1、2019-2020学年上海市虹口区上外高二年级上学期期末考试数学试卷满分100分,考试时间100分钟一、填空题(每题3分,共42分)1、已知关于的二元一次方程组的增广矩阵为,则 。【答案】【解析】两式相加可得2、三阶行列式中,元素的代数余子式的值为 。【答案】【解析】元素的代数余子式的值为3、已知矩阵,则 。【答案】【解析】4、若,则是的 条件。【答案】充要【解析】5、求值: 。【答案】【解析】6、已知,且,则 。【答案】【解析】,7、已知,则与方向相同的单位向量 。【答案】【解析】,8、已知与的夹角为,且,则 。【答案】【解析】,9、若,,则 。【答案】【解析】,,10、已知,则 。【答案】
2、【解析】,11、已知,则 。【答案】【解析】,12、已知、是平面内两个互相垂直的单位向量,若满足,则的最大值为 。【答案】【解析】,13、已知向量集合,则 。【答案】【解析】集合表示起点在原点,重点在直线上的向量,集合表示起点在原点,重点在直线上的向量,14、我们用表示内接内接于单位圆的正边形的边长,那么对于正边形的边长可通过右图右图得到如下关系式。例如:当时,根据如上叙述以及极限的意义,计算 。【答案】【解析】由极限的定义可知,该极限的意义为正多边形的周长,当时,正多边形与圆重合,周长即为圆周长二、选择题(每题4分,共16分)15、在中,若,则与的夹角大小为( )【A】【B】【C】【D】【答
3、案】【解析】由题可知,,,16、无穷等比数列中任何一项都等于该项后面所有各项的和,则此数列的公比为( )【A】【B】【C】【D】【答案】【解析】,17、等差数列、的前项和为和,若,则( )【A】【B】【C】【D】【答案】【解析】设,解得,18、已知是是边长为的等边三角形,、是是内部两点,且满足,则的面积为( )【A】【B】【C】【D】【答案】【解析】由图可知,,三、解答题(8+10+10+14=42分)19、已知等比数列的首项,公比为;(1)若二阶行列式,求公比;(2)利用二元一次方程组解的判别式,讨论的解的情况。【答案】(1);(2)当时,方程组有无穷解;当时,方程无解。【解析】(1);(2
4、),当时,方程组有无穷解;当时,方程无解。20、设是公差为的等差数列,且,是等比数列,其前项和为,为坐标原点,向量,点列列满足,其中。(1)求:与的通项公式;(2)求:【答案】(1);(2)【解析】(1),当时,当时,(2),21、王先生因病到医院求医,医生给开了个处方药(片剂),要求每天早晨各服一片,已知该药片每片毫克,每小时从体内排出这种药的,并且如果这种药在体内的残留量超过毫克时,就将产生副作用,请问:(1)王先生第一天上午8时第一次服药,则第二天早晨8时服完药时,药在他体内的残留量是多少?(2)如果王先生坚持长期服用此药,会不会产生副作用,为什么?【答案】(1)克;(2)不会【解析】设第次服药后的体内残留量为(1),;(2),是单调递增数列,长期服用不会出现副作用22、已知为等差数列的前项和,若,(1)求数列的通项公式;(2)对于数列极限有如下常用结论:,设,用记号表示,试求的值。(3)从(2)的数列中取出部分项按原来的前后顺序组成一个无穷等比数列,且满足它的各项和等于,试求出的通项公式。【答案】(1);(2);(3)。【解析】(1)设, , 当时,不存在(舍), 当时, 。(2),设,(3),设,公比,或或或。经检验,即,