1、第22课同角三角函数间基本关系式【自主学习】第22课 同角三角函数间基本关系式(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修4P16例1改编)已知cos =，且，那么tan =.【答案】-【解析】由cos =，得sin =-，所以tan =-.2.(必修4P18练习4改编)已知tan =3，且为第三象限角，那么sin =.【答案】-【解析】由题意，构造方程组解得sin =.因为是第三象限角，所以sin =-.3.(必修4P23习题11改编)若tan =3，则=.【答案】【解析】=.4.(必修4P23习题20改编)若sin +cos =，则sin3+cos3=.【答案】【解析】sincos
2、=(sin+cos)2-(sin2+cos2)=，则sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)=.5.(必修4P17例3改编)已知是第一象限角，那么tan =.【答案】1【解析】tan =tan =1.同角三角函数间的基本关系式1.平方关系：sin2+cos2=1.2.商数关系：tan =.【要点导学】要点导学各个击破利用同角三角函数关系求值例1(1)已知sin x=，求cos x与tan x的值.(2)已知3sin =-cos ，求的值.【思维引导】(1)结合同角三角函数关系式直接求解，但是要注意分类讨论.(2)所求式是关于sin 与cos 的齐次式，若将分式
3、的分子、分母同除以cos2，则所求式用tan 表示，从而求值；也可以用tan 表示sin ，cos ，一般地，关于sin ，cos 的齐次式都可化为关于tan 的函数式.【解答】(1)因为sin x=，所以cos x=，当cos x=时，tan x=；当cos x=-时，tan x=-.(2)因为3sin =-cos ，所以tan =-，原式=-.【精要点评】(1)已知sin 的值，利用平方关系求cos 的值时，如果的范围没有确定，cos 的值有两种可能；(2)在求tan 的值时，要分类讨论；(3)在利用齐次式求值时，一定要凑齐次式.【高频考点题组强化】1.若tan =2，则=.【答案】【解析
4、】原式=.2.若sin x=2cos x，则sin2x+1=.【答案】【解析】由已知得tan x=2，所以sin2x+1=2sin2x+cos2x=.3.若cos +2sin =-，则tan =.【答案】2【解析】由将变形代入得(sin +2)2=0，所以sin =-，cos =-，所以tan =2.4.已知tan x=2.(1)求的值；(2)求2sin2x-sin xcos x+cos2x的值.【解答】(1)=.(2)2sin2x-sin xcos x+cos2x=.利用同角三角函数关系化简、证明例2求证：=.【解答】方法一：由cos x0，知sin x-1，所以1+sin x0.于是，左边
5、=右边，所以原式成立.方法二：因为(1-sin x)(1+sin x)=1-sin2x=cos2x=cos xcos x，且1-sin x0，cos x0，所以=.方法三：因为-=0，所以原式成立.方法四：因为cos x0，左边=右边.所以原式成立.变式化简：.【解答】原式=sin +cos .sincos及sin cos 的关系问题例3已知0，且sin +cos =-，求tan 的值.【思维引导】利用sin +cos 的值可以求得sin cos 的值，进而可以知道tan 的值，注意到0，因此解题时应特别留意角的范围.【解答】因为sin +cos =-，两边平方得1+2sin cos =，所以
6、sin cos =-0，cos 0.又sin +cos =-0，所以|sin |cos |，所以|tan |1，故tan =-.【精要点评】本题容易出错，原因在于注意到sin cos =-0，故tan 0.但两解是否都满足条件，还应考虑sin +cos =-0，所以得到|sin |cos |，从而得解.本题还可以根据已知条件求sin -cos 的值，然后再求sin 与cos 的值，进而求得tan 的值.变式已知sin cos =，且，那么cos -sin 的值为.【答案】-【解析】因为，所以cos sin ，所以cos -sin 0.而(cos -sin )2=1-2cos sin =1-2=
7、，所以cos -sin =-.1.已知是第二象限角，sin=，那么cos=.【答案】-2.若tan =2，则sin cos =.【答案】【解析】sin cos =.3.化简：sin2+cos2sin2+cos2cos2=.【答案】1【解析】原式=sin2+cos2(sin2+cos2)=sin2+cos2=1.4.设是第三象限角，若tan=，则cos=.【答案】-5.已知sin +cos =，则sin -cos 的值为.【答案】-【解析】方法一：因为0sin ，即sin -cos 0.又(sin +cos )2=1+2sin cos =，所以2sin cos =，所以(sin -cos )2=
8、1-2sin cos =1-=，所以sin -cos =-.方法二：因为sin +cos =，且，所以+，sin +cos =sin=，即sin=.又cos=，所以sin -cos =-(cos -sin )=-cos=-.【融会贯通】融会贯通能力提升已知sin ，cos 是方程4x2-4mx+2m-1=0的两个根，且2，求的大小.【思维引导】【规范解答】因为sin ，cos 是方程4x2-4mx+2m-1=0的两个根，所以4分由(sin +cos )2=1+2sin cos ，得m2=1+2 ，解得m=.6分又因为2，所以sin cos =0，所以m=.8分所以所以12分又因为2，所以=.1
9、4分趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第4344页.【检测与评估】第22课同角三角函数间基本关系式一、 填空题 1.(2015福建卷)若sin =-，且为第四象限角，则tan 的值为. 2.已知是第二象限角，那么-sin=. 3.若为钝角，且sin =，则tan =. 4.已知tan =-2，那么sin =. 5.已知sin -cos =，(0，)，那么tan =. 6.若sin =，cos =，则m=，tan =. 7.若是三角形的内角，且sin+cos=，则tan=. 8.化简：=.二、 解答题 9.已知是第四象限角，化简：+.10.已知关于x的方程4x2-2(
10、m+1)x+m=0的两个实数根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦值，求实数m的值.11.求证：=.三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.已知0，若cos -sin =-，求的值.【检测与评估答案】第22课同角三角函数间基本关系式1.-【解析】由sin =-，且为第四象限角，得cos =，则tan =-.2. 03. -【解析】因为为钝角，且sin =，所以cos =，所以tan =-.4. 【解析】由tan =-2，得=-2，所以sin =-2cos .又sin2+cos2=1，所以sin2+=1，所以sin2=，所以sin =. 5. -1【解析】由sin -cos =，得
11、1-2sin cos =2，所以(sin +cos )2=1+2sin cos =0，所以sin =-cos ，所以tan =-1.6. 0或8-或-【解析】由+=1，得4m2-32m=0，解得m=0或8.当m=0时，sin =-，cos =，tan =-；当m=8时，sin =，cos =-，tan =-.7. -【解析】由sin +cos =，及sin2+cos2=1，得25sin2-5sin -12=0，因为是三角形的内角，所以sin =，cos =-，tan =-.8. -1【解析】原式=-1.9. 因为是第四象限角，所以sin 0.原式=+=+=+=+=-.10. 设直角三角形的两个
12、锐角分别为，则有+=，所以cos =sin .在方程4x2-2(m+1)x+m=0中，=4(m+1)2-44m=4(m-1)20，所以方程恒有两个实数根.又因为cos +cos =sin +cos =，cos cos =sin cos =，所以由以上两式及sin2+cos2=1，得1+2=，解得m=.当m=时，经检验满足题意；当m=-时，cos +cos =0，这与，为锐角矛盾，应舍去.综上，m=.11. 左边=右边，所以等式成立.12.因为cos -sin =-，所以1-2sin cos =.所以2sin cos =，所以(sin +cos )2=1+2sin cos =1+=.因为0，所以sin +cos =.由cos -sin =-，sin +cos =，得sin =，cos =，所以tan =2.所以=-.