1、福建省仙游县枫亭中学2020届高三数学上学期期中试题 理（含解析）第卷（选择题，共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，所以，故选A.2.复数满足，为虚数单位，则的共轭复数（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】由 ， 化简后可求共轭复数【详解】解：由 ，所以z的共轭复数为 ，选D.【点睛】该题考查复数代数形式的乘除运算，属基础题，熟练掌握相关运算法则是解题关键3.记为等差数列的前n项和已知，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】等差数列通项公式与
2、前n项和公式本题还可用排除，对B，排除B，对C，排除C对D，排除D，故选A【详解】由题知，解得，故选A【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断4.已知是第三象限角，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由诱导公式可以求出角的正弦值，再由同角的正弦值与余弦值的平方和为1这一关系，可求出的余弦值，最后运用二倍角正弦公式求出【详解】 ， 是第三象限角故本题选A【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式、同角正弦函数与余弦函数的关系、二倍角公式5
3、.已知向量均为单位向量，它们的夹角为60，则（）A. B. C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】计算，得到答案.【详解】，故.故选：.【点睛】本题考查了向量模的计算，意在考查学生的计算能力.6.己知是定义在上的偶函数，在区间为增函数，且，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合函数的奇偶性与单调性得f（x）在0，+）上为减函数，由f（3）0，可得f （12x）0f （12x）f（3）|12x|3，解得x的取值范围即可【详解】根据题意，因为f（x）是定义在上的偶函数，且在区间（一，0为增函数，所以函数f（x）在0，+）上为减函数，由f（3）0，则不等式f
4、 （12x）0f （12x）f（3）|12x|3，解可得：1x2，即不等式的解集为（1，2）.故选B【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题7.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为（ ）.A. 24里B. 12里C. 6里D. 3里【答案】C【解析】【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由求得首
5、项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程【详解】解：记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，得，解得：，故选C【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前项和，是基础的计算题8.若实数x，y满足则z3x2y的最大值为（）A. 7B. 6C. D. 9【答案】A【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，根据图像知：当时，有最大值为.故选：.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.9.已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=A. -3B. -2C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】根据向量三角形法
6、则求出t，再求出向量的数量积.【详解】由，得，则，故选C【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大10.在中，角、的对边分别为、，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由正弦定理可推导出的取值，再利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理可得：即 本题正确选项：【点睛】本题考查正弦定理和二倍角公式的应用，属于基础题.11.函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）A. B. 5C. D. 【答案】C【解析】令，则可得：，据此可得：点在直线上，故：，则：.当且仅当时等号成立.综上可得：的最小值为.本题选择C选项.点睛：在应
7、用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误12. 恒成立，则下列各式恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，求出，得到该函数为R上的增函数，故得，从而可得到结论【详解】设，所以=因为对于，所以，所以是R上的增函数，所以，即，整理得和故答案选B【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，导数的运算法则的应用，属于中档题第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知函数，若，则实数的值是_【答案】【解析】【分析】解方程即得a的
8、值.【详解】 ，因为所以解得a故答案【点睛】本题主要考查分段函数求值，考查指数对数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.的内角的对边分别为.若，则的面积为_.【答案】【解析】【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查【详解】由余弦定理得，所以，即解得（舍去）所以，【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算15.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值
9、为_【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义求出，然后将所给齐次式转化为只含有的形式后求解即可【详解】由得，故故答案为【点睛】本题以对数的几何意义为载体考查三角求值，对于含有的齐次式的求值问题，一般利用同角三角函数关系式转化为关于的形式后再求解，这是解答此类问题时的常用方法，属于基础题16.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)若当x3,0时，f(x)6x，则f(919)_.【答案】6【解析】【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简，再代入求值.【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知,是周期函数,且,所以 .【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.三
10、、解答题（本大题共6小题）17.已知向量.(1)若，求的值；(2)当时，求与夹角的余弦值【答案】（1）-3；（2）.【解析】【分析】(1)根据向量平行的坐标关系求得 (2)根据向量的数量积运算求得夹角.【详解】解(1)由题意，得因为，所以，解得.(2)当时，设与的夹角为，则.所以与夹角的余弦值为.【点睛】本题考查向量的平行关系和向量数量积运算，属于基础题.18.已知函数.（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）在中，角的对边分别为，若，求的值.【答案】（1），； （2）.【解析】【分析】（1）利用倍角公式降幂化一，可求周期和单调区间.（2）由求出C的值，结合正余弦定理求得a，b的值【详解
11、】（1），周期为.因为，所以，所以所求函数的单调递减区间为.（2）因为，又，所以，所以，又因为，由正弦定理可得，由可得.【点睛】本题考查了三角函数的倍角公式，考查了y=asin+bcos型的化一问题，训练了正余弦定理在解三角形中的应用，是中档题19.已知数列an的前n项和Sn满足Sn2ann（nN*）（1）证明：数列an1为等比数列；（2）若数列bn为等差数列，且b3a2，b7a3，求数列前n项和Tn.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）化简得到，计算得到证明.（2）计算，故，利用裂项求和法计算得到答案.【详解】（1），当时，；当时，两式相减得到，.，验证满足.故为首项为，公
12、比为的等比数列.（2），故，解得，故，故.【点睛】本题考查了等比数列的证明，裂项求和法计算前项和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.20.已知an是等差数列，bn是各项均为正数的等比数列，且b1a11，b3a4，b1b2b3a3a4.(1)求数列an，bn通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和Tn.【答案】(1)；(2)Tn(n1)2n1.【解析】试题分析：（1）设数列的公差为，的公比为，运用等差数列和等比数列的通项公式，可得的方程组，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；（2）求得，运用乘公比错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求的和.试题解析：(
13、1)设数列an的公差为d，bn的公比为q，依题意得解得d1，q2.所以an1(n1)1n，bn12n12n1.(2)由(1)知cnanbnn2n1，则Tn120221322n2n1，2Tn220222(n1)2n1n2n，得：Tn121222n1n2nn2n(1n)2n1，所以Tn(n1)2n1.21.在中，角的对边的边长为，且（1）求的大小；（2）若，且，求边长的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）运用正弦定理将条件中的边化为角，进行三角恒等变形，可得；（2）运用余弦定理，三角形的面积公式结合条件，即求【详解】（1）由正弦定理得 又因为在三角形中，可得，又，所以. ， 【点睛】本题
14、主要考查三角形正弦定理、余弦定理和三角函数的恒等变换公式，及三角形面积属于中档题22.已知函数f（x）=lnxax，其中a为实数 （1）求出f（x）的单调区间；（2）在a1时，是否存在m1，使得对任意的x（1，m）,恒有f（x）+a0，并说明理由.【答案】（1）答案见解析；（2）在a1时，存在m1，使得对任意x（1，m）恒有f（x）+a0理由见解析【解析】【分析】（1）对函数求导，并分a0和a0两种情况讨论可求出结果；（2）结合（1）将a1分为a0和两种情况进行讨论即可【详解】（1）f（x）=lnxax， ，当a0时，f（x）0恒成立，函数f(x)在定义域（0，+）递增；无减区间当a0时，令f（x）=0，则x= ，当x（0，）时，f（x）0，函数为增函数，当x（，+）时，f（x）0，函数为减函数 （2）在a1时，存在m1，使得对任意的x（1，m）恒有f（x）+a0理由如下：由（1）得当a0时，函数f(x)在（1，m）递增， 即f（x）+a0综上可得：在a1时，存在m1，使得对任意x（1，m）恒有f（x）+a0【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及恒成立问题，着重考查了转化思想，分类讨论思想，及学生的运算能力、推理能力属于中档题