1、2020-2021学年福建省三明市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题现用分层随机抽样的方法调查某校学生的视力情况，该校三个年级的学生人数如表：年级高一高二高三人数550500450已知在抽取的样本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年级的人数为（）A18B20C22D242用斜二测画法画水平放置的ABC的直观图ABC如图所示，则在ABC的三边及中线AD中，最长的线段是（）AABBADCBCDAC3下列结论正确的是（）A事件A的概率P（A）必有0P（A）1B事件A的概率P（A）0.999，则事件A是必然事件C用某
2、种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其有明显的疗效的可能性为76%D某奖券中奖率为50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖4若某同学连续3次考试的名次（3次考试均没有出现并列名次的情况）不低于第3名，则称该同学为班级的尖子生根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是（）A甲同学：平均数为2，方差小于1B乙同学：平均数为2，众数为1C丙同学：中位数为2，众数为2D丁同学：众数为2，方差大于15设D，E分别为ABC两边BC，CA的中点，则（）ABCD6袋子中有大小、形状、质地完全相同的4个小球，分别写
3、有“风”、“展”、“红”、“旗”四个字，若有放回地从袋子中任意摸出一个小球，直到写有“红”、“旗”的两个球都摸到就停止摸球利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，用1，2，3，4分别代表“风”、“展”、“红”、“旗”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：411 231 324 412 112 443 213 144 331 123114 142 111 344 312 334 223 122 113 133由此可以估计，恰好在第三次就停止摸球的概率为（）ABCD7如图，在三棱锥PABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点若点F在线段AC上，且
4、满足AD平面PEF，则的值为（）A1B2CD8ABC中，若ABAC5，BC6，点E满足，直线CE与直线AB相交于点D，则cosADE（）ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件：A“恰有一个偶数”，B“恰有一个奇数”，C“至少有一个是奇数”，D“两个数都是偶数”，E“至多有一个奇数”下列结论正确的有（）AABBBCCDEDCD，CD10下列命题正确的是（）A若，则或B已知，则向量在向量上的投影向量的坐标为（0，4）C若，则向量，的
5、夹角为钝角D设，是同一平面内两个不共线的向量，则，可作为该平面的一个基底11如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，A1D1上的动点给出下面四个命题，其中正确的是（）AEFACB直线AF与直线CE所成角的最大值是C若直线AF与直线CE相交，则交点在直线DD1上D若直线AF与直线CE相交，则二面角EACD的平面角的最小正切值为12在ABC中，ABC90，BC1，P为ABC内一点，BPC90，下列结论正确的是（）A若，则B若APB150，则CBPC的面积的最大值为DABP的面积的取值范围是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知a为实数，若复数z（a24
6、）+（a+2）i为纯虚数，则a 142021年1月1日起，三明市全面铺开市区生活垃圾分类工作，生活垃圾需按照“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”、“其他垃圾”的标准进行分类投放若某居民将“厨余垃圾“和“可回收物“两袋垃圾随机地投放到四个分类垃圾桶中的两个，则两袋垃圾均投放准确的概率为 15“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美如图，是一个棱长为1的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上则该正方体的棱长为 ；半正多面体的表面积为 16已知正三棱锥ABCD的底面是边长为3的正三角形，其外接球O的表面积为16，且点A到底
