1、点点练 33 直线与圆锥曲线1已知直线 ykxk1 与曲线 C：x22y2m(m0)恒有公共点，则 m 的取值范围是()A3，)B(，3C(3，)D(，3)2过双曲线 x2y2b21(b0)的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l，若 l 与双曲线的两条渐近线分别交于 B，C，且 2ABBC，则该双曲线的离心率为()A.10B.103 C.5D.523抛物线 yax2 与直线 ykxb(k0)交于 A，B 两点，且这两点的横坐标分别为 x1，x2，直线与 x 轴交点的横坐标是x3，则()Ax3x1x2Bx1x2x1x3x2x3Cx1x2x30 Dx1x2x2x3x3x104椭圆 4x29y214
2、4 内有一点 P(3,2)，则以 P 为中点的弦所在直线的斜率为()A23B32C49D945已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的焦距为 2 5，抛物线 y14x214与双曲线 C 的渐近线相切，则双曲线 C 的方程为()A.x28y221 B.x22y281Cx2y241 D.x24y216直线 l 与双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)交于 A，B 两点，M 是线段 AB 的中点，若 l 与 OM(O 是原点)的斜率的乘积等于 1，则此双曲线的离心率为()A3 B2C.3D.27已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F1(2,0)，过点F1 作倾斜角为 30
3、的直线与圆 x2y2b2 相交的弦长为 3b，则椭圆的标准方程为_8已知抛物线 y24x 的焦点为 F，过焦点的直线与抛物线交于 A，B 两点，则当|AF|4|BF|取得最小值时，直线 AB的倾斜角的正弦值为_12018天津卷已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1 和 d2，且 d1d26，则双曲线的方程为()A.x24y2121 B.x212y241C.x23y291 D.x29y23122018全国卷已知双曲线 C：x23y21，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦
4、点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M，N.若OMN 为直角三角形，则|MN|()A.32B3C2 3D432018全国卷设 F1，F2 是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左，右焦点，O 是坐标原点过 F2 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P.若|PF1|6|OP|，则 C 的离心率为()A.5B2C.3D.242018全国卷已知 F1，F2 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 36 的直线上，PF1F2 为等腰三角形，F1F2P120，则 C 的离心率为()A.23B.12 C.13D.14
5、52018全国卷已知点 M(1,1)和抛物线 C：y24x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点若AMB90，则 k_.62019全国卷已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点若F1A AB，F1B F2B 0，则 C 的离心率为_12020安徽黄山模拟已知双曲线x216y291 的左焦点为F1，过 F1 的直线 l 交双曲线左支于 A、B 两点，则 l 的斜率的范围为()A.43，43B.，34 34，C.34，34D.，43 43，22020湖南衡阳模拟已知抛物线 C：
6、y24x 的焦点为F，过 F 的直线与 C 交于 A、B 两点，且线段 AB 中点的纵坐标为 2，O 为坐标原点，则AOB 的面积为()A2 2B.2 C2 D432020福建莆田模拟已知 O 为坐标原点，F 为抛物线C：y28x 的焦点，过 F 作直线 l 与 C 交于 A，B 两点若|AB|10，则OAB 的重心的横坐标为()A.43B2C.83D342020湖南郴州一模已知椭圆x24y2b21(0b0)恒有公共点，则曲线 C 表示椭圆，点(1，1)在椭圆内或椭圆上，所以 122(1)2m，所以 m3，选 A.2答案：C解析：由题意可知，左顶点 A(1,0)又直线 l 的斜率为 1，所以直
7、线 l 的方程为 yx1，若直线 l 与双曲线的渐近线有交点，则 b1.又双曲线的两条渐近线的方程分别为 ybx，ybx，所以可得 xB 1b1，xC 1b1.由 2ABBC，可得 2(xBxA)xCxB，故 2 1b11 1b1 1b1，得 b2，故 e 12221 5.3答案：B解析：由yax2，ykxb，消去 y 得 ax2kxb0，可知 x1x2ka，x1x2ba，令 kxb0 得 x3bk，所以 x1x2x1x3x2x3.4答案：A解析：设以 P 为中点的弦所在直线与椭圆交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为 k，则 4x219y21144,4x229y22144，两式相
