1、第1章基本不等式和证明不等式的基本方法 1若a，b均为大于1的正数，且ab100，则lg alg b的最大值是()A0B1C2D解析：a1，b1，lg a0，lg b0.又ab100，lg alg b1.当且仅当ab10时取等号答案：B2(2015湖南卷)已知a0，b0，且ab.(1)求证：ab2.(2)求证：a2a2与b2b2不可能同时成立证明：由ab，a0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.当且仅当ab1时等号成立(2)假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a2及a0得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾故a2a2与b2b2不可能同时成立3已知
2、b，m1，m2都是正数，ab，m1m2，求证：.证明：.b0，m1，m20，(bm1)(bm2)0.又ab，ab0.m1m2，m2m10.0.4已知m0，a，bR，求证：2.证明：m0，1m0.要证2，只需证(amb)2(1m)(a2mb2)即证m(a22abb2)0，即证(ab)20.又(ab)20显然成立，2.5已知x0，y0，且2x8yxy0.(1)求xy的最小值(2)求xy的最小值解：(1)由2x8yxy0，得1.又x0，y0，则12，得xy64，当且仅当x16，y4时，等号成立xy的最小值为64.(2)由2x8yxy0，得1.则xy(xy)1010218，当且仅当x12且y6时等号成
3、立，xy的最小值为18.6设实数a1，b1，c1，a2，b2，c2满足a1a20，a1c1b，a2c2b，求证：(a1a2)(c1c2) (b1b2)2.证明：a1a20，a1，a2同号同理，由a1c1b，a2c2b知a1与c1同号，a2与c 2同号，a1，c1，a2，c2同号(a1a2)(c1c2)a1c1a2c2a1c2a2c1bb2bb2bb2bb2|b1b2|bb2b1b2(b1b2)2，即(a1a2)(c1c2)(b1b2)2.7已知a0，b0，ab1.(1)求证：8.(2)求证：22.证明：(1)a0，b0，ab1.1ab2，.4.(ab)2248.8.(2) ，2.2222.22
4、.8某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如下图所示)已知污水处理池四周围墙建造单价为400 元/m，中间两道隔墙建造单价为248 元/m，池底建造单价为80 元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价(2)由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 m，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价解：(1)设污水处理池的长为x m，则宽为 m，总造价为y元，则有y2x400800248280200800x16 000216 00044 800，当且仅当800x，即x18时，y取得最小值当污水池的长为18 m，宽为 m时总造价最低，为44 800元(2)0x16,016，12.5x16.由(1)知，y(x)80016 000(12.5x16)对任意x1，x212.5,16，设x1x2，则(x1)(x2)8000，(x1)(x2)，故y(x)在12.5,16上为减函数，即(x)(16)45 000.当污水池的长度为16 m，宽为12.5 m时有最低总造价，最低总造价为45 000元
