1、第二节 函数的单调性与最值【知识梳理】1.增函数、减函数 增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的_两个自变量x1,x2当x1x2时,都有_,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时,都有_,那么就说函数f(x)在区间D上是减函数任意 f(x1)f(x2)增函数减函数图象2.单调性、单调区间的定义 若函数y=f(x)在区间D上是_或_,则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.增函数 减函数 3.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意xI,都有_
2、(2)存在x0I,使得f(x0)=M(1)对于任意xI,都 有_(2)存在x0I,使得f(x0)=M结论M为最大值M为最小值f(x)M f(x)M【特别提醒】1.增函数、减函数定义的变式 设任意x1,x2a,b且x1 B.m D.m 12121212【解析】选B.使y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则2m-10且a1)在-1,2上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)在(0,+)上是增函数,则a=()1111A.B.C.D.2438x【解析】选B.当a1时,有a2=4,a-1=m,此时a=2,m=,此时g(x)=-为减函数,不符合题意.当0af(x),则实数x的取值范围是
3、.3x,x0,ln x1,x0,【解析】函数y=x3在(-,0上是增函数,函数y=ln(x+1)在(0,+)上是增函数,且x0时,ln(x+1)0,所以f(x)在R上是增函数,由f(2-x2)f(x),得2-x2x,解得-2x0,所以u=6-ax为减函数,由题意知f(x)=logau为增函数,即a1,又6-2a0,所以a3,所以1a3.答案:(1,3)考向一 判断函数的单调性(区间)【典例1】(1)(2016济南模拟)函数y=f(x)(xR)的图象如图所示,则函数g(x)=f(logax)(0a1)的单调递减区间是()1A.0 B.a 121C.(0)D.aa12，(2)(2015上海高考改编
4、)判断并证明函数f(x)=ax2+(其中1a3)在x1,2上的单调性.【解题导引】(1)根据函数的图象,利用复合函数的单 调性的判断方法,确定函数的单调递减区间.(2)利用定义法或导数法进行判断.1x【规范解答】(1)选B.由图象知f(x)在(-,0和 上单调递减,而在 上单调递增.又因为当0a1时,y=logax为(0,+)上的减函数,所以要使g(x)=f(logax)单调递减,需要logax 即0logax 解得 x 1)2 ，102，10 2，12，a 1.，(2)设1x1x22，则 f(x2)-f(x1)=由1x10，2x1+x24，1x1x24，22212111axaxxx21121
5、21(xx)a xxx x，12111.x x4 又因为1a3，所以2a(x1+x2)0，从而f(x2)-f(x1)0，即f(x2)f(x1)，故当a(1,3)时，f(x)在1,2上单调递增.121x x【一题多解】因为f(x)=而x1,2,所以 又因为a(1,3),所以22ax0,故当a(1,3)时,f(x)在1,2上单调递增.212axx，2111x4 ，212ax0 x，【母题变式】1.若将本例题(1)中的“0a1”,则函数g(x)的单调递减区间如何?【解析】由典例1(1)解析知,需logax0或logax 解得x1或x 又因为x0,所以单调递减区间为(0,1,12，a，a).，2.在本
6、例题(1)中,将所求结论改为“若f(x)在a,+)上是减函数,求a的取值范围”.【解析】由图象知f(x)在(-,0和 上单调递 减,若f(x)在a,+)上是减函数,则a,+)所以 1,)2 1,).2 1a.2【规律方法】1.求复合函数y=f(g(x)的单调区间的步骤(1)确定函数的定义域.(2)将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x).(3)分别确定这两个函数的单调区间.(4)若这两个函数同增同减,则y=f(g(x)为增函数;若一增一减,则y=f(g(x)为减函数,即“同增异减”.2.利用定义法证明或判断函数单调性的步骤(1)取值:设x1,x2是定义区间内的任意两个值,且x10
7、时,f(x)=3-x为减函数;当x 时,f(x)=x2-3x为减函数,当x 时,f(x)=x2-3x为增函数;当x(0,+)时,f(x)=为增函数;当x(0,+)时,f(x)=-|x|为减函数.3(0)2，3()2 ，1x12.函数f(x)=-x2+2|x|+3的单调递减区间为 .【解析】因为f(x)=其图象如图所示,所以函数y=f(x)的单调递减区间 为-1,0和1,+).答案：-1,0和1,+)22x2x3x0,x2x3x0，3.判断并证明函数f(x)=(其中a0)在x(-1,1)上的单调性.2axx1【解析】方法一(定义法):设-1x1x21,则f(x1)-f(x2)=因为-1x1x20
8、,x1x2+10,(-1)(-1)0.122212axaxx1x1221212122212ax xaxax xax(x1)(x1)21122212a(xx)(x x1).(x1)(x1)21x22x因此,当a0时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),此时函数f(x)在(-1,1)上为减函数.方法二(导数法):f(x)=又因为a0,所以f(x)0,所以函数f(x)在(-1,1)上为减函数.2222222a(x1)2axa(x1).(x1)(x1)考向二 求函数的最值(值域)【典例2】(1)函数y=的最小值为 .(2)函数y=的值域为 .【解题导引】(1)利用换元法求解.(2)采用分
9、离变量法,即将分子变为2(x2-x+1)+1的形式,转化后求解.xx1222x2x3xx1【规范解答】(1)令 t0,则x=t2+1,所以y=t2+t+1=当t0时,由二次函数的性质可知,当t=0时,ymin=1.答案:1 x 1t ，213(t)24，(2)因为x2-x+1=所以 故值域为 答案：2222x2x31y2.xx1xx1213(x)24，211022.xx1310(2,.310(2,3【一题多解】解答本例题(2),你知道几种解法?解答本题,还有以下解法:去分母,整理,得(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0.当y2时,上式可看成是关于x的二次方程.若方程有实根,则=-(y-
