1、甘肃省张掖市第二中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 已知,则下列推理中正确的是 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：对于A，当时不成立；对于B，当时不成立；对于D，当均为负值时，不成立，对于C，因为在上单调递增，由，又因为，所以即，正确；综上可知，选C.考点：不等式的性质.2. 等差数列前项和为，已知，则的值是（ ）A. 48B. 60C. 72D. 24【答案】A【解析】【分析】根据条件列方程组，求首项和公差，再根据，代入求值.【详解】由条件可知，解得：，.故选：A3. 在等比数列中，若，是方程的两根，则
2、的值是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】a3，a7是方程x2+4x+2=0的两根，可得a3a7=2，a3+a7=4，可得a30，a70，根据等比数列的性质可得：奇数项的符号相同，可得a50利用性质可得：a5=【详解】a3，a7是方程x2+4x+2=0两根，a3a7=2，a3+a7=4，a30，a70，根据等比数列的性质可得：奇数项的符号相同，a50a5=故选B【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，其中判断a50，是解题的关键，属于基础题4. 在公差不为零的等差数列中，依次成等比数列，前7项和为35，则数列的通项等于（ ）A. nB. C
3、. D. 【答案】B【解析】【分析】根据等差数列以及等比数列的性质求出首项和公差，从而求出通项公式.【详解】由题意得，等差数列中，依次成等比数列，故，则，故，又数列7项和为35，则，联立解得：，故，故选：B.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质，公式，重点考查计算能力，属于基础题型.5. 已知命题：“关于的方程有实根”，若为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】命题p：，为，又为真命题的充分不必要条件为，故6. 给出下列四个命题：“若，则，互为相反数”的逆命题；“面积相等的三角形全等”的否命题；“若，则有实数解”的逆否命题；“若，则”的
4、逆否命题其中真命题是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合四种命题的定义，及互为逆否的两个命题，真假性相同，分别判断各个结论的真假，可得答案【详解】“若，则，互为相反数”的逆命题是“若，互为相反数，则”，显然是真命题，故正确；“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故正确；若有实数解，则，解得所以“若，则有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故正确；若，则，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故错误故选：D7. 某校今年计划招聘女教师名，男教师名，若，满足不等式组设这所学校今年计划招聘教师最多名，则（ ）A. 11B. 12C. 1
5、3D. 14【答案】C【解析】【分析】由已知不等式组画出可行域，令 ，在可行域内使得最大【详解】某校今年计划招聘女教师名，男教师名，若，满足不等式组画出可行域如图令，平移斜率是的直线，且保证，都是正整数，同时纵截距最大，即 即故选：C8. 已知点在经过，两点的直线上，则的最小值为（ ）A. B. C. 16D. 不存在【答案】B【解析】【分析】由点P（x，y）在经过A（3，0）、B（1，1）两点的直线上可求得直线AB的方程，即点P（x，y）的坐标间的关系式，从而用基本不等式可求得2x+4y的最小值【详解】由A（3，0）、B（1，1）可求直线AB的斜率kAB=，由点斜式可得直线AB的方程为：x+
6、2y=32x+4y=2x+22y（当且仅当x=2y=时取“=”）故选B【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.9. 已知等比数列an的各项均为不等于1的正数，数列bn满足bnlgan，b318，b612，则数列bn的前n项和的最大值等于()A. 126B. 130C. 132D. 134【答案】C【解析】【分析】由题意可知，lga3=b3，lga6=b6再由b3，b6，用a1和q表示出a3和b6，进而求得q和a1，根据an为正项等比数列推知bn为等差数
7、列，进而得出数列bn的通项公式和前n项和，可知Sn的表达式为一元二次函数，根据其单调性进而求得Sn的最大值【详解】由题意可知，lga3=b3，lga6=b6又b3=18，b6=12，则a1q2=1018，a1q5=1012，q3=106即q=102，a1=1022又an为正项等比数列，bn为等差数列，且d=2，b1=22故bn=22+（n1）（2）=2n+24Sn=22n+（2）=n2+23n=，又nN*，故n=11或12时，（Sn）max=132故答案为C.【点睛】这个题目考查的是等比数列的性质和应用；解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目
8、；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律10. 已知数列2008，2009，1，2008，2009，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2016项之和等于( ）A. 1B. 2 010C. 4 018D. 0【答案】D【解析】【详解】设数列为,由题知,那么,两式相加,可得,即,所以,此数列的周期为;又,则.故选11. 已知f(x)(xa)(xb)2(ab)，且，()是方程f(x)0的两根，则，a，b的大小关系是（ ）A. abB. abC. abD. ab【答案】A【解析】【分析】可设,从而得到是的两个零
9、点,可看出的图象是由的图象向上平移2个单位得到,从而便可得出.【详解】设g(x)(xa)(xb)，则g(x)向上平移2个单位长度得到f(x)的图象，由图易知a0，解关于x的不等式f(x)0.【答案】（1）；（2）答案见解析【解析】【分析】（1）当a时，分解因式即可求解；（2）分解因式得，分类讨论与的大小关系即可.【详解】（1）当a时，不等式为f(x)x2x10，(x2)0，不等式的解集为；（2），当0a1时，有，所以不等式的解集为 ；当a=1时，不等式的解集为【点睛】本题考查一元二次不等式的解法（含参与不含参），遇含参问题常采用分类讨论法，属于基础题.19. 在数列中，（1）求数列的通项公式.