8、减得 4(x1x2)(x1x2)9(y1y2)(y1y2)0，又 x1x26，y1y24，y1y2x1x2k，代入解得 k23.5答案：D解析：由题意可得 c 5，得 a2b25，双曲线的渐近线方程为 ybax.将渐近线方程和抛物线方程 y14x214联立，可得14x2bax140，由渐近线和抛物线相切可得 b2a2414140，即有 a24b2，又 a2b25，解得 a2，b1，可得双曲线的方程为x24y21.故选 D.6答案：D解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，代入双曲线的方程，得x21a2y21b21，x22a2y22b21，两式相减得x1x2x1x2a2y
9、1y2y1y2b20，又x0 x1x22，y0y1y22，所以x0a2y0y1y2b2x1x2，所以b2a2y0y1y2x0 x1x2kOMkl1，所以 e21b2a22，所以 e 2，故选D.7答案：x28y241解析：本题考查椭圆的标准方程由左焦点为 F1(2,0)，可得 a2b24，过点 F1 作倾斜角为 30的直线的方程为 y 33(x2)，圆心(0,0)到直线的距离 d2 3313321.由直线与圆 x2y2b2 相交的弦长为 3b，可得 2 b21 3b，解得 b2，a2 2，则椭圆方程为x28y241.8答案：2 23解 析：当 直 线 的 斜 率 存 在 时，设 直 线 方 程
10、 为 y k(x 1)(k0)，由ykx1，y24x，消去 y 得 k2x2(2k24)xk20.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1，x20，则 x1x22k24k2，x1x21，1|AF|1|BF|1x111x21x1x22x1x2x1x212k24k2212k24k211.当直线的斜率不存在时，易知|AF|BF|2，故 1|AF|1|BF|1.设|AF|a，|BF|b，则1a1b1，所以|AF|4|BF|a4b1a1b(a4b)54ba ab9，当且仅当 a2b 时取等号，故 a4b 的最小值为 9，此时直线的斜率存在，且 x112(x21)，联立得，x12，x212，k2 2，
11、故直线 AB 的倾斜角的正弦值为2 23.练高考小题1答案：C解析：因为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，所以ca2，c2a2b2，所以c2a，b 3a.所以双曲线的渐近线方程为 ybax3x.依题意，不妨设点Ac，b2a，Bc，b2a 到直线 y 3x 的距离分别为 d1，d2，因为 d1d26，所以3cb2a23cb2a26，所以|2 3a3a|2|2 3a3a|26，解得 a 3或 a 3(舍)，所以 b3，所以双曲线的方程为x23y291.故选 C.2答案：B解析：双曲线 C：x23y20 的两条渐近线分别为 y 33 x 和 y 33 x，MOFNOF30，MON
12、60.又OMN 为直角三角形，设OMN90，则ONM30.NOFONM，|OF|NF|.F(2,0)，|FM|OF|sinMOF1，|NF|2.|MN|MF|FN|3.故选 B.3答案：C解析：如图所示，直线 l1：ybax，即 bxay0，F2(c,0)，|PF2|bcb2a2bcc b.OPF2 为直角三角形，|OP|OF2|2|PF2|2 c2b2a，|PF1|6|OP|6a.在 RtOPF2 中，cosOF2P|PF2|OF2|bc，在 PF1F2 中，cosPF2F1|PF2|2|F1F2|2|PF1|22|PF2|F1F2|b24c2 6a22b2c，b24c26a24bcbc，b
13、24c26a24b2，4c26a23b23c23a2，c23a2，e 3.故选 C.4答案：D解析：如图，由题知直线 AP 的方程为 y 36(xa)，直线 F2P 的方程为 y 3(xc)，过点 P 作 PBx 轴，交 x 轴于点 B.联立y 36 xa，y 3xc，解得 xP6ca5，|F2B|6ca5cac5.PF2B18012060，|F2P|2ac5.又PF1F2 为等腰三角形，F1F2P120，|F2P|F1F2|，即 2c2ac5，eca14.故选 D.5答案：2解析：如图所示抛物线方程为 y24x，准线方程为 l：x1，焦点为 F(1,0)M(1,1)在抛物线的准线上过点 A
14、作 AAl，垂足为点 A，过点 B 作BBl，垂足为点 B.由题意得，|AB|AA|BB|.AMB90，取 AB 中点 M，连接 MM，|MM|12|AB|12(|AA|BB|)又四边形 AABB 为梯形，点 M为 AB 中点，且 AAl，BBl，点 M 为 AB中点，MMx 轴易得点 M的纵坐标为 y01.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，y214x1，y224x2，两式作差得，y21y224(x1x2)，ky1y2x1x24y1y2 42y0422.6答案：2解析：本题主要考查双曲线的几何性质，直线和双曲线的位置关系，平面向量的相关知识，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力、运算求
15、解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算通解 因为F1BF2B0，所以 F1BF2B，如图所以|OF1|OB|，所以BF1OF1BO，所以BOF22BF1O.因为F1AAB，所以点 A 为 F1B 的中点，又点 O 为 F1F2的中点，所以 OABF2，所以 F1BOA，因为直线 OA，OB 为双曲线 C 的两条渐近线，所以 tanBF1Oab，tanBOF2ba.因为 tanBOF2tan(2BF1O)，所以ba2ab1ab2，所以 b23a2，所以 c2a23a2，即 2ac，所以双曲线的离心率 eca2.优解 因为F1BF2B0，所以 F1BF2B，在 RtF1BF2 中，|
