1、课时3导数与函数的综合问题题型一用导数解决与不等式有关的问题命题点1解不等式例1设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)0，当x0时，有0的解集是_答案(，2)(0,2)解析x0时0，(x)为减函数，又(2)0，当且仅当0x0，此时x2f(x)0.又f(x)为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数故x2f(x)0的解集为(，2)(0,2)命题点2证明不等式例2证明：当x0,1时，xsin xx.证明记F(x)sin xx，则F(x)cos x.当x(0，)时，F(x)0，F(x)在0，上是增函数；当x(，1)时，F(x)0，所以当x0,1时，F(x)0，即sin xx.记H(x)sin xx
2、，则当x(0,1)时，H(x)cos x10.设两曲线yf(x)，yg(x)有公共点，且在该点处的切线相同(1)用a表示b，并求b的最大值；(2)求证：f(x)g(x)(x0)(1)解设两曲线的公共点为(x0，y0)，f(x)x2a，g(x)，由题意知f(x0)g(x0)，f(x0)g(x0)，即由x02a，得x0a或x03a(舍去)即有ba22a23a2ln aa23a2ln a.令h(t)t23t2ln t(t0)，则h(t)2t(13ln t)于是当t(13ln t)0， h(t)0；当t(13ln t)0， h(t)0)，则F(x)x2a(x0)故F(x)在(0，a)上为减函数，在(a
3、，)上为增函数于是F(x)在(0，)上的最小值是F(a)F(x0)f(x0)g(x0)0.故当x0时，有f(x)g(x)0，即当x0时，f(x)g(x)思维升华(1)利用导数解不等式，一般可构造函数，利用已知条件确定函数单调性解不等式；(2)证明不等式f(x)g(x)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，利用导数求F(x)的值域，得到F(x)0即可；(3)利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题已知函数f(x)ln x.若f(x)x2在(1，)上恒成
4、立，求a的取值范围解f(x)x2，ln x0，axln xx3，令g(x)xln xx3，则h(x)g(x)1ln x3x2，h(x)6x，当x(1，)时，h(x)0，h(x)在(1，)上是减函数，h(x)h(1)20，即g(x)0.g(x)在(1，)上也是减函数，g(x)g(1)1，当a1时，f(x)x2在(1，)上恒成立题型二利用导数解决函数零点问题例4(2014课标全国)已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a；(2)证明：当k0.当x0时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增，g(1)k10时，令h(x)x33x24
5、，则g(x)h(x)(1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0,2)单调递减，在(2，)单调递增，所以g(x)h(x)h(2)0.所以g(x)0在(0，)没有实根综上，g(x)0在R有唯一实根，即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点思维升华研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现已知函数f(x)x2xsin xcos x的图象与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围解f(x)x(2cos x)，令f
6、(x)0，得x0.当x0时，f(x)0，f(x)在(0，)上递增当x0时，f(x)1时，曲线yf(x)与直线yb有且仅有两个不同交点综上可知，b的取值范围是(1，)题型三利用导数解决生活中的优化问题例5某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解(1)因为x5时，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y10(
7、x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)(x3)10(x6)2210(x3)(x6)2,3x0)，为使耗电量最小，则速度应定为_答案40解析由yx239x400，得x1或x40，由于0x40时，y40时，y0.所以当x40时，y有最小值一审条件挖隐含典例(14分)设f(x)xln x，g(x)x3x23.(1)如果存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，求满足上述条件的最大整数M；(2)如果对于任意的s，t，2，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围(1)存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M(正确理解“存在”的含义)g(x1)g(x2)maxM挖掘g(
8、x1)g(x2)max的隐含实质g(x)maxg(x)minM求得M的最大整数值(2)对任意s，t，2都有f(s)g(t)(理解“任意”的含义)f(x)ming(x)max求得g(x)max1xln x1恒成立分离参数aaxx2ln x恒成立求h(x)xx2ln x的最大值ah(x)maxh(1)1a1规范解答解(1)存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，等价于g(x1)g(x2)maxM.2分由g(x)x3x23，得g(x)3x22x3x(x)令g(x)0得x.3分又x0,2，所以g(x)在区间0，上单调递减，在区间，2上单调递增，所以g(x)ming()，g(x)maxg(2
9、)1.故g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)minM，则满足条件的最大整数M4.6分(2)对于任意的s，t，2，都有f(s)g(t)成立，等价于在区间，2上，函数f(x)ming(x)max.8分由(1)可知在区间，2上，g(x)的最大值为g(2)1.在区间，2上，f(x)xln x1恒成立等价于axx2ln x恒成立设h(x)xx2ln x，h(x)12xln xx，可知h(x)在区间，2上是减函数，又h(1)0，所以当1x2时，h(x)0；当x0.11分即函数h(x)xx2ln x在区间(，1)上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，所以h(x)maxh(1)1，13分所以a1
