1、第四节 指数函数【知识梳理】1.根式(1)根式的概念 若_,则x叫做a的n次方根,其中n1且nN*.式子 叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.n axn=a a的n次方根的表示:xn=ax=(当n为奇数且nN*时),_(当n为偶数且nN*时).n an a(2)根式的性质()n=a(nN*).n aa,a0,-a,a0,m,nN*,且n1);负分数指数幂:=_=(a0,m,nN*,且n1);0的正分数指数幂等于_,0的负分数指数幂_.mnamn amnamn1amn1a0 无意义(2)有理数指数幂的运算性质:aras=_(a0,r,sQ);(ar)s=_(a0,r,sQ);(ab)r=
2、_(a0,b0,rQ).ar+s ars arbr 3.指数函数的图象及性质 函数 y=ax(a0,且a1)图象 0a1 图象 特征 在x轴_,过定点_ 当x逐渐增大时,图象逐渐下降 当x逐渐增大时,图象逐渐上升 上方(0,1)函数 y=ax(a0,且a1)性 质 定义域 _ 值域 _ 单调性 _ _ 函数值变化规律 当x=0时,_ 当x0时,_ 当x0时,_ R(0,+)减 增 y=1 y1 0y1 0y1【特别提醒】1.指数函数图象画法的三个关键点 画指数函数y=ax(a0,且a1)的图象,应抓住三个关键 点:(1,a),(0,1),1(1,).a2.指数函数的图象与底数大小的比较 如图是
3、指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为cd1ab.由此我们可得到以下规律:在y轴右(左)侧图象越高(低),其底数越大.【小题快练】链接教材 练一练 1.(必修1P56例6改编)若函数f(x)=ax(a0,且a1)的 图象经过点A(),则f(-1)=.12 3，【解析】依题意可知a2=,解得a=所以f(x)=()x,所以f(-1)=()-1=答案:1333，33333.32.(必修1P60B组T1改编)若函数y=(a2-1)x在R上为增函 数,则实数a的取值范围是 .【解析】由y=(a2-1)x在(-,+)上为增函数,
4、得a2-11,解得a 或a 或a0,且1bxax,则下列不等式正确的是()A.0ba1 B.0ab1 C.1ba D.1a0时,axbx1,所以a1,b1,又因为axbx,所以ab,所以1b0且a1)的图象一定过定点()A.(0,1)B.(1,1)C.(1,0)D.(0,0)【解析】选B.令x-1=0,则x=1,f(1)=a0=1,所以过定点(1,1).5.(2016菏泽模拟)若点(a,9)在函数y=3x的图象上,则tan 的值为()A.0 B.C.1 D.【解析】选D.由题意知3a=9,所以a=2,所以 a63332tantan3.63考向一 指数幂的化简与求值【典例1】(1)化简:(x0,
5、y0)=_.(2)计算:+0.002 -10(-2)-1+0.844216x y2x y2327()8125【解题导引】(1)将根式化为分数指数幂,然后利用幂的运算性质进行计算.(2)将负分数指数幂化为正分数指数幂,然后利用幂的运算性质进行计算.【规范解答】(1)答案:-1 18484442216x y(16x y)2x y2x y148424222(x)(y)2(x)(y)1.2x y2x y(2)原式=213227110()()185005221328()50010(52)127416710 510 520 1.99 【规律方法】指数幂的运算规律(1)有括号的先算括号里的,无括号的先算指数
6、运算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分数.(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.易错提醒:运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数,形式力求统一.【变式训练】化简下列各式(其中各字母均为正数):(1)(2)112032170.0027()(2)(21).79121121333225(a b)(3ab)(4a b)ab.6【解析】(1)原式=(2)原式=112322725()7()110 0009 10549145.33 113113
7、632225(ab)(2ab)a b2131112222555ababb.444b 【加固训练】1.若a=(2+)-1,b=(2-)-1,则(a+1)-2+(b+1)-2的值是()A.1 B.C.D.33142223【解析】选D.a=(2+)-1=2-，b=(2-)-1=2+，所以(a+1)-2+(b+1)-2=(3-)-2+(3+)-2 333333112.3126 3126 32.化简 的值为_.【解析】由题意可知a0,a1)的图象有两个公共点,则实数a 的取值范围为 .【解题导引】(1)将函数化为f(x)=2()x的形式,根 据函数的性质及过定点,并结合选项判断.(2)分0a1两种情况,
8、分别在同一直角坐标系中 作出两函数的图象,数形结合求解.12【规范解答】(1)选A.函数f(x)=21-x=2()x,单调 递减且过点(0,2),选项A中的图象符合要求.12【一题多解】解答本题,你知道几种解法?解答本题,还有以下解法:选A.(采用平移法)因为函数f(x)=21-x=2-(x-1),所以先画出函数y=2-x的图象,再将y=2-x图象的所有点的横坐标向右平移1个单位,只有选项A符合.(2)分底数0a1两种情况,分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象,如图:从图中可以看出,只有当0a1,且02a1,即0a1,b1,b0 C.0a0 D.0a1,b0【解析】选D.由f(x)=ax-b
9、的图象可以观察出,函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,所以0a1.函数f(x)=ax-b的图象是在f(x)=ax的基础上向左平移得到的,所以b0.2.已知实数a,b满足等式2014a=2015b,下列五个关系式:0ba;ab0;0ab;ba1,则有ab0.(2)若t=1,则有a=b=0.(3)若0t1,则有ab0时,2x1.则f(x)=12x=可知A正确.x2,x0,1,x0,4.若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围为 .【解析】画出曲线|y|=2x+1与直线 y=b的图象如图所示.由图象可得|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则 b应满足的条件是b-1,1.