16、OB|OF2|，所以OBF2OF2B，又F1AAB，所以A为F1B的中点，所以 OAF2B，所以F1OAOF2B.又F1OABOF2，所以OBF2 为等边三角形由 F2(c,0)可得Bc2，3c2，因为点 B 在直线 ybax 上，所以 32 cbac2，所以ba 3，所以 e1b2a22.练模拟小题1答案：B解析：由题意得双曲线的渐近线方程为 y34x，所以 l 的斜率满足|k|34，即 k，34 34，.2答案：A解析：解法一 设直线 AB 的方程为 xty1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段 AB的中点为 M，由xty1，y24x消去 x 得 y24ty40，y1y24t，y1y
17、24.由 yMy1y222t2，得 t1，SAOB12|OF|y1y2|12 y1y224y1y22 2.解法二 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由y214x1，y224x2得 kABy1y2x1x24y1y21，从而直线 AB 的方程为 yx1，由抛物线定义可得|AB|x1x22y1y248，而点 O 到直线 AB 的距离 d 12 22，从而 SAOB12|AB|d2 2.3答案：B解析：由题意知抛物线的焦点 F 的坐标为(2,0)，设过焦点 F(2,0)的直线为 yk(x2)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)将 yk(x2)代入抛物线方程消去 y 得 k2x24(k22)
18、x4k20.k20，x1x24k22k248k2，x1x24.|AB|1k248k2 21610，k24，x1x26，OAB 的重心的横坐标为x1x2032，故选 B.4答案：D解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(m，n)，则x214y21b21，x224y22b21，作差可得x1x2x1x24y1y2y1y2b20，把 x1x22m，y1y22n，y1y2x1x22 代入，可得nmb28 14，解得 b 2，故选 D.5答案：y12(x2)解析：双曲线 C 的方程为 x24y21，a1，b12，渐近线方程为 y12x.P(2,0)在双曲线内部且直线 l 与双曲线有唯一公共点，直
19、线 l 与双曲线的渐近线平行，直线 l 的斜率为12，直线 l 的方程为 y12(x2)6答案：14解析：设 l 的方程为 yxb，代入 y24x，得 x2(2b4)xb20，l 为抛物线 C 的切线，0，即(2b4)24b20，解得 b1，l：yx1.由题意知 MN 所在直线方程为 yx1.联立yx1，y24x得 x26x10.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x26，x1x21.设 P(m，m1)，则PM(x1m，y1m1)，PN(x2m，y2m1)PMPN(x1m)(x2m)(y1m1)(y2m1)x1x2m(x1x2)m2y1y2(m1)(y1y2)(m1)2.x1x26
20、，x1x21，(y1y2)216x1x216，则 y1y24，y21y224(x1x2)，y1y24x1x2y1y2 4，PMPN16mm244(m1)(m1)22(m24m3)2(m2)2714.当且仅当 m2 时，即点 P 的坐标为(2，3)时，PMPN取最小值，为14.练经典大题1解析：本题将直线、抛物线、圆的相关内容有机结合，考查三者之间的位置关系，考查学生分析问题与解决问题的能力，对逻辑推理与数学运算素养有较高要求(1)证明 设 Dt，12，A(x1，y1)，则 x212y1.由于 yx，所以切线 DA 的斜率为 x1，故y112x1tx1.整理得 2tx12y110.设 B(x2，
21、y2)，同理可得 2tx22y210.故直线 AB 的方程为 2tx2y10.所以直线 AB 过定点0，12.(2)由(1)得直线 AB 的方程为 ytx12.由ytx12，yx22可得 x22tx10.于是 x1x22t，y1y2t(x1x2)12t21.设 M 为线段 AB 的中点，则 Mt，t212.由于EMAB，而EM(t，t22)，AB与向量(1，t)平行，所以 t(t22)t0.解得 t0 或 t1.当 t0 时，|EM|2，所求圆的方程为 x2y5224；当 t1 时，|EM|2，所求圆的方程为 x2y5222.2解析：(1)设 P(x，y)，M(x0，y0)，则 N(x0,0)，NP(xx0，y)，NM(0，y0)由NP 2 NM得 x0 x，y0 22 y.因为 M(x0，y0)在 C 上，所以x22y221.因此点 P 的轨迹方程为 x2y22.(2)证明 由题意知 F(1,0)设 Q(3，t)，P(m，n)，则OQ(3，t)，PF(1m，n)，OQPF33mtn，OP(m，n)，PQ(3m，tn)由OPPQ1 得3mm2tnn21，又由(1)知 m2n22，故 33mtn0.所以OQPF0，即OQPF.又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.
