1、第四课时利用导数研究含参数的不等式专题 选题明细表 知识点、方法题号分离参数法解决不等式恒成立问题1,2,3,4分类讨论法解决不等式恒成立问题5,6,7,8不等式问题综合应用9,10 (建议用时:20分钟)1.若不等式2xln x-x2+ax-3对x(0,+)恒成立,则实数a的取值范围是(B)(A)(-,0)(B)(-,4(C)(0,+)(D)4,+)解析:由题意知a2ln x+x+对x(0,+)恒成立,令g(x)=2ln x+x+,则g(x)=+1-=,由g(x)=0得x=1或x=-3(舍去),且x(0,1)时,g(x)0.因此g(x)min=g(1)=4.所以a4,故选B.2.若exk+x
2、在R上有解,则实数k的取值范围为(B)(A)(-,1(B)1,+)(C)(-,-1(D)-1,+)解析:由exk+x得kex-x在R上有解.令f(x)=ex-x,所以f(x)=ex-1.当f(x)0时,解得x0时,解得x0.所以f(x)在(-,0)上是减函数,在(0,+)上是增函数.所以f(x)min=f(0)=1.故k1.所以实数k的取值范围为1,+),故选B.3.若函数f(x)=x3-kex在(0,+)上单调递减,则k的取值范围为(C)(A)0,+)(B),+)(C),+(D),+)解析:因为函数f(x)=x3-kex在(0,+)上单调递减,所以f(x)=3x2-kex0在(0,+)上恒成
3、立,所以k在(0,+)上恒成立.令g(x)=,x0,则g(x)=,当0x0,此时g(x)单调递增,x2时,g(x)g(x)在(0,+)上恒成立,则实数m的取值范围是(C)(A)(-,-2)(B)(-,e)(C)(-,)(D)(,+)解析:由题意可知x(0,+)时,mx恒成立,即m0),h(x)=,令h(x)0,解得x2,令h(x)0,解得0x2.故h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,故h(x)min=h(2)=.故m,故选C.5.设函数f(x)=xex-a(x+ln x),若f(x)0恒成立,则实数a的取值范围是(A)(A)0,e (B)0,1(C)(-,e(D)e,+)解
4、析:由函数的定义域为(0,+)以及f(x)=(x+1)ex-a(1+)=(x+1)(ex-),可知a0在区间(0,+)上恒成立,因此函数在区间(0,+)上单调递增,x0+时,f(x)-,因此不等式f(x)0不一定成立;a=0时,f(x)=xex0恒成立,因此a=0满足条件;a0时,令f(x)=(x+1)(ex-)=0,解得=,此时ln x0+x0=ln a(x00),则x0是函数f(x)的极小值点,此时x=x0,函数f(x)取得最小值,f(x0)= x0-a(x0+ln x0)=a-aln a0,化为:ln a1,解得 0ae.综上可得a0,e.故选A. (建议用时:25分钟)6.已知函数g(
5、x)=ln(1+x)-bx,关于x的不等式g(x)0在(0,+)上恒成立,则实数b的取值范围是 .解析:由已知得函数g(x)=ln(1+x)-bx的导函数为 g(x)=-b,若b1,则x0,+)时,g(x)=-b0,所以g(x)=ln(1+x)-bx在0,+)上为减函数,所以g(x)=ln(1+x)-bx0,所以g(x)=ln(1+x)-bx在0,+)上为增函数,所以g(x)=ln(1+x)-bxg(0)=0,不能使g(x)0在(0,+)上恒成立;若0bg(0)=0,所以不能使g(x)0),当m0时,f(x)0,则函数f(x)在(0,+)上单调递增;当m0时,由f(x)0得1-mx0,解得0x
6、,由f(x)0得1-mx,所以f(x)在(0,)上单调递增;在(,+)上单调递减.(2)由题函数f(x)0在x(0,+)上恒成立等价于在x(0,+)上f(x)max0,由(1)知当m0时显然不成立,当m0时,f(x)max=f()=ln -1+m=m-ln m-1,只需m-ln m-10即可.令g(x)=x-ln x-1,则g(x)=1-(x0),由g(x)0解得x1,由g(x)0解得0x1,所以g(x)在(1,+)上单调递增;在(0,1)上单调递减,所以g(x)min=g(1)=0,所以若函数f(x)0在x(0,+)上恒成立,则m=1.8.设函数f(x)=ex-ax,其中e为自然对数的底数.
7、(1)当a=1时,求f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率;(2)若存在x0,+),使f(x)2-aln a,求正数a的取值范围.解:(1)设所求切线的斜率为k,当a=1时,因为f(x)=ex-a=ex-1,所以k=f(1)=e-1.(2)依题意得f(x)min2-aln a,因为f(x)=ex-a且x0,+),所以ex1.当0a1时,f(x)0,即f(x)在0,+)上单调递增,所以f(x)min=f(0)=1,而2-aln a2,所以01时,f(x)在0,ln a上单调递减,ln a,+)上单调递增,所以f(x)min=f(ln a)=a-aln a2-aln a,所以1a2,综上a的取值
8、范围是(0,2.9.已知函数f(x)=ln x,g(x)=x-1.若不等式g()af(x) 在1,e上恒成立,求a的取值范围.解:由题意令h(x)=af(x)-g()=aln x-+1,则h(x)=-=.当a0时,h(x)0时,令h(x)=0,得x=4a2,所以当x(0,4a2)时,h(x)0,当x(4a2,+)时,h(x)0.所以函数h(x)在(0,4a2)上单调递增,在(4a2,+)上单调递减.()当4a2e,即a时,h(x)在1,e上单调递增,所以h(x)h(e)=a-+10,所以a-1,此时无解.()当14a2e,即a时,函数h(x)在(1,4a2)上单调递增,在(4a2,e)上单调递
9、减.所以h(x)h(4a2)=aln(4a2)-2a+1=2aln(2a)-2a+10.设m(x)=2xln(2x)-2x+1(x0,所以m(x)在(,)上单调递增,m(x)m()=0,不满足题意.()当04a21,即0a时,h(x)在1,e上单调递减,所以h(x)h(1)=0,所以00,aR).(1)求f(x)的单调区间;(2)设g(x)=-,若对任意x1(0,+),均存在x20,1,使得f(x1)0).当a0时,由于x0,故ax+10,f(x)0.所以,f(x)的单调递增区间为(0,+).当a0,在区间(-,+)上f(x)0,所以,函数f(x)的单调递增区间为(0,-),单调递减区间为(-,+).(2)若对任意x1(0,+),均存在x20,1,使得f(x1)g(x2),由已知,问题转化为f(x)maxg(x)max,由(1)a0时,f(x)无最大值,不合题意,a0时,f(x)max=f(-)=-1-ln(-a),g(x)=-,x0,1,则g(x)-2=-2,当且仅当x=0时“=”成立,故-1-ln(-a)-2,解得a-e.
