1、第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列关系不正确的是()A.0NB.13QC.0D.2R解析:由数集的表示,可知A,B,D均正确,由于空集不含任何元素,故C错误.答案:C2.命题“xR,nN+,使得x+n2 020”的否定是()A.xR,nN+,使得x+n2 020B.xR,nN+,使得x+n2 020C.xR,nN+,有x+n2020”的否定为“xR,nN+,有x+n2020”.答案:D3.设集合A=a,b,B=a+1,5,若AB=2,则AB=()A.1,2B.1,5C.2,
2、5D.1,2,5解析:AB=2,a+1=2,得a=1,则b=2,A=1,2,B=2,5,AB=1,2,5.答案:D4.下列不等式的解集是空集的是()A.x2-x+10B.-2x2+x+10C.2x-x25D.x2+x2解析:A中不等式x2-x+10的解集是R;B,D中的判别式0,所以有解;由于2x-x25等价于x2-2x+50,而其=4-20bc,且a+b+c=0,则它的图象可能是()解析:abc,且a+b+c=0,a0,cb”是“a+b22ab”成立的()A.充分条件,但不是必要条件B.必要条件,但不是充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由a+b22ab,得a2+2ab+b24
3、ab,即a2-2ab+b20,即(a-b)20,则ab,不能推出ab,而ab时,由上述过程可知,有a+b22ab,故“ab”是“a+b22ab”成立的充分条件,但不是必要条件.答案:A8.不等式ax2+5x+c0的解集为x13x0的解集为x13x12,所以方程ax2+5x+c=0的两个实数根为x1=12,x2=13,且a0.所以有12+13=-5a,1213=ca,a0”是假命题,则实数a的取值范围是()A.(4,+)B.(0,4C.(-,4D.0,4)解析:命题“xR,有ax2+4x+10恒成立”是假命题,命题“xR,使ax2+4x+10”是真命题,a0,或a0,=16-4a0,解得a0,或
4、012,b0,且a+b=2,则12a-1+2b的最小值为()A.3+22B.6C.9D.3解析:a12,b0,a+b=2,2a-1+2b=3,则12a-1+2b=13(2a-1+2b)12a-1+2b=135+2b2a-1+2(2a-1)b135+22b2a-12a-1b=3,当且仅当b=2a-1=1,即a=1,b=1时取等号.答案:D12.用C(A)表示非空集合A中元素的个数,定义A*B=C(A)-C(B),C(A)C(B),C(B)-C(A),C(A)5或x-1,T=x|axa+8,且ST=R,则实数a的取值范围是.解析:在数轴上表示出集合S,T,如图.由图可知,要使ST=R,需满足a5,
5、解得-3a-1.答案:-3a0)个单位长度,得到一元二次函数y=x2-3x+2的图象,则a的值为.解析:将函数y=x2+x的图象向右平移a(a0)个单位长度后,对应函数的解析式为y=(x-a)2+(x-a)=x2-(2a-1)x+a2-a,由题意得x2-(2a-1)x+a2-a=x2-3x+2,故2a-1=3,a2-a=2,解得a=2.答案:215.有外表一样,质量不同的四个小球,它们的质量分别是a,b,c,d,已知a+b=c+d,a+db+c,a+cb+c,所以2a2c,即ac.故bd.因为a+c0,所以abac.答案:dbac16.已知关于x的一元二次函数y=ax2-2x+c的值域为0,+
6、),则9a+1c的最小值为.解析:由关于x的一元二次函数y=ax2-2x+c的值域为0,+),可得a0,且判别式=4-4ac=0,所以ac=1,且a0,c0,可得9a+1c29ac=23=6,当且仅当9a=1c,即c=13,a=3时,等号成立.答案:6三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知集合A=x|x2-4x-50,B=x|2axa+2.(1)若a=-1,求AB和AB;(2)若AB=B,求实数a的取值范围.解:(1)集合A=x|x2-4x-50=x|x-1,或x5,当a=-1时,B=x|-2x1;AB=x|-2x-1,AB=x|x1
7、,或x5;(2)AB=B,BA.若B=,则2aa+2,解得a2;若B,则2aa+2,a+2-1,或2a5,解得a-3.综上,实数a的取值范围是a2,或a-3.18.(12分)已知一元二次函数f(x)=x2-4x.(1)若f(x)在区间2a-1,+)上单调递增,求实数a的取值范围;(2)当x1,7时,求f(x)的值域.解:(1)函数f(x)=x2-4x的图象的对称轴为直线x=2,f(x)在区间2a-1,+)上单调递增,2a-12,解得a32.故所求实数a的取值范围是a32.(2)函数f(x)的图象为开口向上的抛物线,且对称轴为直线x=2,结合图象(图略)知,在x1,7上,当x=2时,f(x)取得
8、最小值,且f(x)min=22-42=-4;当x=7时,f(x)取得最大值,且f(x)max=72-47=21.函数f(x)的值域为-4,21.19.(12分)已知a0,b0,a+b=2.(1)求1a+4b的最小值;(2)求证:ab(a+b)a+b1.(1)解:a+b=2,且a0,b0,1a+4b=12a+ba+4(a+b)b=125+ba+4ab125+2ba4ab=92,当且仅当a+b=2,ba=4ab,即a=23,b=43时等号成立.故1a+4b的最小值为92.(2)证明:a0,b0,a+b=2,ab(a+b)a+b=a+b2aba+b2a+b22=1,当且仅当a=b=1时等号成立.20
9、.(12分)已知关于x的不等式ax-5x2-a0的解集为M.(1)若3M,且5M,求实数a的取值范围;(2)当a=4时,求集合M.解:(1)由3M,知3a-59-a0,解得a9;若5M,则5a-525-a0,解得a25.则由5M,知1a25.因此所求a的取值范围是1a53,或9a25.(2)当a=4时,有4x-5x2-40.4x-5x2-40,x2-40,或4x-50x54,-2x2,或x54,x254x2,或x-2.故M=xx-2,或54x2.21.(12分)求ax2+2x+1=0至少有一个负实数根的充要条件.解:(1)当a=0时,原方程变为2x+1=0,即x=-12,符合要求.(2)当a0
10、时,ax2+2x+1=0为关于x的一元二次方程,它有实根的充要条件是0,即4-4a0,得a1.设方程ax2+2x+1=0的两个实数根分别为x1,x2,则方程ax2+2x+1=0有一个负实数根的充要条件是0,x1x20,即a1,1a0,a0.方程ax2+2x+1=0有两个负实数根的充要条件是0,x1+x20,即a1,-2a0,0a1.综上所述,ax2+2x+1=0至少有一个负实数根的充要条件为a1.22.(12分)某摩托车生产企业上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆摩托车投入成本增加的比例为x(0x1),则出厂价相应提高的比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式.(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内?解:(1)由题意,得y=1.2(1+0.75x)-1(1+x)1000(1+0.6x)(0x1),整理,得y=-60x2+20x+200(0x0,0x0,0x1,解得0x13.所以为使本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例x应满足0x13.
