1、14.1 勾股定理1. 在ABC中，B=90，A、B、C对边分别为a、b、c，则a、b、c的关系是（ ） Ac2=a2+b2 Ba2=（b+c）（b-c ） Ca2=c2-b2 Db=a+c知识点：勾股定理知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，要正确的理解勾股定理的条件和结论，要明确斜边和直角边在定理中的区别。答案：B详细解答：在ABC中，B=90，B的对边b是斜边，所以b2=a2+c2。a2=（b +c）（b-c ）可变形为b2=a2+c2，所以选B1. 下列说法正确的是（）A.若 a、b、c是ABC的三边，则a2b2c2；B.若 a、b、c是RtABC的三边，则a2b
2、2c2；C.若 a、b、c是RtABC的三边，则a2b2c2；D.若 a、b、c是RtABC的三边，则c2-b2a2。答案：D详细解答：A是错的，缺少直角条件；B也是错的，不明确哪一边是斜边，无法判断哪两边的平方和等于哪一边的平方；C也是错的，既然，那么a边才是斜边，应该是a2c2b2D才是正确的，那么c2a2+b2，即c2-b2a2.2.小明量得家里新购置的彩电屏幕的长为58cm,宽为46cm,则这台电视机的尺寸（即电视机屏幕的对角线长）是 ( ) A. 9英寸(23cm) B. 21英寸(54cm) C. 29英寸(74cm) D.34英寸(87cm)知识点：勾股定理的应用知识点的描述：直
3、角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。求某一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，作为三角形的边来求。答案：C详细解答：如答图，四边形ABCD表示彩电屏幕，其长为58cm，即BC=58cm；宽为46cm，即AB=46cm。在直角三角形ABC中，BC=58cm,AB=46cm,那么AC2=BC2+AB2=572+462=5365，所以AC=74cm，选C。2.两只小鼹鼠在地下挖洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距( )A. 50cm B. 80cm C. 100cm D. 140cm 答案：C详细解答： 如答图，一只
4、小鼹鼠从B挖到C，BC=8cm10=80cm，另一只小鼹鼠从B挖到A，BA=6cm10=60cm，由题意可知两个方向互相垂直，所以AC2=AB2+BC2=602+802=10000，所以AC=100 cm3.已知一个三角形三个内角的比是1:2:1,则它的三条边的比是( ) A.1:1: B.1:1:2 C.1: D.1:4:1知识点：等腰直角三角形、含30角的直角三角形知识点的描述：要求知道等腰直角三角形、含30角的直角三角形的三边的比的来历，最好能记住三边之比。答案：A详细解答：三角形三个内角的比是1:2:1，可以知道三个角分别为45、90、 45，如答图，假设AB=1，那么BC=1，AC2
5、=AB2+BC2=1+1=2，所以AC=，三条边的比是1:1:。3已知ABC中，A=C=B，则它的三条边之比为（ ） A1：1： B1：2 C1： D1：4：1答案：B详细解答：ABC中，A=C=B，可求出A=30，C=60，B=90，画出答图。假设BC=1，那么AC=2，根据勾股定理得AB2=AC2-BC2=4-1=3，所以AB=，因此三边的比为1：2。4直角三角形中，斜边的平方等于两直角边乘积的2倍，这个三角形的最小锐角为（ ）（A）15（B）30（C）45（D）不能确定知识点：勾股定理在数学中的应用知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。答案：C详细解答：由勾股定理得
6、AC2=BC2+AB2，又已知斜边的平方等于两直角边乘积的2倍，即AC2=2ABBC，所以BC2+AB2=2ABBC，得（BC-AB）2=0，所以BC=AB，所以三角形ABC是等腰直角三角形，最小锐角为45。4.如图所示,RtABC中,BC是斜边,将ABP绕点A逆时针旋转后,能与ACP重合,如果AP=3,那么PP长为（ ）（A）4（B）5（C）6（D）答案：D详细解答：由题意“将ABP绕点A逆时针旋转后,能与ACP重合”知，ABPACP，所以CAP=BAP，AP=AP，又因为BAC=90，所以PAP=90，AP=AP=3，在直角三角形APP中，PP2= AP2+AP2=32+32=18，所以P
7、P=5如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x的值为（ ）A B- C2 D-2知识点：认识长度为无理数的线段知识点的描述：在直角三角形中利用勾股定理，可以作出长度为无理数的线段答案：B详细解答：在RtBCD中，CB=BD=1，那么CD2=CB2+BD2=2，所以CD=，CA=CD=，因此点A所表示的数为-5. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3ABC答案：C详细解答：在RtABD中，AD=5，BD=1，那么AB2=AD2+BD2=26，AB=在RtBCE中，BE=3，CE=2，那么BC2=BE2
8、+CE2=13，BC=在RtACF中，AF=4，CF=3，那么AC2=AF2+CF2=25，AC=5所以边长为无理数的边是：AB 和BCB6已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（） A5 B25 CD5或知识点：两解问题知识点的描述：在直角三角形中应用勾股定理要注意哪一边是斜边。答案：D详细解答：如果两直角边长分别为3和4，那么第三边就是斜边，其长度为5；如果4是斜边，3是直角边，那么另一条直角边为。6.ABC中,若AB=15,AC=13,高AD=12,则ABC的周长是( ) A.42 B.32 C.42或32 D.37或33答案：C详细解答：若高AD在ABC内部，如图，在Rt
9、ABD中，AB=15，AD=12，那么BD2=AB2-AD2=81，BD=9在RtACD中，AC=13，AD=12，那么CD2=AC2-AD2=25，CD=5所以BC=BD+CD=9+5=14，这时周长为15+13+14=42若高AD在ABC外部，如图，在RtABD中，AB=15，AD=12，那么BD2=AB2-AD2=81，BD=9在RtACD中，AC=13，AD=12，那么CD2=AC2-AD2=25，CD=5所以BC=BD-CD=9-5=4，这时周长为15+13+4=32所以选C.7如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2 m，两树相距8 m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少
10、飞行（ ）（A）6 m（B）8 m（C）10 m（D）18 m知识点：构建直角三角形、勾股定理、实际问题知识点的描述：在解决实际问题时，常常要构建直角三角形，构成勾股定理的模型，应用勾股定理解决实际问题答案：C详细解答：把实际问题转化为数学问题，如图,AB表示高8m的树，CD表示高2 m的树，小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢的最短路径为AD，过D点作AB的垂线，构成直角三角形AED。在直角三角形AED中，DE=BC=8 m，AE=AB-EB=AB-CD=6m，从而AD2=AE2+DE2=62+82=100，所以AB=10 m。7.一根高9米的旗杆在离地4米高处折断，折断处仍相连，此时在3.