7、面BCD的距离小于外接球O的半径，E为AD的中点，则异面直线AB与CE所成角的余弦值为 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在复平面内，O为坐标原点，复数，所对应的向量分别为，（1）求所对应的点C的坐标；（2）求的值18三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1是边长为的菱形，A1C1B1C2，A1B1平面BCC1B1，E，F分别是AC，BB1的中点（1）求证：EF平面A1B1C；（2）求直线A1C1与平面A1B1C所成的角19在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ab（sinC+cosC）（1）求B；（2）若a1，求ABC的面积20为
8、庆祝中国共产党成立100周年，某校举行了党史知识竞赛，在必答题环节，甲、乙两位选手分别从3道选择题、2道填空题中随机抽取2道题作答，若甲每道题答对的概率为，乙每道题答对的概率为，且甲乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响求：（1）甲至少抽到1道填空题的概率；（2）甲答对的题数比乙多的概率21已知A，B两家公司的员工月均工资情况如图：（1）以每组数据的区间中点值代表该组数据的平均水平，根据图1估计A公司员工月均工资的平均数、中位数，你认为用哪个数据更能反映该公司普通员工的工资水平？请简要说明理由（2）小明拟到A，B两家公司中的一家应聘，以公司普通员工的工资水平作为决策依据，他应该选哪个公司？2
9、2如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，BAD60，PAD是正三角形，E为线段AD的中点，（1）求证：平面PBC平面PBE；（2）是否存在点F，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由（3）若平面PAD平面ABCD，在平面PBE内确定一点H，使CH+FH的值最小，并求此时的值参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题现用分层随机抽样的方法调查某校学生的视力情况，该校三个年级的学生人数如表：年级高一高二高三人数550500450已知在抽取的样本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年级的人数为（）A18B20C22D24解
10、：设该样本中高三年级的人数为n，由分层抽样的性质列方程得：，解得n18故选：A2用斜二测画法画水平放置的ABC的直观图ABC如图所示，则在ABC的三边及中线AD中，最长的线段是（）AABBADCBCDAC解：由斜二测画法法则知，直观图ABC对应的原图形ABC是直角三角形，其中AC是斜边，AD是直角边上的中线，所以最长的线段是AC故选：D3下列结论正确的是（）A事件A的概率P（A）必有0P（A）1B事件A的概率P（A）0.999，则事件A是必然事件C用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其有明显的疗效的可能性为76%D某奖券中奖率为
11、50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖解：由概率的基本性质，事件A的概率P（A）的值满足0P（A）1，故A错误；必然事件概率为1，故B错误；某奖券中奖率为50%，则某人购买此券10张，不一定有5张中奖，故D错误故选：C4若某同学连续3次考试的名次（3次考试均没有出现并列名次的情况）不低于第3名，则称该同学为班级的尖子生根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是（）A甲同学：平均数为2，方差小于1B乙同学：平均数为2，众数为1C丙同学：中位数为2，众数为2D丁同学：众数为2，方差大于1解：记甲同学三次考试名次为a，b，c，则2，1，若甲同学三次考试名次中低于
12、第3名的，不妨设a4，则（a2）24，与1相矛盾，故A正确，若三次考试名次为1，1，4，满足平均数为2，众数为1，故B错，若三次考试名次为2，2，4，满足中位数为2，众数为2，故C错，若三次考试名次为2，2，4，满足众数为2，方差大于1，故D错，故选：A5设D，E分别为ABC两边BC，CA的中点，则（）ABCD解：因为D，E分别为ABC两边BC，CA的中点，所以（+）+（）（+）+（）故选：D6袋子中有大小、形状、质地完全相同的4个小球，分别写有“风”、“展”、“红”、“旗”四个字，若有放回地从袋子中任意摸出一个小球，直到写有“红”、“旗”的两个球都摸到就停止摸球利用电脑随机产生1到4之间取整
