1、2017年高考真题分类汇编（理数）：专题3 三角与向量一、单选题（共8题；共16分）1、（2017山东）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（） A、a=2bB、b=2aC、A=2BD、B=2A2、（2017天津）设函数f（x）=2sin（x+），xR，其中0，|x若f（ ）=2，f（ ）=0，且f（x）的最小正周期大于2，则（） A、= ，= B、= ，= C、= ，= D、= ，= 3、（2017北京卷）设 ， 为非零向量，则“存在负数，使得 = ”是 0”的（） A
2、、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件4、（2017新课标卷）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+ ），则下面结论正确的是（） A、把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2B、把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C2C、把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2D、把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C25、（2
3、017新课标）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若 = + ，则+的最大值为（ ） A、3B、2 C、D、26、（2017新课标）设函数f（x）=cos（x+ ），则下列结论错误的是（ ） A、f（x）的一个周期为2B、y=f（x）的图象关于直线x= 对称C、f（x+）的一个零点为x= D、f（x）在（ ，）单调递减7、（2017浙江）如图，已知平面四边形ABCD，ABBC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1= ，I2= ，I3= ，则（ ）A、I1I2I3B、I1I3I2C、I3I1I2D、I2I1I38、（2017新课标）已
4、知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 （ + ）的最小值是（ ） A、2B、 C、 D、1二、填空题（共9题；共10分）9、（2017浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6 ， S6=_ 10、（2017江苏）若tan（ ）= 则tan=_ 11、（2017山东）已知 ， 是互相垂直的单位向量，若 与 + 的夹角为60，则实数的值是_ 12、（2017天津）在ABC中，A=60，AB=3，AC=2
5、若 =2 ， = （R），且 =4，则的值为_ 13、（2017浙江）已知ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则BDC的面积是_，comBDC=_ 14、（2017北京卷）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sin= ，则cos（）=_ 15、（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为1，1， ， 与 的夹角为，且tan=7， 与 的夹角为45若 =m +n （m，nR），则m+n=_16、（2017新课标卷）已知向量 ， 的夹角为60，| |=2，| |=1，则| +2 |=_ 17、（201
6、7新课标）函数f（x）=sin2x+ cosx （x0， ）的最大值是_ 三、解答题（共10题；共57分）18、（2017山东）设函数f（x）=sin（x ）+sin（x ），其中03，已知f（ ）=0（12分）（）求；（）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在 ， 上的最小值 19、（2017天津）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知ab，a=5，c=6，sinB= （）求b和sinA的值；（）求sin（2A+ ）的值 20、（2017浙江）已知函数f（x）=sin2xc
7、os2x2 sinx cosx（xR）（）求f（ ）的值（）求f（x）的最小正周期及单调递增区间 21、（2017浙江）已知向量 、 满足| |=1，| |=2，则| + |+| |的最小值是_，最大值是_ 22、（2017北京卷）在ABC中，A=60，c= a（13分） (1)求sinC的值； (2)若a=7，求ABC的面积 23、（2017江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为32cm，容器的底面对角线AC的长为10 cm，容器的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm分别在容器和容器中注入水，水深均为12cm现有一根玻璃棒l，其长度为40cm（
8、容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（）将l放在容器中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（）将l放在容器中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度24、（2017江苏）已知向量 =（cosx，sinx）， =（3， ），x0，（）若 ，求x的值；（）记f（x）= ，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值 25、（2017新课标卷）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为 （12分） (1)求sinBsinC； (2)若6cosBcosC=1，a=3，求ABC的周长 26、（2017新课标）ABC的内角A，B
9、，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2 （）求cosB；（）若a+c=6，ABC面积为2，求b 27、（2017新课标）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ cosA=0，a=2 ，b=2（）求c；（）设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积 答案解析部分一、单选题1、【答案】A 【考点】两角和与差的正弦函数，正弦定理，三角形中的几何计算 【解析】【解答】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB，可得
