1、第三节 函数的奇偶性与周期性【知识梳理】1.函数的奇偶性 奇偶性条件图象特点偶函数对于函数f(x)的定义 域内任意一个x,都有 _关于_对称奇函数对于函数f(x)的定义 域内任意一个x,都有 _关于_对称f(-x)=f(x)y轴 f(-x)=-f(x)原点 2.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当x取定义域内的任何值时,都有_,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周 期.f(x+T)=f(x)(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中 _的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.存在一个最小【特别提醒】1.函数奇偶性常
2、用结论(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义内有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.2.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x:(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a0).(2)若f(x+a)=则T=2a(a0).(3)若f(x+a)=则T=2a(a0).1f x，1f x，【小题快练】链接教材 练一练 1.(必修1P39A组T6改编)已知函数f(x)是定义在R上的 奇函数,且当x0时,f(x)=则f(-1)等于()A.-2
3、B.0 C.1 D.2【解析】选A.f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2.21xx，2.(必修1P39A组T6改编)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x0时,f(x)=x2-4x,那么,不等式f(x+2)5的解集是 .【解析】方法一:当x0时,-x0,f(-x)=(-x)2-4(-x)=x2+4x,又f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=x2+4x,当 x-2,+)时,x+20,f(x+2)=(x+2)2-4(x+2)5,解得:-3x3,所以-2x3;当x(-,-2)时,x+20,f(x+2)=(x+2)2+4(x+2)5,解得-7x-1,所以-7x-2.综上可得-7x3,故f(
4、x+2)5的解集是x|-7x3.方法二:如图所示,可知f(x)5的解集为x|-5x5,所以-5x+25,即-7x3,故f(x+2)5的解集为x|-7x3.答案:x|-7x0,且a1);2xln 2x；x11a12f(x)=其中是奇函数的为 .(只填序号)22x2,x0,0,x0,x2,x0.【解析】由于f(x)=x2-|x|+1,x-1,4的定义域不 是关于原点对称的区间,因此,f(x)是非奇非偶函数;f(x)的定义域为(-2,2);所以函数f(x)为奇函数.2x2xfxlnlnf x2x2x ，因为f(x)的定义域为x|xR,且x0,其定义域关 于原点对称,并且有f(-x)=即f(-x)=-
5、f(x),所以f(x)为奇函数;xxxx1111a11a1221 a21axxx(1 a)111111 a21 a2 x11()f xa12 f(x)的定义域为R,关于原点对称,当x0时,f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x);当x0在-1,3上的解集为()A.(1,3)B.(-1,1)C.(-1,0)(1,3)D.(-1,0)(0,1)【解析】选C.f(x)的图象如图.当x(-1,0)时,由xf(x)0得 x(-1,0);当x(0,1)时,由xf(x)0得x(1,3).故x(-1,0)(1,3).2.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间-1,1 上,f(x)=其中
6、a,bR.若 则a+3b的值为 .ax1,1x0,bx2,0 x1,x1 13f()f()22，【解析】因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数,所以f(-1)=f(1),即-a+1=又因为 所以 联立,解得a=2,b=-4,所以a+3b=-10.答案:-10 b2.2311f()f()a1222 ，13f()f()22，1b4a1.23 3.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=且f(1)=3,则f(2017)=.3f(x)2，【解析】因为f(x)=所以f(x+3)=所以f(x)是以3为周期的周期函数.则f(2017)=f(6723+1)=f(1)=3.答案:3 3f(x)2，33f(x