13、数值的随机数，用1，2，3，4分别代表“风”、“展”、“红”、“旗”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：411 231 324 412 112 443 213 144 331 123114 142 111 344 312 334 223 122 113 133由此可以估计，恰好在第三次就停止摸球的概率为（）ABCD解：经随机模拟产生了以下20组随机数：411 231 324 412 112 443 213 144 331 123114 142 111 344 312 334 223 122 113 133共有20组随机数，恰好在第三次就停止摸球
14、的随机数有：324，144，133，共有3个，所以恰好在第三次就停止摸球的概率为故选：B7如图，在三棱锥PABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点若点F在线段AC上，且满足AD平面PEF，则的值为（）A1B2CD解：连接CD，交PE于G，连接FG，如图，AD平面PEF，平面ADC平面PEFFG，ADFG，点D，E分别为棱PB，BC的中点G是PBC的重心，故选：C8ABC中，若ABAC5，BC6，点E满足，直线CE与直线AB相交于点D，则cosADE（）ABCD解：根据题意，直线CE与直线AB相交于点D，设，则（+）+，又由A、D、B三点共线，则+1，解可得3，故+，（），又由AB5，则AD3
15、，DC2，则在ABC中，cosABC，则CD2BD2+BC22BDBCcosABC，则CD，故在ADC中，cosADEcosADC；故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件：A“恰有一个偶数”，B“恰有一个奇数”，C“至少有一个是奇数”，D“两个数都是偶数”，E“至多有一个奇数”下列结论正确的有（）AABBBCCDEDCD，CD解：从1至9这9个自然数中任取两个，当恰有一个偶数时，另外一个必为奇数，当恰有一个奇数时，另外一个必为偶
16、数，故AB，故A选项正确，“至少有一个是奇数的事件”包含”恰有一个奇数的事件”，故BC，故B选项正确，“至多有一个奇数的事件”包含“一个奇数，一个偶数的事件”和“两个都为偶数的事件”，故D，E不互斥，故C选项错误，C“至少有一个是奇数”，D“两个数都是偶数”，C和D即是互斥事件，又是对立事件，故D选项正确故选：ABD10下列命题正确的是（）A若，则或B已知，则向量在向量上的投影向量的坐标为（0，4）C若，则向量，的夹角为钝角D设，是同一平面内两个不共线的向量，则，可作为该平面的一个基底解：对于A：若，若不为，则，故A错误；对于B：已知，所以cos，故向量在向量上的投影向量为，所以向量的坐标为（
17、0，4），故B正确；对于C：若，则向量，的夹角为钝角或相反向量，故C错误；对于D：设，是同一平面内两个不共线的向量，则，所以（2，1），由于不共线，所以可作为该平面的一个基底，故D正确；故选：BD11如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，A1D1上的动点给出下面四个命题，其中正确的是（）AEFACB直线AF与直线CE所成角的最大值是C若直线AF与直线CE相交，则交点在直线DD1上D若直线AF与直线CE相交，则二面角EACD的平面角的最小正切值为解：对于A选项，当E在C1，F在A1时，EFAC，但点E，F是动点，故A选项错误，对于B选项，直线AF与直线CE所成角的最
18、大值就是E，F与D1重合时取得，夹角是，故B选项正确，对于C选项，空间3个平面两两相交有3条交线，要么互相平行，要么相交于一点，直线AF与直线CE相交，则交点在直线DD1上，故C选项正确，对于D选项，当E，F与D1重合时，二面角EACD的平面角最小，连接BD交AC于O，连接AD1，CD1，OD1，AD1CD1，O为AC的中点，D1OAC，又DOAC，D1OD 为二面角EACD的平面角，设正方体的边长为a，则OD，故D选项正确故选：BCD12在ABC中，ABC90，BC1，P为ABC内一点，BPC90，下列结论正确的是（）A若，则B若APB150，则CBPC的面积的最大值为DABP的面积的取值范
19、围是解：对于A：当PB时，PBC60，PBA30，在PBA中，由余弦定理，得PA2AB+PB2ABPBcos303+2，PA，故A错误；对于B：APB150时，设BCP，（0，60），则PAB30，所以tan，因为BC1，所以PBBCsinsin，在PBA中，根据正弦定理，可得，化简得cos4sin，所以tan，所以，故B正确；对于C：由B得BCP时，PCcos，BPsin，（0，60），所以SPBCsincossin2，当290，即45时，sin2取到最大值1，则PBC的最大值为，故C正确；对于D：由C得，当BCP时，PBA，（0，60），所以在直角坐标系中，又xPsincos，yPsin2