10、：2sinBcosC=sinAcosC，因为ABC为锐角三角形，所以2sinB=sinA，由正弦定理可得：2b=a故选：A【分析】利用两角和与差的三角函数化简等式右侧，然后化简通过正弦定理推出结果即可 2、【答案】A 【考点】三角函数的周期性及其求法，由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 【解析】【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2，得 ，又f（ ）=2，f（ ）=0，得 ，T=3，则 ，即 f（x）=2sin（x+）=2sin（ x+），由f（ ）= ，得sin（+ ）=1+ = ，kZ取k=0，得= ，= 故选：A【分析】由题意求得 ，再由周期公式求得，最后由若f（ ）=2求得
11、值 3、【答案】A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，向量数乘的运算及其几何意义，平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】【解答】解： ， 为非零向量，存在负数，使得 = ，则向量 ， 共线且方向相反，可得 0反之不成立，非零向量 ， 的夹角为钝角，满足 0，而 = 不成立 ， 为非零向量，则“存在负数，使得 = ”是 0”的充分不必要条件故选：A【分析】 ， 为非零向量，存在负数，使得 = ，则向量 ， 共线且方向相反，可得 0反之不成立，非零向量 ， 的夹角为钝角，满足 0，而 = 不成立即可判断出结论 4、【答案】D 【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换 【解析】【解答】
12、解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到函数y=cos2（x ）=cos（2x ）=sin（2x+ ）的图象，即曲线C2 ， 故选：D【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可 5、【答案】A 【考点】向量在几何中的应用 【解析】【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，BC=2，CD=1，BD= = BCCD= BDr，r= ，圆的方程为（x1）
13、2+（y2）2= ，设点P的坐标为（ cos+1， sin+2）， = + ，（ cos+1， sin2）=（1，0）+（0，2）=（，2）， cos+1=， sin+2=2，+= cos+ sin+2=sin（+）+2，其中tan=2，1sin（+）1，1+3，故+的最大值为3，故选：A【分析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（ cos+1， sin+2），根据 = + ，求出，根据三角函数的性质即可求出最值 6、【答案】D 【考点】三角函数的周期性及其求法，余弦函数的图象，余弦函数的单调性，余弦函数的对称性 【解析
14、】【解答】解：A函数的周期为2k，当k=1时，周期T=2，故A正确，B当x= 时，cos（x+ ）=cos（ + ）=cos =cos3=1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x= 对称，故B正确，C当x= 时，f（ +）=cos（ + ）=cos =0，则f（x+）的一个零点为x= ，故C正确，D当 x时， x+ ，此时余弦函数不是单调函数，故D错误，故选：D【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可 7、【答案】C 【考点】平面向量数量积的运算 【解析】【解答】解：ABBC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC=2 ，AOB=COD90，由图象知OAOC，OBOD，0 ， 0，即
15、I3I1I2 ， 故选：C【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可 8、【答案】B 【考点】平面向量数量积的运算 【解析】【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0， ），B（1，0），C（1，0），设P（x，y），则 =（x， y）， =（1x，y）， =（1x，y），则 （ + ）=2x22 y+2y2=2x2+（y ）2 当x=0，y= 时，取得最小值2（ ）= ，故选：B【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可 二、填空题9、【答案】【考点】模拟方法估计概率 【解析】【解答】解：如图所示，单位圆的半径为1
16、，则其内接正六边形ABCDEF中，AOB是边长为1的正三角形，所以正六边形ABCDEF的面积为S6=6 11sin60= 故答案为： 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积 10、【答案】 【考点】两角和与差的正切函数 【解析】【解答】解：tan（ ）= = = 6tan6=tan+1，解得tan= ，故答案为： 【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可 11、【答案】【考点】平面向量数量积的运算 【解析】【解答】解： ， 是互相垂直的单位向量，| |=| |=1，且 =0；又 与 + 的夹角为60，（ ）（ + ）=| | + |cos60，即 +（ 1） = ，化
17、简得 = ，即 = ，解得= 故答案为： 【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出的值 12、【答案】【考点】向量的加法及其几何意义，向量的减法及其几何意义，向量数乘的运算及其几何意义，数量积的坐标表达式，平面向量数量积的运算 【解析】【解答】解：如图所示，ABC中，A=60，AB=3，AC=2，=2 ， = + = + = + （ ）= + ，又 = （R）， =（ + ）（ ）=（ ） + =（ ）32cos60 32+ 22=4， =1，解得= 故答案为： 【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用 、 表示出 ，再根据平面向量的数量积 列出方程求出的值 1
18、3、【答案】；【考点】二倍角的余弦，三角形中的几何计算 【解析】【解答】解：如图，取BC得中点E，AB=AC=4，BC=2，BE= BC=1，AEBC，AE= = ，SABC= BCAE= 2 = ，BD=2，SBDC= SABC= ，BC=BD=2，BDC=BCD，ABE=2BDC在RtABE中，cosABE= = ，cosABE=2cos2BDC1= ，cosBDC= ，故答案为： ， 【分析】如图，取BC得中点E，根据勾股定理求出AE，再求出SABC ， 再根据SBDC= SABC即可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出 14、【答案】 【考点】同角三角函数基本关系的运用，运用
