1、 扬州中学高三数学综合练习 2016.1.3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1已知集合 2. 若复数满足（其中i为虚单位），则 3一组数据8,12，x，11，9的平均数是10，则这样数据的方差是 4从内任意取两个实数，这两个数的平方和小于1的概率为 5.如图是一个算法的流程图，则最后输出的 6.在等比数列中，则 7.用半径为cm，面积为cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是 cm3 8设为互不重合的平面，是互不重合的直线，给出下列四个命题： 若； 其中正确命题的序号为 9在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为
2、4，若渐近线恰好是曲线在原点处的切线，则双曲线的标准方程为 10.已知是定义在R上的函数，满足，当时，则的值为 11.在等腰梯形中,则 的值为 12.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，的三个顶点都在抛物线上，并且的重心是抛物线的焦点，边所在的直线方程为，则抛物线的方程为 13. 设函数，若函数恰好有两个不同的零点，则实数的取值范围为 14. 已知为的三个内角, 向量,.如果当最大时,存在动点, 使得成等差数列, 则的最大值是 二、解答题：本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）已知向量，函数,（1）求函数的最小正周期；（2）在中，a、b、c分
3、别是角A、B、C的对边，若的面积为，求边的长度.16（本小题满分14分） 如图,在三棱锥中,平面，,点,分别为,的中点.(1)求证: 平面平面;(2)若在线段上,且平面,求的值.17(本小题满分14分) 如图所示的一个不规则形铁片，其缺口边界是口宽4分米，深2分米（顶点至两端点 所在直线的距离）的抛物线形的一部分，现要将其缺口边界裁剪为等腰梯形（1）若保持其缺口宽度不变，求裁剪后梯形缺口面积的最小值；（2）若保持其缺口深度不变，求裁剪后梯形缺口面积的最小值 18（本小题满分16分）如图，已知椭圆的离心率为，点分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一动点（异于左右顶点），面积的最大值为1(1)求椭圆的
4、方程;(2)设四边形ABCD是矩形,且四条边都与椭圆相切，证明：满足条件的所有矩形的顶点都在一个定圆上，并写出该定圆的方程19(本小题满分16分) 已知函数（为常数），其图象是曲线（1）当时，求函数的单调递减区间；（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；（3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由20（本小题满分16分）已知数列满足，是数列 的前项和(1)若数列为等差数列（）求数列的通项公式；（）设数列满足，求证：当时都有.(2)若对任意，
5、不等式恒成立，求实数的取值范围高三数学附加题 2016.1(满分40分，考试时间30分钟)21. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵M满足：Miii，其中i(i1，2)是互不相等的实常数，ai(i1，2)是非零的平面列向量，11，2，求矩阵M22(选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，设直线与曲线210cos40相交于A、B两点，求线段AB中点的极坐标 23. 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立（1）分别求甲队以30，31，32获胜的概率；（2）若比赛结果为30或31，则胜利
6、方得3分、对方得0分；若比赛结果为32，则胜利方得2分、对方得1分求甲队得分X的分布列及数学期望 24已知整数n3，集合M1，2，3，n的所有含有3个元素的子集记为A1，A2，A3，设A1，A2，A3，中所有元素之和为Sn（1） 求S3，S4，S5，并求出Sn；（2）求和：S3S4S5Sn（注：可用组合数表示）扬州中学高三数学试卷答案2016.1.31 2. 3 4 5.366. 9 7. 8 9 10. 11. 3 12. 13. 14. 15 又平面平面平面 17解：（1）以抛物线顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则，从而边界曲线的方程为，因为抛物线在点处的切线斜率，所以，切线方
7、程为，与轴的交点为此时梯形的面积平方分米，即为所求 6分（2）设梯形腰所在直线与抛物线切于时面积最小 此时，切线方程为，其与直线相交于，与轴相交于 此时，梯形的面积，11分（这儿也可以用基本不等式，但是必须交代等号成立的条件）=0，得，当时，单调递减；当时，单调递增，故，当时，面积有最小值为 14分 18. 解：（1）椭圆的方程为5分(2)由题意知,矩形ABCD是椭圆的外切矩形,(i) 若矩形ABCD的边与坐标轴平行,则四个顶点满足. 6分(ii)若矩形ABCD的边与坐标轴不平行,则可设一组对边所在直线的方程为,则由消去y得,于是,化简得.所以矩形ABCD的一组对边所在直线的方程为,即, 则另
8、一组对边所在直线的方程为,于是矩形顶点坐标(x,y)满足,即,即. 综上得，满足条件的所有矩形的顶点在定圆上. 16分 注：仅写成结果而没有过错的给1分。19(1)当时， . 令f (x)0，解得，所以f(x)的单调减区间为4分 (2) ，由题意知消去，得有唯一解6分令，则，所以在区间，上是增函数，在上是减函数，又，故实数的取值范围是9分(3)设，则点处切线方程为，与曲线：联立方程组，得，即，所以点的横坐标由题意知，若存在常数，使得，则，即存在常数，使得，所以解得， 故时，存在常数，使；时，不存在常数，使16分20(1)（）因为，所以，即，又，所以，又因为数列成等差数列，所以，即，解得，所以；
9、4分（），是单调递增数列，故要证当时，只需证. 当时 ，显然成立； 当时，. 累加得，即 .综上，当时有. 9分（2）由知，两式作差，得，10分所以,作差得，11分所以，当时，；当时，；当时，；当时，；14分因为对任意，恒成立，所以且，所以，解得，故实数的取值范围为 16分高三数学附加题参考答案 2016.121. 解：由题意，1，2是方程f()2ab0的两根因为11，所以ab1.(2分)因为M222，所以2，从而(5分)所以ab1.因为12，所以21.从而ab1.(8分)故矩阵M.(10分) 22. 解：(解法1)将直线化为普通方程，得yx，将曲线210cos40化为普通方程，得x2y210
10、x40，(4分)联立并消去y，得2x25x20，解得x1，x22，所以AB中点的横坐标为，纵坐标为，(8分)化为极坐标为.(10分)(解法2)联立直线l与曲线C的方程组(2分)消去，得2540，解得11，24，(6分)所以线段AB中点的极坐标为，即.(10分)(注：将线段AB中点的极坐标写成(kZ)的不扣分)23. 解：(1) 记甲队以30，31，32获胜分别为事件A，B，C.由题意得P(A)，P(B)C，P(C)C.(5分)(2) X的可能取值为0，1，2，3.P(X3)P(A)P(B)，P(X2)P(C)，P(X1)C，P(X0)1P(1X3).所以X的分布列为X0123P从而E(X)0123.答：甲队以30，31，32获胜的概率分别为，.甲队得分X的数学期望为.(10分)24. (1) 解：当n3时，集合M只有1个符合条件的子集，S31236，(1分)当n4时，集合M每个元素出现了C次，S4C(1234)30，(2分)当n5时，集合M每个元素出现了C次，S5C(12345)90，(3分)所以，当集合M有n个元素时，每个元素出现了C次，故SnC.(5分)(2)因为SnC6C.(7分)则S3S4S5Sn6(CCCC)6(CCCC)6C.(10分)