20、，所以SPBABAyPsin2sin2，因为sin在（0，60）上单调递增，故sin2在（0，60）上单调递增，所以sin200，sin260，所以sin200，sin260，所以SPBA（0，），故D错误，故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知a为实数，若复数z（a24）+（a+2）i为纯虚数，则a2解：若复数z（a24）+（a+2）i为纯虚数，则，求得a2，故答案为：2142021年1月1日起，三明市全面铺开市区生活垃圾分类工作，生活垃圾需按照“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”、“其他垃圾”的标准进行分类投放若某居民将“厨余垃圾“和“可回收物“两袋垃圾随机
21、地投放到四个分类垃圾桶中的两个，则两袋垃圾均投放准确的概率为 解：“厨余垃圾“和“可回收物“两袋垃圾随机地投放到四个分类垃圾桶中，共有种不同的投放方法，两袋垃圾均投放准确，则共有1种投放方法，所以两袋垃圾均投放准确的概率为故答案为：15“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美如图，是一个棱长为1的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上则该正方体的棱长为 ；半正多面体的表面积为 解：由题意，可将正六边形补全为正方形，则DEF是斜边为1的等腰直角三角形，直角边DF，所以正方形的边长为DC1+2；半多面体包含6个正六边形，8个
22、正三角形，每个正六边形的面积，每个等边三角形的面积，所以半个正多面体的表面积为故答案为：；16已知正三棱锥ABCD的底面是边长为3的正三角形，其外接球O的表面积为16，且点A到底面BCD的距离小于外接球O的半径，E为AD的中点，则异面直线AB与CE所成角的余弦值为 解：因为外接球球O的表面积为16，设其半径为r，则有4r216，解得r2，设点A到平面BCD的距离为x，则有（x2）2+（）222，解得x1或x3（舍），取BD的中点Q，则EQAB，所以异面直线AB与CE所成角为QEC或它的补角，AB2，即ACAD2，所以EQ1，而CQ，cosCAD，所以CE2AC2+AE22ACAEcosCAD4
23、+12，所以CE，cosQEC，故异面直线AB与CE所成角的余弦值为故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在复平面内，O为坐标原点，复数，所对应的向量分别为，（1）求所对应的点C的坐标；（2）求的值解：（1），点C的坐标为（2），18三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1是边长为的菱形，A1C1B1C2，A1B1平面BCC1B1，E，F分别是AC，BB1的中点（1）求证：EF平面A1B1C；（2）求直线A1C1与平面A1B1C所成的角【解答】（1）证明：如图，取BC的中点G，连接EG，FG，则EGAB，FGB1C，ABA1B1，EGA1
24、B1，EG平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，EG平面A1B1C；FG平面A1B1C，B1C平面A1B1C，FG平面A1B1C；又EGFGG，EG，FG平面EFG，平面EFG平面A1B1C；EF平面EFG，EF平面A1B1C；（2）解：设BC1与B1C交于点H，连接A1H，侧面BCC1B1是边长为的菱形，A1C1B1C2，B1CHC1，B1H1，；A1B1平面BCC1B1，HC1平面BCC1B1，A1B1HC1，B1CA1B1B1，B1C，A1B1平面A1B1C，HC1平面A1B1C，C1A1H为直线A1C1与平面A1B1C所成的角；A1H平面A1B1C，HC1A1H；又，A1C12，即直
25、线A1C1与平面A1B1C所成的角为19在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ab（sinC+cosC）（1）求B；（2）若a1，求ABC的面积解：（1）ab（sinC+cosC），由正弦定理得，sinAsinB（sinC+cosC），sin（B+C）sinB（sinC+cosC），sinBcosC+cosBsinCsinBsinC+sinBcosC，cosBsinCsinBsinC，cosBsinB，tanB1，又B（0，），（2），可得，由正弦定理，可得，20为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行了党史知识竞赛，在必答题环节，甲、乙两位选手分别从3道选择题、2道填空题中随机抽
