1、高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网一、选择题1（全国理7 题）如图，正四棱柱1111DCBAABCD 中，ABAA21=，则异面直线11ADBA与所成角的余弦值为（D）A 51B 52C 53D 542（全国理7 题）已知正三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则 AB1与侧面 ACC1A1所成角的正弦等于（A）A64B104C22D323（北京理3 题）平面 平面 的一个充分条件是（D）A存在一条直线aa，B存在一条直线aaa，C存在两条平行直线ababab，D存在两条异面直线abaab，4（安徽理2 题）设l，m，n 均为直线，其中 m，n 在平面 内，“l”是l
2、m且“ln”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7（福建理10 题）顶点在同一球面上的正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AB1，AA1，则 A、C 两点间的球面距离为（B）高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网A 4B 2C 24D229（湖南理8 题）棱长为 1 的正方体1111ABCDA B C D的 8 个顶点都在球O的表面上，EF，分别是棱1AA，1DD 的中点，则直线 EF 被球O截得的线段长为（D）A22B1C212+D210（江苏理4 题）已知两条直线,m n，两个平面,，给出下面四个命题：/,mn mn/,/mnmn/,/mn
3、 mn/,/,mn mn其中正确命题的序号是（C）ABCD11（江西理7 题）如图，正方体 AC1的棱长为 1，过点 A 作平面A1BD 的垂线，垂足为点 H则以下命题中，错误.的命题是（D）A点 H 是A1BD 的垂心BAH 垂直平面 CB1D1CAH 的延长线经过点 C1D直线 AH 和 BB1所成角为 4512（辽宁理7 题）若 mn，是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A若m，则 mB若m=n=，mn，则C若m，m，则D若，则 13（陕西理6 题）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（B）高
4、考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网A433B 33C43D 12314（四川理4 题）如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误.的是（D）ABD平面 CB1D1BAC1BDCAC1平面 CB1D1D异面直线 AD 与 CB1角为 6015(宁夏理8 题)已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（B）34000 cm338000 cm332000cm34000cm若abab，则若ab，则ab18（浙江理6 题）若 P 是两条异面直线,l m 外的任意一点，则（B）A过点 P 有且仅有一条直线与,l m 都平行B过点 P 有且仅
5、有一条直线与,l m都垂直C过点 P 有且仅有一条直线与,l m 都相交D过点 P 有且仅有一条直线与,l m都异面二、填空题19（全国理16 题）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上。2020正视图20侧视图101020俯视图高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网已知正三棱柱的底面边长为 2，则该三角形的斜边长为2 3。23（辽宁理15 题）若一个底面边长为32，棱长为 6 的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为26（天津理12 题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为1427（浙江理16
6、题）已知点 O 在二面角AB的棱上，点 P 在 内，且45POB=。若对于 内异于 O 的任意一点 Q，都有45POQ，则二面角AB的大小是_90 _。三、解答题27（全国理19 题）四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，侧面 SBC底面 ABCD。已知ABC45，AB2，BC=22，SASB3。()证明：SABC；高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网()求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小；连结 DB，得DAB的面积21sin13522SAB AD=i设 D 到平面 SAB 的距离为 h，由于D SABSABDVV=，得121133h SSO S=ii，解得