10、2)2-4(y-2)(y-3)0,解得 102y.3当y=2时,方程无解.所以函数的值域为 答案:10(2,.310(2,3【易错警示】解答本例题(1)会出现以下错误:题目利用换元法求函数的最小值,易忽视换元后t的取值范围,从而造成求出的函数最小值缩小而致误.【规律方法】求函数最值的五种常用方法(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.(3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.(5)换元法:对
11、比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.【变式训练】用mina,b,c表示a,b,c三个数中的最小 值,则函数f(x)=min4x+1,x+4,-x+8的最大值是 .【解析】在同一坐标系中分别作出 函数y=4x+1,y=x+4,y=-x+8的图象 后,取位于下方的部分得函数f(x)=min4x+1,x+4,-x+8的图象,如图 所示,由图象可知,函数f(x)在x=2时取得最大值6.答案:6【加固训练】1.函数f(x)=的值域为_.13xlog x,x1,3,x1【解析】当x1时，f(x)=是单调递减的，此时，函数的值域为(-,0；当x1时，f(x)=3x是单调递增的，此
12、时，函数的值域为(0,3).综上，f(x)的值域是(-,3).答案：(-,3)13log x2.对于任意实数a,b,定义mina,b=设函数 f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=minf(x),g(x)的最大值是 .a,ab,b,ab.【解析】依题意,h(x)=当02时,h(x)=3-x是减函数,所以h(x)在x=2时取得最大值h(2)=1.答案:1 2log x,0 x2,x3,x2.3.已知f(x)=x1,+).(1)当a=时,求函数f(x)的最小值.(2)若对任意x1,+),f(x)0恒成立,试求实数a的取值范围.2x2xax，12【解析】(1)当a=时，f(x)=
13、任取1x1x2，则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+因为1x1x2，所以x1x21，2x1x2-10.又因为x1-x20，所以f(x1)f(x2)，121x22x，1211()2x2x121212xx2x x12x x，所以f(x)在1，+)上是增函数，所以f(x)在1，+)上的最小值为f(1)=(2)在区间1，+)上，f(x)=0恒成立，则 等价于a大于函数(x)=-(x2+2x)在1，+)上的最大值.7.22x2xax22x2xa0,a(x2x),x1x1,只需求函数(x)=-(x2+2x)在1，+)上的最大值.(x)=-(x+1)2+1在1，+)上递减，所以当x=1时，(x)最大值
14、为(1)=-3.所以a-3，故实数a的取值范围是(-3，+).考向三 函数单调性的应用【考情快递】命题方向命题视角比较函数值或自变量的大小主要考查利用函数的单调性确定相应函数值的大小关系,属容易题解函数不等式以不等式为载体,考查利用函数的单调性将含“f”符号的不等式转化为一般不等式求参数的值或取值范围考查结合函数的单调性确定参数的取值范围,属中档题【考题例析】命题方向1:比较函数值或自变量的大小【典例3】(2016衡阳模拟)已知函数f(x)=log2x+若x1(1,2),x2(2,+),则()A.f(x1)0,f(x2)0 B.f(x1)0 C.f(x1)0,f(x2)0,f(x2)0 1,1
15、x【解题导引】先判断f(x)的单调性,再应用单调性比较大小.【规范解答】选B.因为f(x)在(1,+)上是增函数,且f(2)=又x1(1,2),所以f(x1)f(2)=0.21log 20,12命题方向2:解函数不等式【典例4】(2016滨州模拟)f(x)是定义 在(0,+)上的单调增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,当f(x)+f(x-8)2时,x的取值范围是()A.(8,+)B.(8,9 C.8,9 D.(0,8)【解题导引】将f(x)+f(x-8)2变为f(x(x-8)f(9),利用函数的单调性求解.【规范解答】选B.因为2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),由
16、f(x)+f(x-8)2,可得f(x(x-8)f(9),因为f(x)是定义在(0,+)上的增函数,所以有 解得8x9.x0,x8 0,x x89,命题方向3：求参数的值或取值范围【典例5】(2016烟台模拟)已知f(x)满足对任意x1x2，都有 成立，则实数 a的取值范围为_.x(2a)x1,x 1,a,x11212f(x)f(x)0 xx【解题导引】先由 ，判断f(x)在R上的单调性，再根据f(x)的单调性构建实数a的不等式组求解.1212f(x)f(x)0 xx【规范解答】由 ，知函数f(x)是R上的 增函数，于是有 解得 所以实数a的取值范围是 答案：1212f(x)f(x)0 xx2a
17、0,a1,(2a)1 1a,3a22 ，32).2，32)2，【技法感悟】函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数.视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数;需注意若函数在区间a,b上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.【题组通关】1.(2016泰安模拟)已知函数f(x)是定义在0,+)上 的增函数,则满足f(2x-1)g(1),则x的取值范围 是()A.(0,10)B.(10,+)C.(,10)D.(0,)(10,+)110110【解析】选C.因为g(lgx)g(1),g(x)=-f(|x|),所以-f(|lgx|)-f(1),所以f(|lgx|)f(1).又因为f(x)在0,+)上是增函数,所以|lgx|1,所以-1lgx1,所以 x10.110