1、第2课时 简单的三角恒等变换（二）A级基础巩固1.函数f(x)=cos2x+4,xR,则f(x)()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数,也是偶函数D.既不是奇函数,也不是偶函数答案:D2.函数f(x)=sin x-3cos x可化简为()A.2sinx-3 B.2sinx+3C.2sinx-6 D.2sinx+6答案:A3.设a=12cos 6-32sin 6,b=2sin 13cos 13,c=1-cos502,则有()A.cba B.abcC.acb D.bca答案:C4.如图所示,有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它截成一块正方形的钢板EFGH,其面积是原正方形
2、钢板面积的三分之二,则应按什么角度来截?解:设正方形钢板的边长为a,截后正方形的边长为b,则a2b2=32,ab=32=62.又因为a=GC+CF=bsin x+bcos x,所以sin x+cos x=62,所以sin(x+4)=32.因为0x2,所以4x+434,所以x+4=3或x+4=23,所以x=12或512,即应按12或512来截.5.已知函数f(x)=(sinx-cosx)sin2xsinx.(1)求f(x)的定义域及最小正周期.(2)求f(x)的单调递增区间.解:(1)由sin x0,得xk(kZ),故f(x)的定义域为x|xk,kZ.因为f(x)=(sinx-cosx)sin2
3、xsinx=2cos x(sin x-cos x)=sin 2x-cos 2x-1=2sin(2x-4)-1,所以f(x)的最小正周期为T=22=.(2)因为函数y=sin x的单调递增区间为2k-2,2k+2(kZ),由2k-22x-42k+2,xk(kZ),得k-8xk+38,xk(kZ),所以f(x)的单调递增区间为k-8,k)和(k,k+38(kZ).B级能力提升6.若函数f(x)=(1+3tan x)cos x,0x2,则f(x)的最大值是()A.1 B.2C.3+1 D.3+2解析:f(x)=(1+3tan x)cos x=(1+3sinxcosx)cos x=3sin x+cos
4、 x=2sin(x+6).因为0x2,所以6x+623,所以当x+6=2时,f(x)取到最大值2.答案:B7.如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离d表示为x的函数f(x),则y=f(x)在区间0,上的图象大致为() A B C D解析:因为OP=1,由三角函数的定义,得MP=|sin x|,OM=|cos x|.在RtOMP中,根据面积相等,有MPOM=OPd,所以f(x)=|sinxcosx|1=12|sin 2x|.因为y=sin 2x的周期为,所以f(x)=12|sin 2x|
5、的周期为2,且最大值为12.故选C.答案:C8.函数f(x)=sin2xcosx1-sinx的值域为-12,4).解析: f(x)=2sinxcos2x1-sinx=2sinx(1-sin2x)1-sinx=2sin x+2sin2x,由已知,可得-1sin x1.令sin x=t,则t-1,1),f(x)=g(t)=2t2+2t=2(t+12)2-12,故当t=-12时,函数g(t)取得最小值-12;当t的值趋于1时,g(t)的值趋于4,故函数g(t)的值域为-12,4),所以f(x)-12,4).9.如图,矩形ABCD的长AD=23,宽AB=1,A,D两点分别在x、y轴的正半轴上移动,B,
6、C两点在第一象限,求OB2的最大值.解:如图,过点B作BHOA,垂足点为点H.设OAD=(02),则BAH=2-,OA=23cos ,BH=sin(2-)=cos ,AH=cos(2-)=sin ,所以点B的坐标为(23cos +sin ,cos ),OB2=(23cos +sin )2+cos2=7+6cos 2+23sin2=7+43sin(2+3).由02,得32+343,所以当2+3=2,即=12时,OB2取得最大值7+43.C级挑战创新10.多空题如图,有半径为1的半圆,且四边形PQRS是半圆的内接矩形,设SOP=,则当为4时,矩形的面积最大,最大面积的值为1.解析:因为OP=1,SOP=,所以SP=sin ,OS=cos ,所以S矩形PQRS=sin 2cos =sin 2,所以当为4时,S矩形PQRS最大,最大值为1.