7、2h=设 SD 与平面 SAB 所成角为，则222sin1111hSD=所以，直线 SD 与平面 SBC 所成的我为22arcsin 11解法二：（）作 SOBC，垂足为O，连结 AO，由侧面 SBC 底面 ABCD，得 SO平面 ABCD 因为 SASB=，所以 AOBO=又45ABC=，AOB为等腰直角三角形，AOOB如图，以O 为坐标原点，OA 为 x 轴正向，建立直角坐标系Oxyz，(2 0 0)A，(02 0)B，(02 0)C，(0 01)S，(2 01)SA=，(0 2 2 0)CB=，0SA CB=i，所以 SABCDBCASOEGyxz高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高
8、考资源网（）取 AB 中点 E，22 022E，连结 SE，取 SE 中点G，连结OG，22 1442G，22 1442OG=，22 122SE=，(22 0)AB=，0SE OG=i，0AB OG=i，OG 与平面 SAB 内两条相交直线 SE，AB 垂直所以OG 平面 SAB，OG 与 DS 的夹角记为，SD 与平面 SAB 所成的角记为 ，则 与 互余(2 2 2 0)D，(2 2 21)DS=，22cos11OG DSOG DS=ii，22sin11=，所以，直线 SD 与平面 SAB 所成的角为22arcsin 1128（全国理19 题）如图，在四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABC
9、D 为正方形，侧棱 SD底面 ABCD，E、F 分别是 AB、SC 的中点。()求证：EF平面 SAD；()设 SD=2CD，求二面角 AEFD 的大小；解法一：（1）作 FGDC交 SD 于点G，则G 为 SD 的中点连结12AGFGCD，又CDAB，高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网故 FGAEAEFG，为平行四边形EFAG，又 AG 平面 SADEF，平面 SAD 所以 EF 平面 SAD（2）不妨设2DC=，则42SDDGADG=，为等腰直角三角形取 AG 中点 H，连结 DH，则 DHAG又 AB平面 SAD，所以 ABDH，而 ABAGA=，所以 DH 面 AEF 取
10、 EF 中点 M，连结 MH，则 HMEF连结 DM，则 DMEF故DMH为二面角 AEFD的平面角2tan21DHDMHHM=所以二面角 AEFD的大小为arctan2 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系 Dxyz设(0 0)(0 0)A aSb，则(0)(00)B aaCa，0022 2aa bE aF，0 2bEFa=，取 SD 的中点0 0 2bG，则0 2bAGa=，EFAGEFAGAG=，平面 SADEF，平面 SAD，所以 EF 平面 SAD（2）不妨设(10 0)A，则11(11 0)(01 0)(0 0 2)100122BCSEF，EF 中点1 1 1111(1 01)0
11、2 2 2222MMDEFMD EFMDEF=i，又1002EA=，0EA EFEAEF=i，所以向量 MD和 EA的夹角等于二面角 AEFD的平面角AAEBCFSDGMyzx高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网3cos3MD EAMD EAMD EA=i i，所以二面角 AEFD的大小为3arccos 329（北京理16 题）如图，在 RtAOB中，6OAB=，斜边4AB=RtAOC可以通过 RtAOB以直线 AO 为轴旋转得到，且二面角 BAOC是直二面角动点 D 的斜边 AB 上（I）求证：平面COD 平面 AOB；来源:K（II）当 D 为 AB 的中点时，求异面直线 AO
12、 与CD 所成角的大小；（III）求CD 与平面 AOB 所成角的最大值解法一：（I）由题意，COAO，BOAO，BOC是二面角 BAOC是直二面角，又二面角 BAOC是直二面角，COBO，又AOBOO=，CO 平面 AOB，又CO 平面COD 平面COD 平面 AOB（II）作 DEOB，垂足为 E，连结CE（如图），则 DEAO，CDE是异面直线 AO 与CD 所成的角在 RtCOE中，2COBO=，112OEBO=，225CECOOE=+=又132DEAO=在 RtCDE中，515tan33CECDEDE=异面直线 AO 与CD 所成角的大小为15arctan3（III）由（I）知，CO
13、 平面 AOB，CDO是CD 与平面 AOB 所成的角，且2tanOCCDOODOD=当OD 最小时，CDO最大，OCADBE高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网这时，ODAB，垂足为 D，3OA OBODAB=i，2 3tan3CDO=，CD与平面 AOB 所成角的最大值为2 3arctan3解法二：（I）同解法一（II）建立空间直角坐标系Oxyz，如图，则(0 0 0)O，(0 0 2 3)A，(2 0 0)C，(013)D，(0 0 2 3)OA=，(213)CD=，cosOA CDOACDOA CD=i i，6642 3 2 2=i异面直线 AO 与CD 所成角的大小为6a