19、诱导公式化简求值，两角和与差的余弦函数 【解析】【解答】解：方法一：角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，sin=sin= ，cos=cos，cos（）=coscos+sinsin=cos2+sin2=2sin21= 1= 方法二：sin= ，当在第一象限时，cos= ，角的终边关于y轴对称，在第二象限时，sin=sin= ，cos=cos= ，cos（）=coscos+sinsin= + = ：sin= ，当在第二象限时，cos= ，角的终边关于y轴对称，在第一象限时，sin=sin= ，cos=cos= ，cos（）=coscos+sinsin= + = 综上所述cos（）= ，故
20、答案为： 【分析】方法一：根据教的对称得到sin=sin= ，cos=cos，以及两角差的余弦公式即可求出方法二：分在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出 15、【答案】3 【考点】平面向量的基本定理及其意义，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的余弦函数，两角和与差的正弦函数 【解析】【解答】解：如图所示，建立直角坐标系A（1，0）由 与 的夹角为，且tan=7cos= ，sin= C cos（+45）= （cossin）= sin（+45）= （sin+cos）= B =m +n （m，nR）， =m n， =0+ n，解得n= ，m= 则m+n=3故
21、答案为：3【分析】如图所示，建立直角坐标系A（1，0）由 与 的夹角为，且tan=7可得cos= ，sin= C 可得cos（+45）= sin（+45）= B 利用 =m +n （m，nR），即可得出 16、【答案】【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 【解析】【解答】解：向量 ， 的夹角为60，且| |=2，| |=1， = +4 +4 =22+421cos60+412=12，| +2 |=2 故答案为：2 【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可 17、【答案】1 【考点】二次函数在闭区间上的最值，同角三角函数间的基本关系，三角函数的最值 【解析】【解答】解：f（x）=sin2x+
22、 cosx =1cos2x+ cosx ，令cosx=t且t0，1，则f（t）=t2+ + =（t ）2+1，当t= 时，f（t）max=1，即f（x）的最大值为1，故答案为：1【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出 三、解答题18、【答案】解：（）函数f（x）=sin（x ）+sin（x ）=sinxcos cosxsin sin（ x）= sinx cosx= sin（x ），又f（ ）= sin（ ）=0， =k，kZ，解得=6k+2，又03，=2；（）由（）知，f（x）= sin（2x ），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y
23、= sin（x ）的图象；再将得到的图象向左平移 个单位，得到y= sin（x+ ）的图象，函数y=g（x）= sin（x ）；当x ， 时，x ， ，sin（x ） ，1，当x= 时，g（x）取得最小值是 = 【考点】运用诱导公式化简求值，两角和与差的正弦函数，正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（x+）的图象变换 【解析】【分析】（）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（ ）=0求出的值；（）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x ， 时g（x）的最小值 19、【答案】解：（）在ABC中，ab，故由sinB= ，可得cosB= 由已知及余弦定理，有
24、=13，b= 由正弦定理 ，得sinA= b= ，sinA= ；（）由（）及ac，得cosA= ，sin2A=2sinAcosA= ，cos2A=12sin2A= 故sin（2A+ ）= = 【考点】同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数，正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算 【解析】【分析】（）由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB，再由余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinA；（）由同角三角函数基本关系式求得cosA，再由倍角公式求得sin2A，cos2A，展开两角和的正弦得答案 20、【答案】解：函数f（x）=sin2xcos2x2 sinx cosx= sin2xcos
25、2x=2sin（2x+ ）（）f（ ）=2sin（2 + ）=2sin =2，（）=2，故T=，即f（x）的最小正周期为，由2x+ +2k， +2k，kZ得：x +k， +k，kZ，故f（x）的单调递增区间为 +k， +k，kZ 【考点】复合函数的单调性，三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的化简求值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性 【解析】【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，（）代入可得：f（ ）的值（）根据正弦型函数的图象和性质，可得f（x）的最小正周期及单调递增区间 21、【答案】4；【考点】函数的最值及其几何意义，向量的模，余弦定理，三角函数的最值 【解析
26、】【解答】解：记AOB=，则0，如图，由余弦定理可得：| + |= ，| |= ，令x= ，y= ，则x2+y2=10（x、y1），其图象为一段圆弧MN，如图，令z=x+y，则y=x+z，则直线y=x+z过M、N时z最小为zmin=1+3=3+1=4，当直线y=x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知zmax即为原点到切线的距离的 倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的 倍，所以zmax= = 综上所述，| + |+| |的最小值是4，最大值是 故答案为：4、 【分析】通过记AOB=（0），利用余弦定理可可知| + |= 、| |= ，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论 22、【答案