10、答案:-1,1 考向三 指数函数的性质及应用 【典例3】(1)(2016威海模拟)下列各式比较大小正确的是()A.1.72.51.73 B.0.6-10.62 C.0.8-0.11.250.2 D.1.70.30且a1).(1)求f(x)的定义域和值域.(2)讨论f(x)的奇偶性.(3)讨论f(x)的单调性.xxa1a1【解题导引】(1)根据选项,构造指数函数,利用指数函数的性质进行判断.(2)将ax用y表示,利用ax0求值域.根据函数的奇偶性的定义判断.分0a1两种情况,对函数f(x)的单调性进行讨论.【规范解答】(1)选B.A中,因为函数y=1.7x在R上是增函数,2.53,所以1.72.
11、51.73.B中,因为y=0.6x在R上是减函数,-10.62.C中,因为0.8-1=1.25,所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.因为y=1.25x在R上是增函数,0.10.2,所以1.250.11.250.2,即0.8-0.11,00.93.10.93.1.(2)f(x)的定义域是R,令y=,得ax=因为ax0,所以-0,解得-1y1,所以f(x)的值域为y|-1y1.xxa1a1y1.y 1y 1y 1因为f(-x)=-f(x),且定义域关于 原点对称,所以f(x)是奇函数.f(x)=设x1,x2是R上任意两个实数,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=xxxxa11
12、 aa11 axxx(a1)221.a1a1 122112xxxxxx222(aa).a1a1(a1)(a1)因为x11时,0,从而 +10,+10,-0,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)为R上的增函数,当0a 0,从而 +10,+10,-0,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)为R上的减函数.2xa1xa1xa2xa1xa2xa1xa2xa1xa2xa1xa2xa【规律方法】指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题.常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法.(2)指数函数的综合问题.要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(
13、如奇偶性、周期性)相结合,同时要特别注意底数不确定时,对底数的分类讨论.【变式训练】(2016淄博模拟)已知a0且a1,则ab1是(a-1)b0的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选C.当a1时,由ab1知b0,所以(a-1)b0,当0a1知b0,所以ab1(a-1)b0,反之亦成立,故选C.【加固训练】1.(2016郑州模拟)设函数f(x)=若 f(a)1,则实数a的取值范围是()A.(-,-3)B.(1,+)C.(-3,1)D.(-,-3)(1,+)x1()7x0,2x,x0,，【解析】选C.当a0时,不等式f(a)1可化为()a
14、-71,即()a8,即 因为0 -3,此时-3a0;当a0时,不等式f(a)1可化为 1,所以0a0且a1)有解,则m的取值范围是()A.(-,-B.-,0)(0,1 C.-,0)D.1,+)1m131313【解析】选C.令t=ax0,则原方程可化为t2+(1+)t+1=0,由题意得 解得-m0.1m21212121(1)40,m0,1tt0,(1)0,mt t0,t t10,所以133.(2016莱芜模拟)函数y=|2x-1|在区间(k-1,k+1)上不单调,则k的取值范围是()A.(-1,+)B.(-,1)C.(-1,1)D.(0,2)【解析】选C.由于函数y=|2x-1|在(-,0)上递减,在(0,+)上递增,而函数在区间(k-1,k+1)上不单调,所以有0(k-1,k+1),则k-10k+1,解得-1k0时,f(x)=1-2-x,则不等式f(x)0时,f(x)=1-2-x0,又f(x)是R上的奇函数,所以f(x)(x0)的解集关于原点 对称,由1-2-x 得2-x1,则f(x)b0,若f(a)=f(b),则bf(a)的取值范围是 .xx1,(0 x1),12,(x1),2【解析】画出函数图象如图所示,由图象可知要使ab0,f(a)=f(b)同时成立,则 b1.bf(a)=bf(b)=b(b+1)=b2+b=所以 bf(a)2.答案:12211(b),24343,2)4