14、rccos 4分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力满分 12 分解答：解法一：（）取 BC 中点O，连结 AO ABC为正三角形，AOBC正三棱柱111ABCA B C中，平面 ABC 平面11BCC B，AO平面11BCC B OCADBxyzABCD1A1C1BOF高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网连结1B O，在正方形11BB C C 中，OD，分别为1BCCC，的中点，1B OBD，1ABBD在正方形11ABB A 中，11ABA B，1AB平面1A BD（）设1AB 与1A B 交于点G，
15、在平面1A BD 中，作1GFA D于 F，连结 AF，由（）得1AB 平面1A BD 1AFA D，AFG为二面角1AA DB的平面角在1AA D中，由等面积法可求得4 55AF=，又1122AGAB=，210sin44 55AGAFGAF=所以二面角1AA DB的大小为10arcsin4（）1A BD中，11152 26A BDBDA DA BS=，1BCDS=在正三棱柱中，1A 到平面11BCC B 的距离为 3 设点C 到平面1A BD 的距离为 d 由11ABCDCA BDVV=得111333BCDA BDSSd=ii，高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网1322BCDA
16、 BDSdS=点C 到平面1A BD 的距离为22解法二：（）取 BC 中点O，连结 AO ABC为正三角形，AOBC来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COM在正三棱柱111ABCA B C中，平面 ABC 平面11BCC B，AD平面11BCC B 取11B C 中点1O，以O 为原点，OB，1OO，OA的方向为 xyz，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(10 0)B，(110)D ，1(0 23)A，(0 03)A，1(1 2 0)B，1(1 23)AB=，(21 0)BD=，1(1 23)BA=，12200AB BD=+=i，111430AB BA=+=i，令1z=得(3 01)
17、=，nnnn为平面1A AD 的一个法向量由（）知1AB 平面1A BD，1AB为平面1A BD 的法向量cos=i iinnnnnnnn二面角1AA DB的大小为6arccos 4高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网（）由（），1AB为平面1A BD 法向量，1(2 0 0)(1 23)BCAB=，点C 到平面1A BD 的距离112222 2BC ABdAB=i32（广东理19 题）如图 6 所示，等腰ABC 的底边 AB=66，高 CD=3，点 B 是线段 BD 上异于点 B、D 的动点.点 F 在 BC 边上，且 EFAB.现沿 EF 将BEF 折起到PEF的位置，使 PE
18、AE。记 BEx，V(x)表示四棱锥 PACFE 的体积。（）求 V(x)的表达式；（）当 x 为何值时，V(x)取得最大值？（）当 V(x)取得最大值时，求异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值；33（湖北理18 题）如图，在三棱锥 V-ABC 中，VC底面 ABC，ACBC，D 是 AB 的中点，且 AC=BC=a，VDC=20。（）求证：平面 VAB平面 VCD；（）当角变化时，求直线 BC 与平面 VAB 所成的角的取值范围；分析：本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力解答：解法 1：（）ACBCa=，AC
19、B是等腰三角形，又 D 是 AB 的中点，CDAB，又VC 底面 ABC VCAB于是 AB 平面VCD 0sin1，20sin2高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网又02，04即直线 BC 与平面VAB 所成角的取值范围为0 4，解法 2：（）以CA CBCV，所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则2(0 0 0)(0 0)(00)00 0tan2 22a aCA aBaDVa，于是，2tan2 22a aVDa=，02 2a aCD=，(0)ABaa=，从而2211(0)0002 222a aAB CDaaaa=+=，即 ABCD同理2221