26、取2道题作答，若甲每道题答对的概率为，乙每道题答对的概率为，且甲乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响求：（1）甲至少抽到1道填空题的概率；（2）甲答对的题数比乙多的概率解：（1）记3道选择题的题号为1，2，3，2道填空题的题号为4，5，则试验的样本空间（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共有10个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型，记事件A“甲至少抽到1道填空题”，则A（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），所以n（A）7，故，因此甲至少抽到
27、1道填空题的概率为；（2）设事件A1，A2分别表示甲答对1道题，2道题，事件B0，B1分别表示乙答对0道题，1道题，则，记事件B“甲答对的题数比乙多”，则BA1B0A2B0A2B1，且A1B0，A2B0，A2B1两两互斥，A1与B0，A2与B0，A2与B1分别相互独立，所以P（B）P（A1B0）+P（A2B0）+P（A2B1）P（A1）P（B0）+P（A2）P（B0）+P（A2）P（B1），故甲答对的题数比乙多的概率为21已知A，B两家公司的员工月均工资情况如图：（1）以每组数据的区间中点值代表该组数据的平均水平，根据图1估计A公司员工月均工资的平均数、中位数，你认为用哪个数据更能反映该公司普
28、通员工的工资水平？请简要说明理由（2）小明拟到A，B两家公司中的一家应聘，以公司普通员工的工资水平作为决策依据，他应该选哪个公司？解：（1）A公司员工月均工资的平均数为：0.30.18+0.50.29+0.70.3+0.90.21+290.021.178（万元），由A公司员工月均工资的扇形图知，在0.6万元以下的比例为0.18+0.290.47，A公司员工月均工资在0.8万元以下的比例为0.18+0.29+0.30.77，A公司员工月均工资的中位数为（万元），平均数受每一个数据的影响，越离群的数据对平均数的影响越大，又公司少数员工的月收入很高，在这种情况下平均数明显右偏，并不能较好的反映普通员
29、工的收入水平，中位数不受少数极端数据的影响，中位数可以较好的反映普通员工的收入水平（2）B公司员工月均工资的平均数为：（0.30.375+0.50.75+0.72.75+0.91+1.10.125）0.20.69（万元），由B公司员工月均工资的频率分布直方图知，在0.6万元以下的比例为（0.375+0.75）0.20.225，B公司员工月均工资在0.8万元以下的比例为（0.375+0.75+2.75）0.20.775，B公司员工月均工资的中位数为（万元），B公司员工工资数据较为集中，月工资的平均数和中位数均能反映该公司普通员工的平均收入水平，又B公司员工月工资（万元）平均数为0.69，中位数为
30、0.7，均大于反映A公司普通员工的收入水平的中位数0.62，以公司普通员工的工资水平作为决策依据，小明应该选B公司应聘22如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，BAD60，PAD是正三角形，E为线段AD的中点，（1）求证：平面PBC平面PBE；（2）是否存在点F，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由（3）若平面PAD平面ABCD，在平面PBE内确定一点H，使CH+FH的值最小，并求此时的值【解答】（1）证明：PAD是正三角形，E为线段AD的中点，PEADABCD是菱形，ADAB又BAD60，ABD是正三角形，BEAD，而BEPEE，AD平面PBE又ADBC，BC平面PBEBC平面PBC，平面PBC平面PBE；（2）解：由，知，又VDPFBVPBDCVFBCCVFBCD，因此，的充要条件是，4即存在满足的点F，使得，此时4；（3）解：延长CB到C，使得BCBC，由（1）知CB平面PBE，则C是点C关于面PBE的对称点，在平面PBC中，过点C作CFPC，垂足为F，交PB于H，则点H是使CH+FH的值最小的点设BC2a，则，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PEAD，PE平面ABCD，BE平面ABCD，PEBE，得，得