1、第五章 数 列 第一节 数列的概念与简单表示法 【知识梳理】1.数列的有关概念 概 念 含 义 数列 按照_排列的一列数 数列的项 数列中的_ 数列的通项 数列an的第n项an 一定顺序 每一个数 概 念 含 义 通项公式 数列an的第n项an与n之间的关 系能用公式_表示,这个公 式叫做数列的通项公式 前n项和 数列an中,Sn=_叫 做数列的前n项和 an=f(n)a1+a2+an 2.数列的表示方法 列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点_画在平面直角坐标 系中(n,an)公式法通项公式把数列的通项使用_表 示的方法递推公式使用初始值a1和an+1=f(an)或a1,a2和an+1
2、=f(an,an-1)等表示数列的方法公式 3.an与Sn的关系 若数列an的前n项和为Sn,则an=S1 Sn-Sn-1 4.数列的分类 有限 无限 【特别提醒】1.数列的项与项数:数列的项与项数是两个不同的概念,数列的项是指数列中某一确定的数,而项数是指数列的项对应的位置序号.2.常见数列的通项公式:自然数列:1,2,3,4,an=n;奇数列:1,3,5,7,an=2n-1;偶数列:2,4,6,8,an=2n;平方数列:1,4,9,16,an=n2;2的乘方数列:2,4,8,16,an=2n;正整数的倒数列:重复数串列:9,99,999,9999,an=10n-1;符号数列:-1,1,-1
3、,1,或1,-1,1,-1,an=(-1)n或an=(-1)n+1.n1 1 111,a;2 3 4n，【小题快练】链接教材 练一练 1.(必修5P31例3改编)在数列an中,a1=1,an=1+(n2),则a4=()【解析】选B.由题意知,a1=1,a2=2,3578A.B.C.D.2345n 11a 3435aa.23，2.(必修5P31练习T4(1)改编)数列 的一个 通项公式an是_.【解析】由已知得,数列可写成 故通项为 答案:2 3 4 51 3 5 7 9，1 2 31 3 5，n.2n1n2n1感悟考题 试一试 3.(2016烟台模拟)把1,3,6,10,15,21,这些数叫做
4、三角形数,这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图).则第7个三角形数是()A.27 B.28 C.29 D.30【解析】选B.由图可知,第7个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28.4.(2016日照模拟)数列an满足anan1(nN*),a22,Sn是数列an的前n项和,则S21为()【解析】选B.因为anan1 a22，所以an 所以S21 127913A.5 B.C.D.22212，3n,22,n.，为奇数为偶数3711()10 2.22 5.(2016九江模拟)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,a2=2,且对于任意n1,nN*,满足Sn+1+Sn-1=2(Sn+1)
5、,则S10的值为()A.91 B.90 C.55 D.54 【解析】选A.当n=2时,S3+S1=2(S2+1),即3+a3+1=24,解得a3=4;当n1,nN*时,Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),Sn+2+Sn=2(Sn+1+1),两式相减得an+2+an=2an+1,故数列an从第 二项起是首项为2,公差为2的等差数列,所以S10=1+2 9+2=91.9 82考向一 已知数列的前几项求通项【典例1】(1)已知数列 根据 前三项给出的规律,则实数对(a,b)可能是()3579ab246ab10，19 3193A 19,3 B(193)C.()D.()2222，(2)根据数列的前几项,
6、写出下列各数列的一个通项公式.3,5,9,17,33,815 241 5791111,00003573791210 17，【解题导引】(1)根据前几项规律写出其通项公式后再列方程组求解.(2)观察项与项数之间的关系,项与前后项之间的关系,分子与分母的关系以及符号规律.【规范解答】(1)选C.由前三项可知,该数列的通项公 式可能为an=所以 即 2n12n，ab8ab11，19a23b.2 ，(2)观察各项的特点:每一项都比2的n次幂多1,所以an=2n+1.数列的符号规律为(-1)n,由第二、三、四项特点,可 将第一项看成 这样,先不考虑符号,则分母为3,5,7,9,可归纳为2n+1,分子为3
7、,8,15,24,将其每一项 加1后变成4,9,16,25,可归纳为(n+1)2,综上,数列的 通项公式an=33，22nnn11n2n11.2n12n1 把数列改写成 分母依次为1,2,3,而分子1,0,1,0,周期性出现,因此数列的通项 可表示为 1 0 1 0 1 0 1 01 2 3 4 5 6 7 8，n 1n 1n1 11112a.n2n 将数列统一为 对于分子3,5,7,9,是 序号的2倍加1,可得分子的通项公式为bn=2n+1,对于分 母2,5,10,17,联想到数列1,4,9,16,即数列n2,可得分母的通项公式为cn=n2+1,所以可得它的一个通项公式为an=3 5 792
8、 5 10 17，22n1.n1【规律方法】由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略(1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等.(2)具体策略:分式中分子、分母的特征;相邻项的变化特征;拆项后的特征;各项的符号特征和绝对值特征;化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击 破,或寻找分子、分母之间的关系;对于符号交替出现的情况,可用(-1)k或(-1)k+1,k N*处理.【变式训练】1.如图所示,这是一个正六边形的序列,则第n个图形的边数为()A.5n-1 B.6n C.5n+1 D.4n+2【解析】选C.第一个图形是