20、1(0)tan002 2222a aAB VDaaaaa=+=，即 ABVD又CDVDD=，AB 平面VCD 又 AB 平面VAB 平面VAB 平面VCD（）设 直 线 BC 与 平 面 VAB 所 成 的 角 为 ，平 面 VAB 的 一 个 法 向 量 为高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网又02，04即直线 BC 与平面VAB 所成角的取值范围为0 4，解法 3：（）以点 D 为原点，以 DCDB，所在的直线分别为 x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则222(0 0 0)00000 0222DAaBaCa，220tan22Vaa，于 是220tan22DVaa=，
21、20 02DCa=，(02 0)ABa=，来源:K从而(02 0)AB DCa=，20 002 a=，即 ABDC同理22(02 0)0tan022AB DVaaa=，即 ABDV又 DCDVD=，AB 平面VCD 又 AB 平面VAB，平面VAB 平面VCD（）设 直 线 BC 与 平 面 VAB 所 成 的 角 为 ，平 面 VAB 的 一 个 法 向 量 为高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网02，0sin1，20sin2又02，04，设()xyz=，nnnn是平面VAB 的一个非零法向量，则()(0)0()(0)0ABxyzaaaxayAVxyzataxtz=+=+=，nn
22、nnnnnn取 za=，得 xyt=可取()tta=，nnnn，又(00)CBa=，于是222221sin22taCBtCBattataat=+nnnnnnnn，(0)t+，sin 关于t 递增10sin2，0 4，高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网即直线 BC 与平面VAB 所成角的取值范围为0 4，34（湖南理18 题）如图 1，EF，分别是矩形ABCD 的边 ABCD，的中点，G 是 EF 上的一点，将GAB，GCD分别沿AB CD，翻折成1G AB，2G CD，并连结12G G，使得平面1G AB平面 ABCD，12G GAD，且12G GAD连结2BG，如图 2（I）证
23、明：平面1G AB平面12G ADG；（II）当12AB=，25BC=，8EG=时，求直线2BG 和平面12G ADG 所成的角；解：解法一：（）因为平面1G AB平面 ABCD，平面1G AB 平面 ABCDAB=，ADAB，AD 平面 ABCD，所以 AD平面1G AB，又 AD 平面12G ADG，所以平面1G AB 平面12G ADG 由题设12AB=，25BC=，8EG=，则17GF=所以218G OG E=，217G F=，2217815OF=，1210G GEO=因为 AD平面1G AB，12G GAD，所以12G G 平面1G AB，从而121G GG BAEBGDFCAEBC
24、FDG1G2图 1图 2高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网故222222221126810200BGBEEGG G=+=+=，210 2BG=又2216810AG=+=，由11BH AGG E AB=ii得8 1248105BH=故2248112 2sin52510 2BHBG HBG=即直线2BG 与平面12G ADG 所成的角是12 2arcsin25解法二：（I）因为平面1G AB 平面 ABCD，平面1G AB 平面 ABCDAB=，1G EAB，1G E 平面1G AB，所以1G E 平面 ABCD，从而1G EAD又 ABAD，所设()nxyz=，是平面12G ADG
25、 的一个法向量，由100n ADn AG=i i，.得 250680yxz=+=，故可取(4 03)n=，过点2G 作2G O平面 ABCD 于点O，因为22G CG D=，所以OCOD=，于是点O 在y 轴上因为12G GAD，所以12G GEF，218G OG E=设2(08)Gm，（025m），由222178(25)m=+，解得10m=，所以2(010 8)(6 0 0)(610 8)BG=，设2BG 和平面12G ADG 所成的角是，则来源:K高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网2222222|2424|12 2sin25610843BG nBGn=+i ii来源:高&考%
26、资(源#网 wxcKS5U.COM故直线2BG 与平面12G ADG 所成的角是12 2arcsin2535（江苏理18 题）如图，已知1111ABCDA B C D是棱长为 3 的正方体，点 E 在1AA 上，点 F 在1CC 上，且11AEFC=。（I）求证：1,E B F D 四点共面；（4 分）（II）若点G 在 BC 上，23BG=，点 M 在1BB 上，GMBF，垂足为 H，求证：EM 面11BCC B；所以1111()32ODAABBCC=+=则1ODC C 是平行四边形，因此有1OCC D1C D 平面111C B A 且OC 平面111C B A，则OC 面111A B C