11、9米远处玩耍的身高为1米的小明是否有危险 ( ) A没有危险 B有危险 C可能有危险 D无法判断答案：B详细解答：把实际问题转化为数学问题，如答图，AB代表原旗杆的位置，AF表示折段的旗杆，CD表示小明，如果AD小于等于AF，就有危险，反之就没有危险。过D点作AB的垂线，构成直角三角形AED。在直角三角形AED中，DE=BC=3.9，AE=AB-EB=AB-CD=3，从而AD2=AE2+DE2=32+3.92=24.21。由题意知AF=5，所以AF2=25，显然AD小于AF，有危险。BACD.8如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴
12、子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB（ ）.A10 m B11 m C12 m D15 m知识点：方程的思想、勾股定理的实际应用问题知识点的描述：在解决几何中的有关计算问题时，经常要用到代数中的方程，要形成用方程解决几何问题的思想意识。答案：C详细解答：设AD=x米，则AB为（10+x）米，AC为（15-x）米，BC为5米，(x+10)2+52=(15-x)2，解得x=2，10+x=12（米） 所以树高12 m 。8.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水
13、面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,如果竿顶和岸边的水平面刚好相齐,那么河水的深度为( ).A. 2m B. 2.5m C. 2.25m D. 3m答案：A详细解答：画出如图所示的示意图，AB是竖直的竹竿，CB是拉向岸边的竹竿，CD是水面，由题意知：CD=1.5 m，AD=0.5 m,假设河水的深度BD为x m，那么竹竿的高就是（x+0.5）m，所以CB=（x+0.5）m，直角三角形BDC中应用勾股定理得（x+0.5）2=x2+1.52，解得x=2，所以河水的深度为2m 9.已知：如图，ABC中，BC=4，A=45，B=60，那么AC=（ ）（A）（B）4（C）6（D）知识点：转化的数学思想、勾
14、股定理知识点的描述：在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问题。答案：A （2也行）分析：由于本题中的ABC不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得ACB=75，添置AB边上的高这条辅助线，就可以得到直角三角形，在直角三角形中就可以求得一些线段的长度详细解答：作AB边的高CD,如图，在RtBDC中，B=60，那么BCD=90-60=30，BC=4，那么BD=2,利用勾股定理可求出CD=；在RtADC中，A=45，那么ACD=90-45=45，所以AD=CD=，那么利用勾股定理得AC2=AD2+CD2=24,所以AC=； 小结：可
15、见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。请你思考本题还可以作其它辅助线吗？为什么？(注意利用特殊角)9.已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。四边形ABCD的面积为（ ）。（A）20（B）（C）（D）16答案：C(目前初二的学生还没学到二次根式的化简，做到2-就可以了)分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。不妨几种方法都尝试一下，你会有很多收获的。详细解答：延长AD、BC交于E。A=60，B=90，E=30。AE=2AB=8，CE
16、=2CD=4，BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=。DE2= CE2-CD2=42-22=12，DE=。S四边形ABCD=SABE-SCDE=ABBE-CDDE=4-2=2-= 小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。另外作辅助线要充分考虑利用条件，一般情况下是不能把特殊角分割的。10. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）A. B. C. D. 知识点：“折叠”问题、勾股定理的应用知识点的描述：“
17、折叠”问题是数学中常见问题之一解决问题的关键就是一定要搞清是怎样折叠的，尤其是原来的线段和角折叠到哪去了，理清已知和未知，找到能联系二者的直角三角形，利用勾股定理问题就迎刃而解。答案：B详细解答：假设CD=xcm，那么DE=CD=xcm，BD=（8-x）cm。因为直角三角形纸片的两直角边AC=6cm,BC=8cm,所以利用勾股定理可得斜边AB=10cm，又AE=AC=6cm,所以EB=AB-AE=4(cm),在RtEBD中，EB=4cm，DE=xcm，BD=（8-x）cm ，那么（8-x）2=x2+42，解得x=3所以CD=10.如下图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB8cm，AD10cm，求EC的长( )（A）3cm（B）4cm（C）5cm（D）6cm答案：A详细解答：由折叠的过程可知AFEADE、ADAF，DEEF，在RtABF中，AB8cm，AF10cm，BF2AF2AB21028262，BF6，FCBCBF1064cm，如果设CExcm，DE(8x)cm，所以EF(8x)cm 在RtCEF中，EF2CF2CE2，用这个关系建立方程:(8x)242x2解得x3，即CE的长为3cm