27、】（1）解：A=60，c= a，由正弦定理可得sinC= sinA= = ，（2）解：a=7，则c=3，CA，由（1）可得cosC= ，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC= + = ，SABC= acsinB= 73 =6 【考点】同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数，正弦定理，三角形中的几何计算 【解析】【分析】（1.）根据正弦定理即可求出答案，（2.）根据同角的三角函数的关系求出cosC，再根据两角和正弦公式求出sinB，根据面积公式计算即可 23、【答案】解：（）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面ACM中，过N作NPMC，交A
28、C于点P，ABCDA1B1C1D1为正四棱柱，CC1平面ABCD，又AC平面ABCD，CC1AC，NPAC，NP=12cm，且AM2=AC2+MC2 ， 解得MC=30cm，NPMC，ANPAMC， = ， ，得AN=16cm玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm（）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面E1EGG1中，过点N作NPEG，交EG于点P，过点E作EQE1G1 ， 交E1G1于点Q，EFGHE1F1G1H1为正四棱台，EE1=GG1 ， EGE1G1 ， EGE1G1 ， EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，E1G1=62cm，EG=14cm，E
29、Q=32cm，NP=12cm，E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，sinEE1G1= ，sinEGM=sinEE1G1= ，cos ，根据正弦定理得： = ，sin ，cos ，sinGEM=sin（EGM+EMG）=sinEGMcosEMG+cosEGMsinEMG= ，EN= = =20cm玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm【考点】正弦定理，棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质 【解析】【分析】（）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NPMC，交AC于点P，推导出CC1平面ABCD，CC1AC，NPAC，求出MC=30cm
30、，推导出ANPAMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度（）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NPEG，交EG于点P，过点E作EQE1G1 ， 交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sinGEM= ，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度 24、【答案】解：（） =（cosx，sinx）， =（3， ）， ， cosx+3sinx=0，tanx= ，x0，x= ，（）f（x）= =3cosx sinx=2 （ cosx sinx）=2 cos（x+ ），x0，x+ ， ，1cos（x+ ） ，当x=0时，f
31、（x）有最大值，最大值3，当x= 时，f（x）有最小值，最大值2 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示，平面向量数量积的运算，同角三角函数间的基本关系，三角函数中的恒等变换应用，三角函数的最值 【解析】【分析】（）根据向量的平行即可得到tanx= ，问题得以解决，（）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出 25、【答案】（1）解：由三角形的面积公式可得SABC= acsinB= ，3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，sinA0，sinBsinC= ；（2）解：6cosBcosC=1，cosBcosC= ，cosBcosCsinB
32、sinC= = ，cos（B+C）= ，cosA= ，0A，A= ， = = =2R= =2 ，sinBsinC= = = = ，bc=8，a2=b2+c22bccosA，b2+c2bc=9，（b+c）2=9+3cb=9+24=33，b+c= 周长a+b+c=3+ 【考点】两角和与差的余弦函数，正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算 【解析】【分析】（1.）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，（2.）根据两角余弦公式可得cosA= ，即可求出A= ，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决 26、【答案】解：（）sin（A+C）=8sin2 ，sinB=4（1co
33、sB），sin2B+cos2B=1，16（1cosB）2+cos2B=1，（17cosB15）（cosB1）=0，cosB= ；（）由（1）可知sinB= ，SABC= acsinB=2，ac= ，b2=a2+c22accosB=a2+c22 =a2+c215=（a+c）22ac15=361715=4，b=2 【考点】同角三角函数间的基本关系，运用诱导公式化简求值，二倍角的正弦，余弦定理，三角形中的几何计算 【解析】【分析】（）利用三角形的内角和定理可知A+C=B，再利用诱导公式化简sin（A+C），利用降幂公式化简8sin2 ，结合sin2B+cos2B=1，求出cosB，（）由（1）可知s
34、inB= ，利用勾面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求出b 27、【答案】解：（）sinA+ cosA=0，tanA= ，0A，A= ，由余弦定理可得a2=b2+c22bccosA，即28=4+c222c（ ），即c2+2c24=0，解得c=6（舍去）或c=4，（）c2=b2+a22abcosC，16=28+422 2cosC，cosC= ，sinC= ，tanC= 在RtACD中，tanC= ，AD= ，SACD= ACAD= 2 = ，SABC= ABACsinBAD= 42 =2 ，SABD=SABCSADC=2 = 【考点】同角三角函数基本关系的运用，余弦定理的应用，三角形中的几何计算 【解析】【分析】（）先根据同角的三角函数的关系求出A，再根据余弦定理即可求出，（）先根据夹角求出cosC，求出AD的长，再求出ABC和ADC的面积，即可求出ABD的面积