27、BABBBCBDBA1BD1BC1BB1BBBHFE高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网（2）如图，过 B 作截面22BA C 面111A B C，分别交1AA，1CC 于2A，2C 作22BHA C于 H，连CH 因为1CC 面22BA C，所以1CCBH，则 BH 平面1AC 又因为5AB=，2BC=，2223ACABBCAC=+所以 BCAC，根据三垂线定理知CHAC，所以BCH就是所求二面角的平面角因为22BH=，所以1sin2BHBCHBC=，故30BCH=，即：所求二面角的大小为30（3）因为22BH=，所以222211 121(12)233 222B AA C CAA
28、 C CVSBH=+=iiii1 1 1221 1 111 212A B CA BCA B CVSBB=ii所求几何体体积为221 1 12232B AA C CA B CA BCVVV=+=设()mxyz=，是平面 ABC 的一个法向量，则高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网则0AB m=i，0BC m=i得：200yzxz=+=取1xz=，(1 21)m=，显然，(11 0)l=，为平面11AAC C 的一个法向量则1203cos226m lm lm l+=i i，结合图形可知所求二面角为锐角所以二面角1BACA的大小是30（3）同解法一37（辽宁理18 题）如图，在直三棱柱1
29、11ABCA B C中，90ACB=，ACBCa=，DE，分别为棱 ABBC，的中点，M 为棱1AA 上的点，二面角 MDEA为30。（I）证明：111A BC D；（II）求 MA 的长，并求点C 到平面 MDE 的距离。38（宁夏理19 题）如图，在三棱锥 SABC中，侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形，90BAC=，O 为 BC 中点（）证明：SO 平面 ABC；（）求二面角 ASCB的余弦值证明：（）由题设 AB AC SB SC=SA，连结 OA，ABC为等腰直角三角形，所以22OAOBOCSA=，且 AOBC，又SBC为等腰三角形，故 SOBC，且22SOSA=，从而22
30、2OASOSA+所以SOA为直角三角形，SOAO又 AOBOO=高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网所以 SO 平面 ABC（）解法一：取 SC 中 点 M，连 结 AMOM，由（）知 SOOCSAAC=，得OMSCAMSC，OMA为二面角 ASCB的平面角由 AOBCAOSOSOBCO=，得 AO 平面 SBC 所以 AOOM，又32AMSA=，故26sin33AOAMOAM=所以二面角 ASCB的余弦值为33解法二：以O 为坐标原点，射线OBOA，分别为 x 轴、y 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系Oxyz设(10 0)B，则(10 0)(010)(0 01)CAS，39（
31、陕 西 理 19 题）如 图,在 底 面 为 直 角 梯 形 的 四 棱 锥 PABCD中/ADBC，,90=ABC平面PAABC，32,2,4=ABADPA,BC=6。()求证：BDPAC 平面；()求二面角DBDP的大小；解法一：（）PA平面 ABCD，BD 平面 ABCD BDPA又3tan3ADABDAB=，tan3BCBACAB=30ABD=，60BAC=，90AEB=，即 BDAC又 PAACA=BD平面 PAC OSBACMxzy高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网（）过 E 作 EFPC，垂足为 F，连接 DF DE平面 PAC，EF 是 DF 在平面 PAC 上的
32、射影，由三垂线定理知 PCDF，EFD为二面角 APCD的平面角又9030DACBAC=，sin1DEADDAC=，sin3AEABABE=，又4 3AC=，3 3EC=，8PC=由RtRtEFCPAC得3 32PA ECEFPC=i在 RtEFD中，2 3tan9DEEFDEF=，2 3arctan9EFD=二面角 APCD的大小为2 3arctan94 3 213=，nnnn平面 PAC 的法向量取为()2 3 2 0BD=，mmmm，AEDPCBF高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网cos m m m=im nm nm nm nnnnnm nm nm nm n二面角 APCD