7、)22 3f(x)f x2 考向三 函数奇偶性的应用 【考情快递】命题方向命题视角单调性与奇偶性结合主要考查利用单调性及奇偶性求变量的值或取值范围,属容易题周期性与奇偶性结合主要考查周期性与奇偶性的性质,属容易题已知函数的奇偶性求参数主要考查利用函数的奇偶性,确定参数值或取值范围,属中档题【考题例析】命题方向1:单调性与奇偶性结合【典例3】(2014全国卷)已知偶函数 f(x)在0,+)上单调递减,f(2)=0.若 f(x-1)0,则x的取值范围是 .(真题溯源:本题源自A版必修1P39B组T3)【解题导引】利用偶函数的性质f(x)=f(|x|)解题.【规范解答】因为f(x)为偶函数,所以f(
8、-x)=f(x)=f(|x|),故不等式f(x-1)0可化为f(|x-1|)0.因为f(x)在0,+)上单调递减,且f(2)=0,所以|x-1|2.即-2x-12,解得-1x3.所以x的取值范围是(-1,3).答案:(-1,3)【一题多解】解答本题,你知道有几种解法?解答本题还有以下解法:因为f(x)为偶函数,且f(2)=0,所以f(-2)=0,作出f(x)的大致图象,由图象可知,当-2x-10,所以x的取值范围是(-1,3).答案:(-1,3)命题方向2:周期性与奇偶性结合【典例4】(2016枣庄模拟)已知f(x)是R上的奇函数,f(1)=2,且对任意xR,都有f(x+6)=f(x)+f(3
9、)成立,则f(2015)=.【解题导引】利用已知条件和函数的奇偶性,判断函数f(x)的周期,再求f(2015).【规范解答】因为f(x)是R上的奇函数,且f(x+6)=f(x)+f(3),所以f(-3+6)=f(-3)+f(3)=0,所以f(3)=0,所以f(x+6)=f(x),即函数f(x)是周期为6的函数,所以f(2015)=f(5),又f(5)=f(-1+6)=f(-1)=-f(1)=-2,所以f(2015)=-2.答案:-2 命题方向3：已知函数的奇偶性求参数【典例5】(2015全国卷)若函数f(x)=为偶函数，则a=_.(真题溯源：本题源自A版必修1P83B组T3)2xln(xax)
10、【解题导引】f(x)=为偶函数，即y=是奇函数，利用=0确定a的值.2xln(xax)2ln(xax)22ln(xax)ln(xax)【规范解答】由题意知 是奇函数，所以 =ln a=0，解得a=1.答案：1 2yln(xax)2222ln(xax)ln(xax)ln(axx)【一题多解】解答本题还有以下解法：因为y=x是奇函数，要使f(x)为偶函数，只需g(x)=为奇函数，则有g(0)=0，解得a=1.答案：a=1 2ln(xax)ln a【技法感悟】函数奇偶性的问题类型及解题思路(1)函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.(2)周期性与奇偶性结合
11、.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行交换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.(3)已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值:常常利用待定系数法,利用f(x)f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程求解.【题组通关】1.(2016淄博模拟)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)0的解集是()A.(-3,0)(3,+)B.(-3,0)(0,3)C.(-,-3)(3,+)D.(-,-3)(0,3)【解析】选D.因为f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x),所
12、以由题意知,当x0,所以f(x)g(x)在(-,0)上是增函数,又g(-3)=0,所以f(-3)g(-3)=0,所以当x-3时,f(x)g(x)0,当-3x0,又因为f(x),g(x)分别是R上的奇函数和偶函数,所以f(x)g(x)为R上的奇函数,其图象关于原点对称,所以当x0且0 x3时,f(x)g(x)0,所以不等式f(x)g(x)0,则()A.f(2x)+f(3y)0 B.f(2x)+f(3y)0 C.f(2x)+f(3y)0 3f(x)f(y)20,2x3y【解析】选C.由 得 令x1=x,x2=则 故函数f(x)在R上是减函数,由2x+3y0,得2x-3y.所以f(2x)f(-3y)=-f(3y),即f(2x)+f(3y)0.3f(x)f(y)20,2x3y3f(x)f(y)20,3x(y)2 3 y,21212f xf x0,xx3.(2014安徽高考)若函数f(x)(xR)是周期为4的奇 函数,且在0,2上的解析式为f(x)=则 =.x(1x),0 x1,sin x,1x2，2941f()f()46【解析】2941f()f()461317f(4)f(4)461317f()f()4637f(4)f(4)4637f()f()46答案：37f()f()46 337(1)sin446 315.16216 516