10、（2）设，数列的前项和为，求证：为定值【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由递推数列推得数列是等比数列，再求数列的通项公式，以及数列的通项公式；（2）由（1）可知，再转化为裂项相消法求，最后代入求为定值.【详解】（1）由得，因为，所以，所以， 所以是为首项，为公比的等比数列，所以，即，所以，数列的通项公式为； （2）由（1）知，所以， 于是， 所以，综上，为定值2.【点睛】方法点睛：本题考查通项公式，以及数列求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为， 4
11、.分组转化法求和，适用于；5.倒序相加法求和.20. 已知二次函数满足，且（1）求的解析式；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，方程有解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）设二次函数f（x）的解析式，代入f（x+1）f（x）2x和f（0）1，可求a、b、c的值；（2）由题意得在上恒成立，即，利用对勾函数求的最小值即可得的取值范围；（3）由题意得x23x+1m在x1，1上有解，求出g（x）x23x+1，x1，1的值域即是m的取值范围.【详解】（1）设二次函数，代入和，得，化简得，；（2）当时，不等式恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令,
12、 在上递增，解得；（3）当时，方程有解，即方程在上有解；令， 在上递减，则的值域是，所以，的取值范围是.【点睛】方法点睛：（1）恒成立问题求参数的方法：参变分离求函数的最值，讨论法求最值.（2）方程有解求参数的方法：参变分离求函数的值域，讨论法求值域.（3）求解析式的方法：待定系数法，换元法，解方程法，消参法.21. 已知数列的前项和为，且，数列的通项公式为（1）求数列通项公式；（2）设，数列的前项和为，求；（3）设，求使得对任意，均有成立的最大整数【答案】（1）；（2）；（3）存在最大的整数满足题意【解析】【分析】（1）当时，；当时，将已知代入化简计算可得数列的通项公式；（2）利用错位相减法
13、计算，分和两种情况，分别得出答案；（3）利用裂项相消法计算出，并得出单调性和最值，代入不等式解出的范围，得到答案【详解】（1）当时，当时，即数列的通项公式为（2），则，得当时，则当时，综上可得，（3）由（1）可得，则显然为关于的增函数，故于欲使恒成立， 则，解得存在最大的整数满足题意【点睛】方法点睛：本题考查数列的通项公式，考查数列的求和，数列求和的方法总结如下：1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；3.错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使
14、用此方法；4.倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和22. 已知数列中，且点在直线上.（1）函数 且，求函数的最小值；（2）设，表示数列的前项和，试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，证明见解析.【解析】【分析】（1）首先求数列的通项公式，代入后求，利用放缩法证明数列的单调性，再求函数的最小值；（2）由条件可知， ，即，利用累加求和变形求得.【详解】（1）点在直线上，即，且数列是以1为首项，1为公差的等差数列，.，是单调递增的，故的最小值是.（2），即，.【点睛】关键点点睛：1.第一问需证明数列的单调性，证明单调性时，；2.第二问，当出现这个式子时，巧妙用累加法，可以构造出所求的式子.