1、2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理【知识提炼】1.平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个_ 结论 对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数 1，2，使_ 基底 _的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.不共线向量 a=1e1+2e2 不共线 2.两向量的夹角(1)定义：作向量 =a，=b，则_叫做向量a与b的夹角.(2)特例：=0，向量a，b_.=90，向量a，b_.=180，向量a，b_.OAOBAOB=(0 180)同向 垂直 反向【即时小测】1.思考下列问题.(1)任意两个向量都可以作为基底吗？提示：不能.若e1e2，则e1
2、=e2，对于任一向量a=a1e1+a2e2=(a1+a2)e2，所以a与e2共线，即只能表示与其共线的向量，所以作为基底的向量不能共线.(2)平面向量的基底是唯一的吗？提示：不是.平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底，当基底一旦确定后，平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示.2.当向量a与b共线时，则这两个向量的夹角 为()A.0 B.90 C.180 D.0或180【解析】选D.当向量a与b共线，即两向量同向时夹角=0，反向时夹角=180.3.设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是()A.e1与e2 B.e1+e2与2e1+2e2 C.e1与2e2 D
3、.e1+e2与e2【解析】选B.由于e1与e2不共线，所以e1与2e2不共线，e1+e2与e2不共线，故都可以作为基底，而2e1+2e2=2(e1+e2)，所以e1+e2与2e1+2e2共线，故不能作为基底.4.若a，b不共线，且la+mb=0(l，mR)，则l=_，m=_.【解析】因为0=0a+0b且a与b不共线，又0=la+mb，所以根据平面向量基本定理，可知l=m=0.答案：0 0【知识探究】知识点1 平面向量基本定理 观察图形，回答下列问题：问题1：判断两个向量能否作为基底的关键是什么？问题2：平面向量基本定理与向量的线性运算有何关系？【总结提升】1.对平面向量基本定理的两点说明(1)
4、作用和意义 平面向量基本定理告诉我们，平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的.(2)基底的性质：不共线性 平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底，基底不同，表示也不同.由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基底.不唯一性 对基底的选取不唯一，平面内任一向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的.2.平面向量基本定理与向量共线定理的联系 由平面向量共线定理可知，任意一个向量可以用一个与它共线的非零向量来线性表示，而且这种表示是唯一的，故平面向量基本定理是向量共线定理从一维到二维的推广.知识点2 两向
5、量的夹角 观察图形，回答下列问题：问题1：平面中任意两个向量都可以平移至公共起点，它们存在夹角吗？问题2：若存在夹角，向量的夹角与直线的夹角一样吗？两向量的夹角与直线的夹角范围有何不同？【总结提升】对向量的夹角的两点说明(1)向量夹角的几何表示：依据向量夹角的定义，两个非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点，这样它们所成的角才是向量的夹角.(2)注意事项：向量的夹角是针对非零向量定义的.向量的夹角与直线的夹角范围是不同的，它们分别是0，和 0.2，【题型探究】类型一 对平面向量基本定理的理解【典例】1.(2015黄石高一检测)已知平行四边形ABCD，下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的
6、是()A.AB DCB.AD BCC.BC CBD.AB DA，2.如果e1、e2是平面 内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是()a=e1+e2(，R)可以表示平面 内的所有向量；对于平面 内任一向量a，使a=e1+e2的实数对(，)有无穷多个；若向量 1e1+1e2与 2e1+2e2共线，则 若实数，使得 e1+e2=0，则=0.A.B.C.D.1122.3.设向量e1与e2不共线，若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2，则实数x，y的值分别为()A.0，0 B.1，1 C.3，0 D.3，4【解题探究】1.典例1中两个向量可以作为基底的条件是什么？提示：两个向量可
7、以作为基底的条件是两向量不共线.2.典例2中，平面向量基本定理应关注哪些要点？提示：(1)只要是同一平面内两不共线的向量都可以作为一组基底，所以基底不唯一，1，2唯一.(2)零向量与任意向量都共线，因此零向量不能作为基底.3.典例3中求x，y的依据是什么？提示：向量相等的条件.【解析】1.选D.由于 与 不共线，所以是一组基底.2.选B.由平面向量基本定理可知，是正确的对于，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的对于，当12=0或12=0时不一定成立，应为12-21=0.3.选D.因为向量e1与e2不共线，所以 解得 ABDA3x4y710y
8、2x，x3y4.，【方法技巧】1.对基底的理解(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线若共线，则不能作基底，反之，则可作基底(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a+y1b=x2a+y2b，则 1212xxyy.，2.重要结论 e1，e2是平面内一组基底 当 1e1+2e2=0时 恒有 1=2=0 若a=1e1+2e2 当 2=0时，a与e1共线 当 1=0时，a与e2共线 当 1=2=0时，a=0【变式训练】1.设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：e1与e1+e2；e1-