10、，即实数a的取值范围是1，)14分温馨提醒(1)“恒成立”、“存在性”问题一定要正确理解问题实质，深刻挖掘条件内含，进行等价转化(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的值域问题方法与技巧1用导数方法证明不等式f(x)g(x)时，找到函数h(x)f(x)g(x)的零点是解题的突破口2在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时，常常需要求出其中参数的取值范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用3在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可
11、，不必再与端点的函数值比较失误与防范1利用导数解决恒成立问题时，若分离参数后得到“af(x)恒成立”，要根据f(x)的值确定a的范围中端点能否取到2利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义A组专项基础训练(时间：40分钟)1已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是_答案2,0解析|f(x)|ax成立由(1)得x(x2)ax在区间(，0上恒成立当x0时，aR；当x0)，则h(x)a(x0)，可知h(x)为减函数当a0时，h(x)0，故h(x)为增函数，所以h(x)h(0)0恒成立；当a1时，因为(0,1)，所以h(x)a0，故h(x)为减函数，所以h(x)h(0)0恒成
12、立，显然不符合题意；当0a0，满足h(x0)ln(x01)ax00成立如a时，取x04，则h(x0)ln 520成立，可知0a1时，不符合题意故a0.由可知a的取值范围是2,02若0x1x21，则下列关系正确的是_答案解析设f(x)，则f(x).当0x1时，f(x)0，f(x)在(0,1)上为减函数，由0x1x2f(x2)， 3若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式：yx327x123(x0)，则获得最大利润时的年产量为_百万件答案3解析y3x2273(x3)(x3)，当0x0；当x3时，y0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值为_答案9解
13、析由题意得f(x)12x22ax2b.f(x)在x1处有极值，f(1)122a2b0，ab6.a0，b0，ab29，当且仅当ab3时取等号，易知此时f(x)在x1处有极小值，满足题意，ab的最大值为9.5设f(x)和g(x)分别是f(x)和g(x)的导函数，若f(x)g(x)0)与g(x)x22bx在区间(a，b)上单调性相反，则ba的最大值为_答案解析由题意知f(x)x22a，g(x)2x2b，函数f(x)与g(x)在区间(a，b)上单调性相反，则有(x22a)(2x2b)0在x(a，b)上恒成立，又0a0，于x22a0在x(a，b)上恒成立x22a0，对于任意实数x，有f(x)0，则的最小
14、值为_答案2解析f(x)2axb，f(0)b0.由题意知，ac，c0，2，当且仅当ac时“”成立7设函数f(x)是定义在(，0)上的可导函数，其导函数为f(x)，且有2f(x)xf(x)x2，则不等式(x2 014)2f(x2 014)4f(2)0的解集为_答案(，2 016)解析由2f(x)xf(x)x2，x0得2xf(x)x2f(x)x3，所以x2f(x)x30.令F(x)x2f(x)(x0)，则F(x)0(x0，即为F(x2 014)F(2)0，即F(x2 014)F(2)，又因为F(x)在(，0)上是减函数，所以x2 0142，所以x0恒成立若x0，a为任意实数，f(x)exax0恒成
15、立若x0，f(x)exax0恒成立，即当x0时，a恒成立设Q(x).Q(x).当x(0,1)时，Q(x)0，则Q(x)在(0,1)上单调递增，当x(1，)时，Q(x)0恒成立，a的取值范围为(e，)9设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.(1)解由f(x)ex2x2a，xR，知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)22ln 22a故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间
16、是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a22ln 22a.(2)证明设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln 21时，g(x)取最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)0.即exx22ax10，故当aln 21且x0时，exx22ax1.10某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体
17、积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)因为r0，又由h0可得r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(
18、r)0，则a的取值范围是_答案(，2)解析a0时，不符合题意，a0时，f(x)3ax26x，令f(x)0，得x0或x，若a0，则由图象知f(x)有负数零点，不符合题意则a0知，此时必有0f1，即0a314，又a0，所以a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有的实数a，使e1f(x)e2对x1，e恒成立解(1)因为f(x)a2ln xx2ax，其中x0，所以f(x)2xa.由于a0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，)(2)由题意得f(1)a1e1，即ae.由(1)知f(x)在1，e内单调递增，要使e1f(x)e2对x1，e恒成立只要解得ae.15设函数f(x)aln xx2bx (a1)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为0.(1)求b；(2)若存在x01，使得f(x0)0，f(x)在(1，)上单调递增，所以，存在x01，使得f(x0)的充要条件为f(1)，即1，解得1a1.若a1，故当x时，f(x)0，f(x)在上单调递减，在上单调递增所以，存在x01，使得f(x0)的充要条件为f，所以不合题意若a1，则f(1)1.综上，a的取值范围是(1，1)(1，)