的圆，2C 为中心是坐标原点，焦点在 x 轴，长半轴长是 8，短半轴长是 3的椭圆.（2）当2t时，4,4,8cos,3sinPQ，故324cos,2sin2M 3C 的普通方程为270 xy，M 到3C 的距离5 4cos3sin135d 所以当43cos,sin55 时，d 取得最小值 8 55.