9、2e2与e2-2e1；e1-2e2与4e2-2e1；e1+e2与e1-e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的是_.(写出所有满足条件的序号)【解析】设e1+e2=e1，则 无解，所以e1+e2与e1不共线，即e1与e1+e2可作为一组基底；设e1-2e2=(e2-2e1)，则(1+2)e1-(2+)e2=0，则 无 解，所以e1-2e2与e2-2e1不共线，即e1-2e2与e2-2e1可作为一组基底；110 ，12020 ，因为e1-2e2=-(4e2-2e1)，所以e1-2e2与4e2-2e1共线，即e1-2e2与4e2-2e1不可作为一组基底；设e1+e2=(e1-e2)，则(1-)e
10、1+(1+)e2=0，所以 无解，所以e1+e2与e1-e2不共线，即e1+e2与e1-e2可作为一组基底.答案：121010 ，2.若向量a，b不共线，则c=2a-b，d=3a-2b，试判断c，d能否作为基底.【解析】设存在实数，使c=d，则2a-b=(3a-2b)，即(2-3)a+(2-1)b=0.由于向量a，b不共线，所以2-3=2-1=0，这样的是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底.类型二 用基底表示向量【典例】1.已知 =a，=b，C为线段AO上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用a，b表示 =_.OAOBOD2.如图，ABCD的对角线AC和
11、BD交于点M，=a，=b，试用基底a，b表示 ABADMC MA MB.，【解题探究】1.典例1中，与 两个向量有何关系，与 与 呢？提示：2.典例2中，与 的关系是什么？在ADB中，与 的关系如何？提示：与 互为相反向量，ODOC CD，CDCBCB，OBOC，1ODOCCD CDCB CBOBOC.3，MCMABDAD AB，MCMABDADAB.【解析】1.因为 答案：1ODOCCDOCCB31214141OC(OBOC)OCOBOAOB.3339393ab4193ab2.=a+b，=b-a.因为平行四边形的对角线互相平分，所以 =a+b.所以 =-a-b.=b-a.所以 =a-b.AC
12、ABADBDADAB1MCAC2MAMC 1MDBD2MBMD 1212121212121212【延伸探究】1.(变换条件，改变问法)本例2中其他条件不变，添加“”，试表示 1AFAB3MF.【解析】因为 ，所以 所以 1AFAB31AF3，a11111MFMAAFCAAF().22362 abaab2.(变换条件，改变问法)本例2中“若E，F分别是边CD与BC的中点，其中，R，则+的值如何？ACAEAF【解析】因为 所以 又a，b不共线，所以 ，解得 所以 11AFAEAC.22，abbaab1111ACAEAF()()()().2222 bababaab112112 ，2.3 4.3 【方
13、法技巧】平面向量基本定理的作用以及注意点(1)根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算.(2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量.【补偿训练】如图，梯形ABCD中，ABCD，且AB=2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若 =a，=b，试用a，b表示 ABADDC BC MN.，【解析】如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形.则 11DCANAB22，a11BCNCNBADAB22，ba1111MNCNC
14、MADCDAD(AB)2224 ab类型三 向量夹角的简单求解【典例】1.(2015韶关高一检测)已知向量a，b，c满足|a|=1，|b|=2，c=a+b，ca，则a，b的夹角等于_.2.已知两个非零向量a与b的夹角为60，试求下列向量的夹角：(1)a与-b；(2)2a与3b.【解题探究】1.典例1中，以a，b，c作为三角形的三边，结合c=a+b及ca，判断三角形的形状如何？提示：三角形为直角三角形.2.典例2中，-b的几何意义是什么？a与b的夹角与2a与3b的夹角之间的关系是什么？提示：-b是b的相反向量，a与b的夹角与2a与3b的夹角是相同的.【解析】1.作 =a，=b，则c=a+b=(如
15、图所示)，则a，b夹角为180-C.因为|a|=1，|b|=2,ca，所以C=60，所以a，b的夹角为120.答案：120 BCCABA2.由向量夹角的定义，作出a与b的夹角，(1)如图1，向量a与-b的夹角为120.(2)如图2，向量2a与3b的夹角为60.【延伸探究】若题(1)的已知条件中的“|b|=2”改为“|b|=”，其余条件都不变，则a，b的夹角又如何求解呢？2【解析】作 =a，=b，则c=a+b=(如图所示)，则a，b夹角为180-C.因为|a|=1，|b|=ca，所以C=45，所以a，b的夹角为135.2，BCCABA【方法技巧】两向量夹角的实质与求解方法(1)两向量夹角的实质：
16、从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决.(2)求解方法：利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.【变式训练】如图，已知ABC是等边三角形.(1)求向量 与向量 的夹角.(2)若E为BC的中点，求向量 与 的夹角 ABBCAEEC【解析】(1)因为ABC为等边三角形，所以ABC=60.如图，延长AB至点D，使AB=BD，则 ，所以DBC为向量 与 的夹角 因为DBC=120，所以向量 与 的夹角为120.(2)因为E为BC的中点，所以AEBC，所以 与 的夹角为90.ABBDABBCABBCAEEC【补偿训练】设非
17、零向量a，b，c满足|a|=|b|=|c|，a+b=c，则a与b的夹角=_.【解析】作 =a，=b，则 =a+b=c，如图所示，因为|a|=|b|=|c|，所以OAB是等边三角形，所以a与b的夹角=120.答案：120 OBOAABOAAB易错案例 求向量的夹角【典例】(2015漳州高一检测)在RtABC中，ABC=90，|=，|=1，则 与 的夹角=_.AB3CBABCB【失误案例】【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？提示：错误的根本原因是误认为ACB是 与 的夹角，其实不然，ACB是 与 的夹角，与 的起点不同，则ACB不是夹角 ACCBCBCAACCB【自我矫正】如图所示，延长AC到D，使AC=CD，则 ，BCD是 与 的夹角，由于BCD+ACB=180，ACB=60，则BCD=180-60=120，即=120.答案：120 ACCDACCB【防范措施】确定平面向量夹角的两个关注点(1)明确向量夹角的概念，根据夹角的概念确定夹角，解题时注意向量的方向，利用平移方法使两个向量的起点相同.(2)解题时注意结合平面图形知识求解向量夹角，确定夹角后注意结合图形进行检验，看是否符合.