33、的大小为3 93arccos3140（上海 理 19 题）体积为 1 的直三棱柱111ABCA B C中，90ACB=，1ACBC=，求直线1AB 与平面11BCC B 所成角。6arcsin 641（四川理19 题）如图，四边形 PCBM 是直角梯形，PCB 90，PM BC，PM 1，BC 2，又 AC 1，ACB 120，AB PC，直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60.（）求证：平面 PAC 平面 ABC；（）求二面角BACM的大小；（）求三棱锥MACP 的体积；分析：本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量
34、知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。解法一：（）,PCAB PCBC ABBCB=PCABC 平面，又 PCPAC 平面PACABC平面平面（）取 BC 的中点 N，则1CN=，连结,AN MN，高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网在 CNH中，33sin122NHCNNCH=在 MNH中，12 3tan332MNMNMHNNH=故二面角 MACB的平面角大小为2 3arctan3（）由（）知，PCMN 为正方形0113sin1203212P MACA PCMA MNCMACNVVVVAC CNMN=解法二：（）同解法一（）在平面 ABC 内，过C 作CDCB，建立
35、空间直角坐标系Cxyz（如图）由题意有31,022A，设()()000,0,0Pzz，高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网平面 ABC 的法向量取为()0,0,1m=设 m与 n所成的角为，则3cos7m nmn=显然，二面角 MACB的平面角为锐角，故二面角 MACB的平面角大小为21arccos7（）取 平 面 PCM 的 法 向 量 取 为()11,0,0n=，则 点 A 到 平 面 PCM 的 距 离1132CA nhn=1,1PCPM=，111331 1326212P MACA PCMVVPCPM h=42（天 津 理 19 题）如 图，在 四 棱 锥 PABCD中，PA
36、 底 面 ABCD，60ABADACCDABC=，PAABBC=，E 是 PC 的中点（）证明CDAE；（）证明 PD 平面 ABE；（）求二面角 APDC的大小；分析：本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力满分 12 分解答：（）证明：在四棱锥 PABCD中，因 PA 底面 ABCD，CD 平面 ABCD，故 PACDACCDPAACA=，CD 平面 PAC 而 AE 平面 PAC，CDAE（）证明：由 PAABBC=，60ABC=，可得 ACPA=ABCDPE高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网E是 PC 的中点，A
37、EPC由（）知，AECD，且 PCCDC=，所以 AE 平面 PCD 而 PD 平面 PCD，AEPD14sin4AEAM EAM=所以二面角 APDC的大小是14arcsin4解法二：由题设 PA 底面 ABCD，PA 平面 PAD，则平面 PAD 平面 ACD，交线为 AD 过点C 作CFAD，垂足为 F，故CF 平面 PAD 过点 F 作 FMPD，垂足为 M，连结CM，故CMPD因此CMP是二面角 APDC的平面角由已知，可得30CAD=，设 ACa=，可得2 321133326PAaADaPDaCFaFDa=，FMDPAD，FMFDPAPD=于是，37614213a aFD PAFM
38、aPDa=在CMFRtRtRtRt中，12tan7714aCFCMFFMa=ABCDPEFM高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网所以二面角 APDC的大小是arctan7 43（浙江理19 题）在如图所示的几何体中，EA 平面 ABC，DB 平面 ABC，ACBC，2ACBCBDAE=，M 是 AB的中点。（）求证：CMEM；（）求 CM 与平面 CDE 所成的角；分析：本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力满分 14141414 分解答：方法一：（I）证明：因为 ACBC=，M 是 AB 的中点，所以CMAB又 EA 平面 ABC，所以CMEM所以3DEa=，3EMa=，6MDa=，得EMD是直角三角形，其中90EMD=，所以2EM MDMFaDE=i在 RtCMF中，tan1MFFCMMC=，所以45FCM=，故CM 与平面CDE 所成的角是 45 方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CA，CB 分别为 x 轴和 y 轴，过点C 作与平面 ABC 垂直EMACBD高考资源网（）您身边的高考专家版权所有高考资源网的直线为 z 轴，建立直角坐标系Cxyz，设 EAa=，则(2)Aa 0 0，(0 2 0)Ba，(2 0)Eaa，(0 2 2)Da a，(0)M aa，