9、六边形,即a1=6,以后每个 图形是在前一个图形的基础上增加5条边,所以a2=6+5=11,a3=11+5=16,观察可得选项C满足此条件.2.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3,6,10,记为数列an,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn,可以推测:(1)b2012是数列an中的第_项.(2)b2k-1=_.(用k表示)【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,的一个 通项公式为an=写出其若干项有:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,发
10、现其中能被5 整除的为10,15,45,55,105,120,故b1=a4,b2=a5,b3=a9,b4=a10,b5=a14,b6=a15.n n12，从而由上述规律可猜想:b2k=a5k=(k为正整数),b2k-1=a5k-1=故b2012=b21006=a51006=a5030,即b2012是数列an中的第 5030项.答案:(1)5030(2)5k 5k125k 1 5k 1 15k 5k 122，5k 5k 12【加固训练】1.数列 则 是该数列的()A.第6项 B.第7项 C.第10项 D.第11项【解析】选B.原数列可写成 因为 所以20=2+(n-1)3,所以n=7.25 2
11、2，2 5258，2 520，2.根据下图5个图形及相应点的个数的变化规律,猜测第n个图中有_个点.【解析】观察图中5个图形点的个数分别为1,12+1,2 3+1,34+1,45+1,故第n个图中点的个数为(n-1)n+1=n2-n+1.答案:n2-n+1 考向二 已知递推关系求通项【典例2】(1)(2016枣庄模拟)已知 数列an满足:a1=2,(n+1)an=(n-1)an-1(n2,nN*),则 =_,数列an的通项公 式为_.(2)已知数列an满足a1=1,an+1=3an+2,则an=_.31aa【解题导引】(1)把已知转化为 利用累乘法求解.(2)化为an+1+m=p(an+m)构
12、造an+m为等比数列.nn 1aa，【规范解答】(1)a1=2,当n=2时,当n=3时,所以 利用累乘法得:所以an=答案:2112aa33，3211aa23，332411123aaaa1123a2,a6a3 a4 a5；nn 1an1an1，324n123n 1aaaa1 2 3n12aaaa3 4 5n1n n1，4.n n1n14 a6n n1(2)因为an+1=3an+2,所以an+1+1=3(an+1),所以 =3,所以数列an+1为等比数列,公比q=3,又a1+1=2,所以an+1=23n-1,所以an=23n-1-1.答案:23n-1-1 n 1na1a1【母题变式】1.若本例题
13、(2)条件an+1=3an+2变为an+1=3an+3n+1,求an.【解析】因为an+1=3an+3n+1,所以 所以数列 是以 为首项,1为公差的等差数列.所以 所以an=n3n-23n-1.n 1nn 1naa133 ，nna313nna12n 1n333，2.若本例题(2)条件an+1=3an+2变为an+1=9an+23n+1,求an.【解析】因为an+1=9an+23n+1,所以 所以 所以数列 是以 为首项,3为公比的等比数列.所以 所以an=432n-2-3n.n 1nn 1naa3233 ，n 1nn 1naa13(1).33 nna13 43n 1n 2nna4134 33
14、3，【规律方法】典型的递推数列及处理方法 递推式方法转化过程an+1=an+f(n)累加法(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=an-a1 累乘法 n 1naf na 324n 1nn123n 2n 11aaaaaaaaaaaa递推式方法转化过程an+1=pan+q(p0,1,q0)转化法 化为an+1+m=p(an+m)构 造an+m为等比数列an+1=pan+qpn+1(p0,1,q0)转化法化为 构造 为等差数列n 1nn 1naaqpp nnap【变式训练】(2016临沂模拟)已知数列an满足 a1=0,an+1=(nN*),则a20等于()nna33a13A 0 B3
15、C.3 D2【解析】选B.本题考查了数列的周期性.由a1=0,an+1=(nN*),得a2=-,a3=,a4=0,数列的周 期为3,所以a20=a2=-.nna33a1333【加固训练】1.在数列1,1,2,3,5,8,13,x,34,55,中,x应取()A.19 B.20 C.21 D.22【解析】选C.a1=1,a2=1,an+2=an+1+an,所以x=8+13=21.2.在数列an中,a1=2,an+1=an+,则an等于 ()A.2+ln n B.2+(n-1)ln n C.2+nln n D.1+n+ln n 1ln(1)n【解析】选A.由已知,an+1-an=a1=2,所以an-
