1、20142015学年度第二学期期中调研测试高二数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1函数的定义域为 .2已知全集，集合，集合，则.3. 函数不论为何值时，其图像恒过的定点为 . 4已知幂函数的图像过点，则. 5已知函数则的值为 .6已知，若，则 .7关于的方程的两根为,且满足，则的取值范围是 .8已知是有序数对集合上的一个映射，正整数数对在映射下对应的为实数，记作. 对于任意的正整数，映射由下表给出：则使不等式的解集为 .9已知函数存在唯一零点,则大于的最小整数为3 .10函数的值域为.11生活中常用的十二进位制，如一年有12个月，时针转
2、一周为12个小时，等等，就是逢12进1的计算制，现采用数字09和字母A、B共12个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表；十二进制0123456789AB十进制01234567891011例如用十二进位制表示A+B19，照此算法在十二进位制中运算AB 92 .12已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是.，13已知大于1的任意一个自然数的三次幂都可写成连续奇数的和如：若是自然数，把按上述表示，等式右侧的奇数中含有2015，则 45 .14已知定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，且周期为.当时，（、）,则 的值为.二、解答题: 本大题共6小题， 1517每小题14分，1820每小题1
3、6分，共计90分请在答题卡指定的区域内作答， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本题满分14分）已知命题，（1）若，求的值；（2）若，求的取值范围15【解答】：化简得 A=， B=. 6分（1）因为所以有. 10分（2）因为，即解得. 14分16（本题满分14分）已知为复数，为实数，且为纯虚数，其中i是虚数单位（1）求复数；（2）若复数满足，求的最小值16【解答】：（1），则，因为为实数，所以有 2分，因为为纯虚数，所以， 4分由解得. 6分故. 7分（2）因为，则， 8分设，因为，即 10分又=，故的最小值即为原点到圆上的点距离的最小值，因为原点到点的距离为，又因为圆的半径r=1
4、，原点在圆外，所以的最小值即为. 14分17（本题满分14分）某商场欲经销某种商品，考虑到不同顾客的喜好，决定同时销售、两个品牌，根据生产厂家营销策略，结合本地区以往经销该商品的大数据统计分析，品牌的销售利润与投入资金成正比，其关系如图1所示，品牌的销售利润与投入资金的算术平方根成正比，其关系如图2所示（利润与资金的单位：万元）（1）分别将、两个品牌的销售利润、表示为投入资金的函数关系式；（2）该商场计划投入5万元经销该种商品，并全部投入、两个品牌，问：怎样分配这5万元资金，才能使经销该种商品获得最大利润，其最大利润为多少万元？(第17题)OOxx20.541.5(图1)(图2)17【解答】：
5、 (1) 因为品牌的销售利润与投入资金成正比，设 ，又过点，所以，所以 3分 品牌的销售利润与投入资金的算术平方根成正比，设 ，又过点，所以，所以设 ， 6分（2）设总利润为,投入品牌为万元，则投入品牌为万元，则 8分令，则 10分 当时，即时，投入品牌为：，13分答：投入品牌万元、品牌万元时，经销该种商品获得最大利润，最大利润为万元 14分18（本题满分16分）（1）找出一个等比数列，使得1，4为其中的三项，并指出分别是的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，4不可能为同一等差数列中的三项18【解答】：（1）取首项为1，公比为，则， 2分则 4分（2）证明：假设是有理数，则存在互质整
6、数，使得，5分则，所以为偶数， 7分设，为整数，则，所以也为偶数，则有公约数2，这与互质相矛盾， 9分所以假设不成立，所以是有理数 10分（3）证明：假设，4是同一等差数列中的三项，且分别为第项且互不相等， 11分设公差为，显然，则，消去得， 13分由，都为整数，所以为有理数，由（2）得是无理数，所以等式不可能成立， 15分所以假设不成立，即1，4不可能为同一等差数列中的三项 16分19（本题满分16分）已知定义在上的函数是偶函数（1）求实数的值；（2）判断在上的单调性，并用定义法证明；（3）若恒成立，求实数的取值范围19【解答】：（1）因为是定义在上的偶函数，所以，即，即，得， 2分当时，对
7、于，综上 4分（2）在上是单调增函数， 5分证明如下：设为内的任意两个值，且，则因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即，所以在上是单调增函数 10分（3）在上是单调增函数，且是偶函数，又，所以， 12分令，则，所以，恒成立， 14分因为，关于在上单调递增，所以，所以恒成立，所以. 16分20（本题满分16分）已知函数（1）当时，求的零点；（2）若方程有三个不同的实数解，求的值；（3）求在上的最小值.20【解答】：（1）当时， 2分令得，当时，（舍去）当时，（舍去）所以当时，的零点为1， 4分（2）方程，即，变形得， 6分从而欲使原方程有三个不同的解，即要求方程(1)与(2)满足下列情形之
8、一：（I）一个有等根，另一个有两不等根，且三根不等（II）方程（1）、（2）均有两不等根且由一根相同；对情形（I）：若方程(1)有等根，则 解得 代入方程（2）检验符合；若方程(2)有等根，则解得代入方程（1）检验符合；8分对情形（II）：设是公共根，则，解得代入（1）得，代入检验得三个解为-2、0、1符合代入检验得三个解为2、0、-1符合故有三个不同的解的值为或 10分（3）因为=, 当时，在上递减，在上递增，故在上最小值为11分 当时，在上递减，在上递增，故在上最小值为12分 当时，（i）当时，结合图形可知当时递减，在上递增故此时在-2，2上的最小值为 13分（ii）当时，结合图形可知当时递减，当时递增，故此时在-2，2上的最小值为 14分（iii）当时，结合图形可知当时递减，当时递增，在上最小值为 15分综上所述： 16分解法二：因为=, 当时，在上递减，在上递增，故在上最小值为 12分 当时，在上递减，在上递增，故在上最小值为 14分 当时，在上递减，当时递增，故此时在-2，2上的最小值为综上所述： 16分