16、an-1=(n2),an-1-an-2=a2-a1=将以上n-1个式子叠加,得 n1lnn，nln n1n1ln n2，2ln 1，=lnn(n2).所以an=2+lnn(n2),经检验n=1时也适合.n1nn12aalnlnlnn1n21nn12ln()n1 n213.设数列an满足 求an.【解析】因为an+1=所以 所以 n1n 1n5a5aa64a1，nn5a4a1，n 1n141a55a，n 1n1111(1).a5 a 又 所以 是以 为首项,为公比的 等比数列,所以 所以an=1111a5，n11a 1515n 1nn11111a5 55，nn5.1 5考向三 an与Sn关系式的
17、应用【考情快递】命题方向命题视角已知Sn求an问题主要考查已知数列的前n项和,求通项Sn与an的关系问题以Sn与an的关系为载体,转化为等差、等比数列问题【考题例析】命题方向1:已知Sn求an问题【典例3】(2016济南模拟)已知数列an的前n项和Sn=3n2-2n+1,则其通项公式为_.【解题导引】分n=1与n2两种情况求解.【规范解答】当n=1时,a1=S1=312-21+1=2,当n2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-3(n-1)2-2(n-1)+1=6n-5,显然当n=1时,不满足上式.故数列的通项公式为an=答案:an=2n16n5n2.，2n16n5n2，【易错警示】解答
18、典例3会出现以下错误:直接由an=Sn-Sn-1求出通项公式,忽略了n=1时的情况而致误.【母题变式】1.若本例中条件“前n项和Sn=3n2-2n+1”改为“前n项积为Tn=3n2-2n+1”,求an.【解析】当n=1时,a1=T1=312-21+1=2,当n2时,an=显然当n=1时,满足上式.故数列的通项公式为an=22n22n 1T3n2n13n2n1T3n8n63 n12 n11，223n2n1.3n8n62.若本例中条件“前n项和Sn=3n2-2n+1”改为“a1+2a2+3a3+4a4+nan=3n2-2n+1”,求an.【解析】设a1+2a2+3a3+4a4+nan=Tn,当n=
19、1时,a1=T1=312-21+1=2,当n2时,nan=Tn-Tn-1=3n2-2n+1-3(n-1)2-2(n-1)+1=6n-5,因此 an=6n5,n显然当n=1时,不满足上式.故数列的通项公式为an=2,n1,6n5,n2.n命题方向2:Sn与an的关系问题【典例4】(2015全国卷)设Sn是数列an的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=_.【解题导引】将an+1转化为Sn与Sn+1,再求解.【规范解答】由已知得an+1=Sn+1-Sn=Sn+1Sn,两边同时 除以-Sn+1Sn,得 故数列 是以-1为首 项,-1为公差的等差数列,则 =-1-(n-1)=-n,所
20、以Sn=答案:n 1n111SS ，n1Sn1S1.n1n【技法感悟】1.已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1=S1求出a1.(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n2)便可求出当n2时an的表达式.(3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n2时an的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n=1与n2两段来写.2.Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化,(1)利用an=Sn-Sn-1(n2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式.(2)利用Sn-Sn-1=an(n2)转化为只含an,an-1
21、的关系式,再求解.【题组通关】1.(2016菏泽模拟)设数列an的前n项和Sn=n2,则a8的值为()A.15 B.16 C.49 D.64【解析】选A.a8=S8-S7=82-72=15.2.(2016东营模拟)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=()n 1n 1n 1n 1321A 2 B.()C.()D.232【解析】选B.因为Sn=2an+1,所以当n2时,Sn-1=2an,所以an=Sn-Sn-1=2an+1-2an(n2),即 (n2),又a2=所以an=n 1na3a2 12，n 213()(n2)22当n=1时,a1=1 所以an=所以Sn=2an
22、+1=1131()223，n 21n113()n2,22，n 1n 11332()().2223.(2016济南模拟)若数列an的前n项和Sn=则an的通项公式是an=_.n21a33，【解析】当n=1时,由已知Sn=得a1=即 a1=1;当n2时,由已知得到Sn-1=所以an=Sn-Sn-1=所以an=-2an-1,所 以数列an为以1为首项,以-2为公比的等比数列,所以 an=(-2)n-1.答案:(-2)n-1 n21a33，121a33，n 121a33 ，nn 1nn 1212122(a)(a)aa333333，4.(2016德州模拟)已知各项均为正数的数列an的前n项和Sn满足Sn1,且6Sn=(an+1)(an+2),nN*.求数列an的通项公式.【解析】由a1=S1=(a1+1)(a1+2),解得a1=1或a1=2.由已知a1=S11,因此a1=2.又由an+1=Sn+1-Sn=(an+1+1)(an+1+2)-(an+1)(an+2),得an+1-an-3=0或an+1=-an.因为an0,故an+1=-an不成立,舍去.161616因此an+1-an-3=0,即an+1-an=3,从而an是公差为3,首项为2的等差数列,故an的通项公式为an=3n-1.